初中数学平面几何建模教学初探

黄丽群

【摘要】平面几何是初中数学的重要知识点，习题情境复杂多变，解题方法灵活多样，其中借助几何模型可迅速的找到解题思路，提高解题效率.实践中为提高学生运用几何模型解题的意识与能力，应做好教学经验总结，积极开展几何建模教学活动，既要为学生系统的讲解建模理论知识，又要结合具体教学实际展示建模的具体过程，加强模型在解题中的应用训练.

【关键词】初中数学;平面几何;建模教学

1 初中数学平面几何建模理论概述

构建初中数学平面几何模型对学生分析以及灵活运用所学的能力要求较高.一般情况下平面几何建模按照以下思路进行：

其一，认真审题.审题时应做到认真细致，做好应用信息的提炼，搞清楚线段长度、角度大小之间的关系，必要情况下可将相关的已知条件标注在图形上.其二，严谨推理.每一步结论的得出应有理有据，推理做到连贯严谨[1].其三，做好验证.当推导出平面几何模型结论后应注重在具体的问题情境中进行验证.验证时应做好几何模型的反思，做好细节上的补充和优化，准确的把握模型结论成立的适用条件，在以后的解题中能够正确的应用.

2 初中数学常见平面几何模型的介绍

初中数学平面几何涵盖很多的模型，其中角平分线模型、一线三垂直、一线三等角模型在解题中有着广泛的应用.

2.1 角平分线模型

如图1所示，已知AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，则可得出如下结论：

①DE=DF;②∠1=∠2;③ DA平分∠EDF;④AE=AF;⑤S△ABDS△ACD=ABAC=BDDC;

2.2 一线三垂直模型

如图2（a）、（b）已知△ABC为等腰直角三角形，BD⊥DE，CE⊥DE，BA⊥AC，则对于图2（a）成立的结论有：①△ABD≌△CAE;②DE=BD+CE;对于图2（b）成立的结论有：①△ABD≌△CAE;②DE=BD-CE;另外，在图2（c）中△ABC为等腰直角三角形，DC⊥AC，BE⊥AD，延长BE和AC交于点F，则可推出：△ABF≌△CAD;

（a）

（b）

（c）

2.3 一线三等角模型

（a）

（b）

如图3（a），已知∠D=∠2=∠1，AB=AC，则可得出结论：△ADB≌△CEA;如图3（b）已知∠BAC=∠BDF=∠CEF，AB=AC，则可推出结论：△ADB≌△CEA;

3 初中数学常见平面几何模型的应用

初中数学教学中不仅与学生一起分析建模过程，而且为更好的提高学生运用模型解决数学问题的能力，注重围绕不同的模型创设相关的问题情境，学生展示如何运用平面几何模型进行解题.

3.1 角平分线模型的应用

如图4，AD平分∠BAC，延长AD于点E，使得DE=AD，连接BE，若AC=2，AB=4，S△BDE=6，则S△ABC=.

由角平分线模型的结论可知，S△ACDS△ABD=ACAB，因为AC=2，AB=4，所以S△ACDS△ABD=12;因为△ADB、△EDB中边AD、DE边上的高相等，又因为DE=AD，S△BDE=6，所以S△BDE=S△ABD=6，所以S△ACD=3，所以S△ABC=S△ACD+S△ABD=3+6=9.

3.2 一线三垂直模型的应用

如图5，在平面直角坐标系中A（-4，0），C（0，-2），B（m，2），AC⊥BC，AB交y轴于点D.（1）求证：CA=CB;（2）求点B的坐标;（3）求S△AOD.

问题1 过点B作x轴的平行线交y轴于点E，所以∠BEO=∠AOC=90°，因为B（m，2），所以E（0，2），因为C（0，-2），A（-4，0），所以AO=CE=4，因为AC⊥BC，所以∠ACO+∠OCB=90°，又因为∠ACO+∠CAO=90°，所以∠CAO=∠OCB，所以△AOC≌△CEB，所以CA=CB，得证;

问题2 由问题（1）可知△AOC≌△CEB，所以BE=OC，因为C（0，-2），所以OC=2，所以BC=2，所以B（2，2）;

问题3 连接OB，则S△AOB=12·|AO|·yB=12×4×2=4，又因为S△AOB=S△AOD+S△BDO=12·|OD|·|AO|+12·|OD|·xB=4，解得DO=43，所以S△AOD=12·|AO|·|OD|=12×4×43=83.

3.3 一线三等角模型的应用

如图6，已知AB=AC，∠BAC=60°，E为AD上一点，∠ADB=∠AEC=120°，探究BD、CE和DE之间的数量关系.

因为∠BAC=60°，所以∠2+∠3=60°，又因为∠ADB=∠AEC=120°，在△ABD和△ACE中，∠1+∠2=180°-∠ADB=60°，∠3+∠4=180°-∠AEC=60°，所以∠1=∠3，∠2=∠4，又因为AB=AC，所以△ABD≌△CAE，所以BD=AE，AD=EC，所以CE=BD+DE;

参考文献：

[1]黄玉芳.探析初中数学教学中的几何图形建模[J].数学学习与研究，2020（15）：51-52.

[2]陳丽冰.一线三等角几何模型在数学解题中的探究[J].名师在线，2021（17）：61-62.

[3]过晓娟.探究初中数学几何教学中的模型运用[J].数学学习与研究，2021（09）：27-28.