初中数学解题中数形结合的应用

梁玲

【摘要】借助数形结合解答初中数学习题，可简化解题过程，提高解题效率.为提高学生应用数形结合解答数学习题的意识与能力，本文围绕具体案例开展教学活动，尤其通过展示相关解题过程，使学生更好地把握应用细节.

【关键词】数学解题;数形结合;解题效率

例1 有理数a，b，c在数轴上的位置，如图1所示，设x=|a-b|+|a-c|，y=|a-b|+|b-c|，z=|a-c|+|b-c|，则x，y，z中计算结果最小的是（）

（A）x. （B）y.

（C）z. （D）根据a，b，c.的值才能确定

解 由a，b，c在数轴中的位置可知a<0

=b+c-2a;

y=|a-b|+|b-c|=b-a+b-c

=2b-a-c;

z=|a-c|+|b-c|=c-a+b-c

=b-a;

则x-z=b+c-2a-b+a

=c-a>0，x>z;

y-z=2b-a-c-b+a

=b-c>0，y>z，

因此，结果最小的是z，选择C项.

例2 如图2所示，已知A，B两点坐标分别为（3，2），（0，1），射线AB绕点A逆时针旋转30°和x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y=ax2+bx+1中a，b的值分别为（）

（A）a=2，b=-533.（B）a=12，b=-36.

（C）a=3，b=-833. （D）a=-13，b=233.

解 设过点A、B的直线为y=kx+b，已知A、B两点坐标分别为（3，2），（0，1），代入得到1=b，2=3k+b，解得k=33，b=1，即，y=33x+1，

令y=0解得x=-3，即，C1（-3，0）.

过点A向x轴作垂线垂足为点N，

则|C1N|=23，|AN|=2，

则tan∠AC1N=|AN|/|C1N|=33，

则∠AC1N=30°，

又由∠BAC=30°，则∠CAN=30°，

則|CN|=|AN|tan∠CAN=233，

则|OC|

=|ON|-|CN|=3-233=33，

则C点坐标为（33，0）.

将其和A点坐标分别代入解得a=2，b=-533 ，选择A项.

例3 二次函数y=-x2+mx的图象如图3所示，其对称轴为直线x=2，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1

（A）t>-5.（B）-5

（C）3

解 由二次函数y=-x2+mx的图象的对称轴为直线x=2可得，m2=2，则m=4，二次函数为y=-x2+4x.

将一元二次方程-x2+4x-t=0，看成y=t和y=-x2+4x图象在1

由图可知将x=1，x=5时，分别代入y=-x2+4x中得到y=3，y=-5，显然要想满足题意t的取值范围为-5

例4 如图5，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）和x轴交于点A（-1，0），顶点坐标为（1，n），和y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点），则下列正确的结论有（）

①不等式ax2+c<-bx的解集为x<-1或x>3;②9a2-b2<0;③一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根分别为x1=13，x2=-1;④6≤3n-2≤10.

（A）①②③. （B）①②④.

（C）②③④ . （D）①③④.

解 点A（-1，0）由图5可知，其对称轴为直线x=1，则其和x轴的另一交点为（3，0），由图可知ax2+c<-bx的解集为x<-1或x>3，①正确;

由对称轴为直线x=1，可得x=-b2a=1，即，b=-2a，则9a2-b2=9a2-4a2=5a2>0，②错误;

ax2+bx+c=0中x1+x2=-ba=2，

x1x2=ca=-3，

一元二次方程cx2+bx+a=0，

转化为cax2+bax+1=0，

即，3x2+2x-1=0，（3x-1）（x+1）=0，

其根分别为13和-1，③正确;

由b=-2a，a-b+c=0，

解得a=-13c，b=23c，

而n=4ac-b24a，即，3n-2=4c-2，2≤c≤3，

可得6≤3n-2≤10，④正确.

综上正确地结论有①③④，选择D项.

结语

综上所述，数形结合是一种重要的解题思想，是初中数学日常测试以及中考的常考内容.教学实践中应注重将数形结合融入到教学的各个环节中，使学生掌握数形结合相关理论，并结合教学进度，筛选精讲典型习题，给运用数形结合解题带来良好的启发.