初中几何题中面积法的巧妙运用

袁会娟

【摘要】在初中数学教学中，几何问题是学生需要重点掌握的内容.面积法是解决一些几何问题的解题方法，对提高学生解题速度与准确率具有重要作用.因此，本文将以几何问题为例，从“利用面积的唯一性”、“利用面积的可加性”、“利用面积的可比性”三个方面讲述面积法的巧妙运用，期望能够帮助学生提高自身的解题能力.

【关键词】初中几何;面积法;解题能力

1 利用面积的唯一性解题

对于面积大家并不陌生.几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要.几何学从一开始便与面积结下不解之缘.而且面积很早就成为人们认识几何图形性质和证明几何定理的工具.因此，在遇到与几何相关的问题中，教师们可以引导学生利用面积的唯一性进行解题.

例1 如图1所示，已知在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，求证CD=BE.

解析 在该例题中，教师们需要引导学生通过证明三角形全等的方式证明CD=BE.为了使得证明过程更加简洁，教师可以引导学生借助面积法进行解题.

证明 因为S△ABC=12AB·CD，

S△ABC=12AC·BE，

所以AB·CD=AC·BE，

又因为AB=AC，

所以CD=BE.

例2 如图2所示，在Rt△ABC中，AD是BC上的高，AB=5，AC=12，求AD.

解析 例2与例1相似，如果借助三角形相似进行解题就会使得整个解题过程较为复杂，如果使用面积法进行解题就会使得过程变得很简单.

解 在△ABC中，BC= AB2+AC2=13，

因为S△ABC=12AB·AC=12BC·AD，

所以5×12=13×AD，

所以AD=6013.

在例1与例2的两个几何问题中，利用同一个图形“面积的唯一性”解题，简单、便捷，所以，数学教师可以在讲解相关知识点时就向学生渗透面积法，促使学生在解题时应用面积法进行解题.

2 利用面积的可加性解题

平面几何证明题的最大难处是辅助線的添加，而面积法的特点是把已知和未知量用面积公式及有关的性质定理联系起来，从而把几何关系转变为数量关系，通过数量运算来得到求证结果.

例3 如图3所示，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上任一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，垂足分别为E、F、G，求证DE+DF=CG.

解析 在本例题中假如使用三角形全等进行证明就会影响学生答题的效率.但是从面积方面进行考虑，只要将AD进行连接，使得△ABC分为两个三角形△ABD和△ACD，这两个三角形的面积表达式都容易求得.

证明 因为S△ABC= S△ABD+ S△ACD，DE⊥ AB，DF⊥AC，CG⊥ AB.

所以12AB·CG=12AB·DE+12AC·DE，

因为AB=AC，

所以CG=DE+DF.

例4 如图4所示，在△ABC中，AB=AC=BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，求证DE+DF+DH为定值.

解析 本题若先探求定值，将点D取在A处，可以知道D到△ABC三边的距离之和为AG，然后再证明DE+DF+DH=AG.如果用其他方法，很繁杂，若用面积法证明，则很简单.

证明 作AG垂直BC于G，连接AD、BD、CD，

因为S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD，

DE⊥ AB，DF⊥AC，DH⊥BC，

所以12AB·DE+12AC·DF+12BC·DH=12BC·AG，

因为AB=AC=BC，

所以DE+DF+DH=AG.

3 利用面积的可比性解题

我们都知道在有关三角形的几何问题中等底等高的三角形面积相等，因此就会有三角形面积相等，等底必等高，等高必等底.因此，教师可以引导学生借助面积的可比性进行解题.

例5 如图5所示，在平行四边形ABCD中，AE和CF相交于G，且AE=CF，求证∠AGB=∠CGB.

解析 同样的在该例题中，面积法可以实现高效解题的目的.

证明 连接BF、BE，过点B作BH⊥AE于H，BI⊥CF于I.

因为12SABCD=S△AEB=S△BFC，

所以12AE·BH=12CF·BI，

因为AE=CF，

所以BH=BI，

即点B在∠AGC的角平分线上，

所以∠AGB=∠CGB.

4 结语

综上所述，面积法在几何证明题中的应用较为广泛，教师们可以引导学生借助面积的唯一性、可加性和可比性进行解题.这样不仅能够有效提高学生解题的效率，还能够提高学生解题的准确率.