一道中考试题中的结论及应用

潘兴伟

【摘要】 若一次函数图象与反比例函数图象及两坐标轴相交，则直线和双曲线的交点与直线和两坐标轴交点间的线段相等.这是一次函数图象与反比例函数图象相结合的一类问题中的一个基本的结论——线段相等，这个基本结论可以说是隐性的，因为它具有隐蔽性，通常被人们所忽视，也不易发现，只有认真探究才能挖掘出来.这个基本的结论具有普遍的实用性，可给解决一些一次函数图象与反比例函数图象结合的有关题型带来巨大方便，尤其是做填空、选择类试题时可直接应用这个结论.

【关键词】 中考试题;一次函数图象;反比例函数图象

1 中考试题及结论

试题 图1

一次函数y=ax+b的图象分别与x轴，y轴交于点M，N，与反比例函数y=kx的图象相交于点A，B.过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E;过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD.

（1）若点A，B在反比例函数y=kx的图象的同一分支上，如图1，试证明：AN=BM.

（2）若点A，B分别在反比例函数y=kx的图象的不同分支上，如图2，AN与BM还相等吗？试证明你的结论.

解 （1）因为AC⊥x轴，AE⊥y轴，

所以四边形AEOC为矩形.

因为BF⊥x轴，BD⊥y轴，

所以四边形BDOF为矩形.

因为AC⊥x轴，BD⊥y轴，

所以四边形AEDK，DOCK，CFBK均为矩形.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

所以OC=x1，AC=y1，

x1·y1=k;

OF=x2，FB=y2，

x2·y2=k.

因为S矩形AEOC=OC·AC=x1·y1=k，

S矩形BDOF=OF·FB=x2·y2=k.

所以S矩形AEOC=S矩形BDOF.

因为S矩形AEDK=S矩形AEOC-S矩形DOCK，

S矩形CKBK=S矩形BDOF-S矩形DOCK，

所以S矩形AEDK=S矩形CFBK.

所以AK·DK=BK·CK.

所以AKCK=BKDK.

因为∠AKB=∠CKD=90°，

所以△AKB∽△CKD.

所以∠CDB=∠ABK.

所以AB∥CD.

因為AC∥y轴，所以四边形ACDN是平行四边形.

所以AN=CD.

同理BM=CD.

所以AN=BM.

（2）AN与BM仍然相等.证明方法同（1），不再赘述.

2 结论应用

例1

如图3，已知直线y=-x+2分别x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=kx交于E，F两点.若AB=2EF，则k的值是（  ）

（A）-1.     （B） 1.

（C）12.（D）34.图3

解 直线y=-x+2与x轴，y轴交于A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），AO=BO=2.

过点E作EC⊥x轴于点C，则有EC∥BO，

所以 △ACE∽△AOB，

所以 AEAB=ACAO，AC=EC.

因为AB=2EF，

所以EF=12AB，

由结论知AE=BF，

2AE+EF=AB，

即2AE+12AB=AB，

所以AE=14AB，

所以AC=14AO=14×2=12，

所以EC=12，CO=2-12=32，

所以k=CO·EC=32×12=34.

故选（D）.

例2 如图4，已知直线y=12x+1与双曲线y=kx交于A，B两点，分别与x轴，y轴交于C，D两点，连接OA，OB，若S△OCD=S△OAD+S△OBC，则k=.

解 直线y=12x+1与x轴，y轴的交点坐标C（-2，0），D（0，1），即OC=2，OD=1.

因为S△OCD=S△OAD+S△OBC，

且△OCD，△OAD，△OBC的高相等，

由上述结论，知AD=BC，

所以S△OAD=S△OBC（等底等高），

所以S△OCD=2S△OAD=2S△OBC，

利用三角形的面积可推出

CD=2AD.

过点A作AE∥DO交x轴于点E，则有

CDDA=COOE，

所以OE=DACD·CO=AD2AD×2=1，

即A点的横坐标为1.

将x=1代入y=12x+1，得y=32，

所以k=xy=1×32=32.

例3 如图5，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=3x（x>0）的图象上，则△OAB的面积等于.

解 如图5，延长AB与y轴交于点D，分别过C，B作CF⊥x轴，BE⊥x轴于点E，因为OC是△OAB的中线，

所以AC=CB，

由上述结论，知AC=DB，

所以AC=CB=BD，

所以AF=FE=EO，

即F，E为线段AO三等分点，

所以S△BOE=S△BEF=S△BFA=13S△OAB，

又S△BOE=12k=32，

所以S△OAB=3S△BOE=92.

例4 如图6，直线y=-33x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第一象限交于B，C两点，且AB·AC=4，则k=.

解 分别过点B，C作BG⊥y轴于点G，CF⊥y轴于点F，CE⊥x轴于点E，设直线AC与x轴交于D，

所以∠ABG=∠ACF=∠ADO，

∠BAG=∠DCE，

由结论知AB=CD，

所以△ABG≌△CDE，

所以AG=CE.

由直线y=-33x+b可求得直线AD与x轴，y轴的交点坐标为A（0，b），D（3b，0），

所以OA=b，OD=3b，

所以tan∠ADO=OAOD=b3b=33，

所以∠ADO=30°.

所以AG=sin∠ABG·AB=sin∠ADO·AB

=sin30°·AB=12AB.

FC=cos∠ACF·AC=cos∠ADO·AC

=cos30°·AC=32AC，

所以k=FC·CE=FC·AG=32AC·12AB

=34AB·AC=34×4

=3.