直角三角形的判定

张兴筑

【摘要】 直角三角形是三角形中一类特殊的三角形，很多几何问题需要借助直角三角形来解决，准确判定或构造直角三角形，是解决问题的关键. 本文举例说明判定直角三角形的几种方法.

【关键词】 直角三角形;判定

1 根据三角形的角来判定

定义 如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形;

定理 如果三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.

例1 如图1，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF=2，BE与AF交于点G，点H是BF的中点，连接GH，求GH的长.

解 因为四边形ABCD是正方形，

所以∠BAE=∠ADF=90°，

AB=AD.

在△BAE与△ADF中

AB=AD，∠BAE=∠ADF，AE=DF，

所以△BAE≌△ADF.

于是∠ABE=∠DAF.

因为∠ABE+∠AEB=90°，

所以∠DAF+∠AEB=90°.

于是∠BGF=∠AGE=90°.

因为∠C=90°，

BC=5，CF=3，

所以BF=BC2+CF2

=52+32

=34.

因为∠BGF=90°，

点H是BF边的中点，

所以GH=12BF=342.

2 根据三角形三边的关系来判定

勾股定理的逆定理：如果三角形中两条边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.

例2 如图2，在△ABC中，点D是边BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13 . 求证：AB⊥AD .

证明 如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接CE.

因为点D是BC的中点，

所以CD=BD.

在△CDE与△BDA中，

CD=BD，∠CDE=∠BDA，DE=AD，

所以△CDE≌△BDA.

于是∠CED=∠BAD，

CE=AB=5.

在△ACE中，CE=5，

AE=2AD=12，AC=13，

因为52+122=132，

即CE2+AE2=AC2.

于是∠CED=90°.

从而∠BAD=90°.

所以AB⊥AD .

3 根据三角形的中线与边的关系来判定

定理 如果三角形一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

例3 如图3，在△ABC中，点E为边AC的中点，过点E的直线交BC边于点F，點D为直线EF上一点，且AD=CD，过点A作AG∥BC交DE于点G，当BF=AG时，求证：△ABC是直角三角形.图3

证明 如图3，连接AF.

因为AD=CD，

点E为边AC的中点，

所以DF⊥AC.

于是AF=CF.

因为点E为边AC的中点，

AG∥BC，

所以∠AGE=∠CFE，AE=CE.

在△AEG和△CEF中，

∠AGE=∠CFE，∠AEG=∠CEF，AE=CE，

所以△AEG≌△CEF.

于是AG=CF.

因为BF=AG，

所以BF=CF=AF，

即AF=12BC.

因此△ABC是直角三角形.

练习

1.如图4，已知等边△ABC的边长为4，点D，E分别是AB，BC边的中点，F为AC边上的点，且∠C=2∠CEF，点G为EF的中点，连接DG，求DG的长.

2.如图5，在正方形ABCD中，已知点E是边BC的中点，点F在边AB上，且BF=13AF，请你判定DE与EF之间的数量关系和位置关系，并说明理由.

3.如图6，在△ABC中，∠ABC=5∠ACB，D是AC边上的点，BD垂直于∠BAC的平分线AF，垂足为点F，M是BC边的中点，E是线段BM上的一点，且EM=EF，求证：DE⊥BC.

4.如图7，在△ABC中，AC=BC，点D为边AB的中点，点E为AB边上的一点，过点B作BF⊥CE，垂足为点F，BF与CD相交于点G，当AE=CG时，求证：CD=AD .

答案

1.192.

2.DE=2EF，DE⊥EF.

3.提示：连接FM.

4.提示：过点A作AM⊥CE，垂足为点M，与CD的延长线交于点N.