含字母参数的不等式（组）问题求解几招

庄保海

【摘要】 含字母系数的不等式（组）问题是不等式中常见的问题之一，这类问题大多是已知不等式（组）的解集，要求确定字母系数的值或取值范围.

【关键词】 字母参数;口决法;分类讨论法;数轴图示法

在不等式（组）的学习中，经常会遇到含字母参数的不等式（组）问题，这类问题的解答，对思维有较高的要求，而考试却常常出现，为了帮助同学们掌握这类问题的解答方法，下面简单介绍解题的几种方法，供同学们参考.

1 口决法

求（含字母参数）不等式（组）解集时常用口决“同大取大;同小取小;小大大小中间找;大大小小解不了（无解）”来确定解集.

例1 关于x的不等式组2x-3>0，x-2a<3恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是.

分析 首先解每个不等式，根据不等式组只有2个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围.

解 2x-3>0，x-2a<3，①②

解①得x>32;

解②得x<3+2a，

不等式组的解集是32

因为不等式组只有2个整数解，

所以整数解是2，3.

则3<3+2a≤4，

所以0

注 本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

例2 关于x的一元一次不等式组2x-a>0，3x-4<5无解，则a的取值范围是.

分析 分别求出这两个不等式的解集，然后根据不等式组无解，得到关于a的不等式，解不等式即可.

解 2x-a>0，3x-4<5，①②

解不等式①得x>12a;

解不等式②得x<3，

因为不等式组无解，

所以12a≥3，

所以a≥6.

2 分类讨论法

系数含有字母参数的不等式，要分类讨论系数的正负才能确定不等式的解集，从而求出字母参数的取值范围.

例3 若不等式x+52>-x-72的解都能使（m-6）x<2m+1成立，则实数m的取值范围是.

分析 解不等式x+52>-x-72得x>-4，据此知x>-4都能使不等式（m-6）x<2m+1成立，再分m-6=0和m-6≠0两种情况分别求解.

解 解不等式x+52>-x-72得x>-4，

因为x>-4都能使不等式（m-6）x<2m+1成立，

①当m-6=0，即m=6时，

则x>-4都能使0·x<13恒成立;

②当m-6≠0，则不等式（m-6）x<2m+1的解要改变方向，

所以m-6<0，

即m<6，

所以不等式（m-6）x<2m+1的解集为

x>2m+1m-6，

因为x>-4都能使x>2m+1m-6成立，

所以-4≥2m+1m-6，

所以-4m+24≤2m+1，

所以m≥236，

综上所述，m的取值范围是236≤m≤6.

3 数轴图示法

结合数轴表示不等式（组）的解集，把参数解集看成动点来确定字母参数的取值范围.

例4 已知关于x的不等式组-2x-3≥1，x4-1≥a-12无实数解，则a的取值范围是（  ）

（A）a≥-52.   （B）a≥-2.

（C）a>-52.（D）a>-2.

分析 分别解两个不等式，根据不等式组无实数解，得到关于a的不等式，解之即可.

解 解不等式-2x-3≥1得x≤-2，

解不等式x4-1≥a-12得x≥2a+2，

因为关于x的不等式组-2x-3n≥1，x4-1≥a-12无实数解，

在数轴上画出这个不等式组解集的的可能区间，如图1，

所以a满足不等式2a+2>-2，

解得a>-2，

故选（D）.

小结

1.常数项含参不等式：只需要把字母参数看成已知数，用参数来表示不等式解集，再结合条件确定参数的值.

2.系数含参不等式：通过分类讨论参数的正负，利用不等式的性质求出不等式的解集，再结合条件确定参数的取值范围.

3.已知含参数不等式（组）的解（尤其注意一些特殊解，比如：无解，有解，有几个整数解）求参数的值或范围，先求不等式（组）的解集，再結合数轴把参数解集看成数轴上的动点来确定参数的值范围，要注意临界值的确定.

4.含参数方程（组）和不等式：先把方程（组）的解用参数表示，再与不等式的解集进行对应起来，构造新的不等式，求出参数的取值.