从问题结构入手寻求解题方法

武前炜

【摘要】本文对4道有代表性的代数试题进行分析，抓住结构，寻求破题之策，特别对于一类9宫格数字问题给出一般性的性质.

【关键词】 2022;数学结构;参数

数学的学习离不开问题的解决，好的数学问题能促进学生知识、技能、情感等各方面快速、健康的发展.伴随着问题的解决能激发学生的学习兴趣，驱使学生积极思考、主动参与学习、乐意寻求解决问题的答案.进入初中学习代数的过程，感受到了从数到式的直观体验，对于代数问题需要我们仔细观察问题中数、数量、关系以及结构，通过抽象化的结构建立各种关系，以下通过几个数学问题体会知识运用的灵活性、综合性、创新性.

在一些有趣的数学问题中，时常见到题目中出现了当年的年份数，我们称这样的题为“年题”，随着2022年的到来，为聪明的你准备了“2022”年份趣题，一起来开动脑筋吧！

例1 若x+y+z=6066（x>y>z，且都不等于2022），则分式

（x-2022）（y-2022）+（y-2022）（z-2022）+（z-2022）（x-2022）（x-2022）2+（y-2022）2+（z-2022）2的值等于.

分析 经观察知条件和问题含有相似结构x-2022，y-2022，z-2022，考虑简化运算，通过参数替换让式子变得更简单，便于发现熟悉的数学结构.

解 因为x+y+z=6066，

所以（x-2022）+（y-2022）+（z-2022）=0，

设x-2022=a，y-2022=b，z-2022=c，

即a+b+c=0，

所以（a+b+c）2=0，

即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0，

由x，y，z都不等于2022可知abc≠0，

原式=ab+bc+caa2+b2+c2=ab+bc+ca-2ab-2bc-2ca=-12.

例2 若2021（x-y）+2022（y-z）+2023（z-x）=0，20212（x-y）+20222（y-z）+20232（z-x）=2022，则z-y的值等于.

分析 题目条件的数字较大且未知数有相同对称结构，考虑设参数替换，让题目隐藏信息暴露出来.

解 设x-y=a，y-z=b，z-x=c，

则a+b+c=0，①

2021a+2022b+2023c=0，②

20212a+20222b+20232c=2022，③

①×2022得

2022a+2022b+2022c=0，④

④-②得a-c=0，

即a=c，⑤

③-②×2022，得

（20212a+20222b+20232c）-（2021×2022a+2022×2022b+2023×2022c）=2022，

即-2021a+2023c=2022，⑥

由①，⑤，⑥得

a=c=1011，b=-2022，

从而z-y=-b=2022.

例3 对于每一个正整数m（0

解 由m2021

mn<2021x，mn+n>2022x，

则mn+1≤2021x，mn+n-1≥2022x，

2022（mn+1）≤2022×2021x，2021（mn+n-1）≥2021×2022x，

即2021（mn+n-1）≥2022（mn+1），

解得n≥40432021-m，

此式应对每一个正整数m（1

m2021

由不等式性质对于任意实数，若ab

ab

可知m2021

从而可得x=2m+1.

即当正整数n的最小值为4043，此时不等式组的正整数解是x=2m+1.

例4 将9个数填入九个方格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如图1：

请在如图2中的九个方格格内填上合适的数，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都等于2022.

分析 本题属于开放性数学问题，答案不唯一，那么如何快速准确填写，需要研究此类九宫格数字隐藏的规律.

为方便研究，如图3为填好的符合同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都等于M的九宫格.

则可知a+e+i=M，

c+e+g=M，

b+e+h=M，

d+e+f=M，

9个数字总和

a+b+c+d+e+f+g+h+i=3M，

即（a+e+i）+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）-3e=3M，

所以e=13M，

从而可得a+i=23M，

变形得a-13M=13M-i，

即a-e=e-i，

从而可得对角线的三个方格数a，e，i为等差数列，

同理可得方格数c，e，g;b，e，h;d，e，f均为等差数列，

由（a+d+g）+（b+e+h）=（a+b+c）+（c+e+g）=2M，

整理可得（a+g+b+e）+（d+h）=（a+g+b+e）+2c，

即c=d+h2.

歸纳 如图3，若将9个数a，b，c，d，e，f，g，h，i填入九个方格中，且满足处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，则这些方格数字具备以下性质：

性质1：所有数字和等于中间方格数字的9倍;

性质2：第2行，第2列以及两个对角线中的三个数分别呈等差数列关系;

性质3：d+h=2c;h+f=2a;

f+b=2g;b+d=2i.

解 由题意知，要填的9个数和为

2022×3=6066，

由性质1知，中间方格数为

6066÷9=674，

如图4，只需在剩下8个方格任填2个数（与中间674数字不构成对角线位置）即可确定其余数字，

方式1：如图5，则根据同一横行、同一竖列三个数字和为2022可得，

b=648，d=748，

再根据性质3可得

a=724，c=650，

从而e=698，f=624，如图6所示为所填一种符合要求的数字.

方式2：如图7，则根据同一横行、同一斜对角线三个数字和为2022可得，a=628，d=848，从而可得c=454，b=940，f=894，g=308，如图8所示为所填一种符合要求的数字.

以上几个有趣的数字问题在寻求解答的过程中逐渐地学会了构建知识、理解知识、领会知识、运用知识，碰撞出创新思维的火花，让不同的人在数学上体验到不同的数学获得感！希望大家在解决问题的过程中喜欢数学、思考数学、学好数学.