浅谈数形结合思想在学习中的运用

秦丽娜

[摘  要] 儿童思维方式以具体形象为主，在小学数学教学中运用数形结合思想，根据数学问题与结论之间的内在联系，将某些抽象的问题具体化、直观化、生动化，从而使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合在一起，并利用这种结合寻找问题的解决方案，符合儿童的认知规律。这既揭示了数学含义及其几何意义，又激发了学生的学习兴趣，让学生理解数学、喜欢数学。

[关键词] 小学数学;数形结合;教学策略;数学思想方法

日本数学家米山国藏说过，“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益。”这句话深刻揭示了数学知识的核心灵魂并不在于其知识本身，而是在于数学知识所蕴含的数学思想和方法。数形结合作为一种贯穿数学学科始终的数学思想方法，通过“数”与“形”之间的对应与转化，使得复杂问题简单化、具体化，成为便捷解题、把握数学核心本质的最佳途径之一，对于学生的学习有极大的帮助。

[?]一、巧用数形结合，理解数学概念

数学概念是小学阶段的重点学习模块，是学生理解数学、运用数学知识解决实际问题的思维基础和知识基础。学生在数学计算过程中的马虎、对概念混淆不清、滥用数学规律和运算法则、不明白图形之间的关系等常见问题，都是由于学生对于数学概念的理解模糊不清而导致的。在传统的教育模式下，教师的教学重心往往放在让学生对数学概念死记硬背上，而忽视了学生对数学概念的理解和认知，从而造成了学生对概念的机械化记忆和理解，这种教学模式极大地阻碍了学生数学成绩的提升，也难以让学生体会到数学学习的乐趣。而在数学概念中巧妙地渗透数形结合，能够将模糊的、晦涩的数学语言转化为直观的、易于学生接受的信息，从而帮助学生对概念内涵进行深度剖析和理解，达到更好的学习效果。

案例1  分数的初步认识（第二课时）

本节课是在学生已经掌握一些整数知识的基础上进行教学的，从“整数”到“分数”的学习，是数的概念的一次拓展与延伸，也是一次质的飞跃。教材主要利用学生所熟悉的具体事例，通过演示与操作，使学生逐步形成对分数的正确表象，建立对分数的初步概念。笔者根据以往的教学实践发现，学生对于分数的概念理解不够透彻，导致他们在作业和考试中频频出错。因此，为了突破这一教学难点，笔者在教学中融合数形结合思想，帮助学生建立直观的印象，促进学生深入理解分数的概念。

学生经过第一课时的学习，已经初步认识了分数，在本节课的教学中，笔者通过对“分数墙”的解读，渗透着数形结合思想，一方面帮助学生回顾第一课时的内容，另一方面为学生进一步探索分数的性质做好铺垫。

结合“分数墙”解决以下问题（图1）：

（1）在“分數墙”中，你能找到哪些分数？并将它们按照从小到大的顺序进行排列。相同的长方形，平均分的份数越____（多/少），分数单位越____（大/小），分数单位的个数越____（多/少），得到的分数就越____（大/小），反之，分数越____（大/小）。

设计意图：通过对分数的寻找和排序，帮助学生认识“分数墙”中的基本规律，初步了解分数的基本性质。

（2）1里面有几个，几个……几个？

设计意图：从分数的意义出发，引导学生先通过对一张长方形纸的平均分找到问题中所要的分数，然后利用“分数墙”验证自己答案的正确性。在此过程中，笔者着重让学生一个分数单位一个分数单位地数，感受每个分数里究竟有几个这样的分数单位，那么这个分数的分子就是几，这样有利于促进学生对分数结构形式的理解。

（3）哪几个分数相加的和等于1？你能提出类似的数学问题并解答吗？

设计意图：将学习的权利交还给学生，让他们自问自答，并在此过程中再次体会分的份数与取的份数相等时，也就是分子与分母相等时，这个分数的值与“1”相等。

（4）写分数时，可以按照大格将钟面分成12份，也可以从分钟的角度将钟面分成60份，这样用分数表示出的结果就不相同（图2）。分针从12旋转到下面各个位置，所经过的区域占整个钟面的几分之几？用分数表示出来。

“分数墙”是按照“几个几分之一就是几分之几”的原理，对真分数和1进行分解而得到的数学模型。在本节课的教学中，利用“分数墙”可以让学生直观地判断分数大小，而且也可以进行同分母分数的加减法运算，这为学生发现分数的基本性质奠定了很好的基础，也在潜移默化中培养了学生数形结合思想。

[?]二、巧用数形结合，构建数学模型

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中增加了“几何直观”核心概念，主要是利用图表描述和分析问题，将复杂的数学问题变得简明、形象，从而激发学生的学习兴趣。数形结合是充分运用“数”的严谨性和“形”的直观性，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，通过图形的描述和代数的论证来研究数学问题的一种数学思想方法。数形结合的实质就是几何直观，将代数问题“几何化”。

“模型思想”是新教材的十大核心词之一。由于小学生的年龄较小，影响了他们构建模型的效率，所以在新课标背景下，教师更多的是引导学生通过数形结合思想构建数学模型，得出数学规律，这对于提高学生的数学学习效率大有裨益。

案例2  乘法分配律模型

“运算律”是高度概括的运算知识，是人们经过大量的计算与实践得出的经验和结论。乘法分配律是小学阶段学生最难理解和掌握的运算定律，其原因是它包含了两种运算，且在大部分的课堂教学中，教师更多关注的是乘法分配律的死记硬背和实际应用，而忽视了对其算理的推导过程，导致学生未能真正理解乘法分配律的本质。因此，在“乘法分配律”的复习课中，笔者通过多种表征促进学生加深对乘法分配律的理解，学会从不同的角度阐释乘法分配律的意义，从而构建乘法分配律的数学模型。

两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再将积相加，这叫作乘法分配律。用代数式来表示：c×（a+b）=c×a+c×b。

（1）在三年级口算与笔算中构建乘法分配律的模型。

在两位数乘一位数中：12×3=36，（10+2）×3=10×3+2×3，求14×12。

设计意图：引导学生在口算12×3和笔算14×12中探寻乘法分配律的规律，并借助图3中的小棒图和直观点子图进一步体会乘法分配律的意义。

（2）在解决相遇问题中构建乘法分配律的模型。

小林和小云两人从家出发，骑车相向而行，其中，两人的骑车速度分别为0.25千米/分、0.2千米/分，10分钟后两人骑车相遇，求小林家和小云家的距离。

（0.25+0.2）×10=0.25×10+0.2×10。

从以上问题的两种解决方法来看，其核心本质就是乘法分配律。小林家和小云家的距离，等于小林和小云分别骑车10分钟的路程之和，也等于小林和小云每分钟的路程之和乘10（分钟）。这一计算过程，就是乘法分配律的计算模型。

（3）在长方形的周长和面积计算中构建乘法分配律的模型。

长方形的周长是多少？

长方形周长=长+长+宽+宽=2×长+2×宽;

长方形周长=（长+宽）×2=2×长+2×宽。

两个长方形的面积一共是多少？

a×c表示的是左边长方形的面积，b×c表示的是右边长方形的面积，将两个长方形面积相加，得到的就是大长方形的面积。直接从图6来看，大长方形的长就是a+b，宽为c，（a+b）×c即为大长方形的面积。

对学生而言，几何图形来得直观易懂。这样通过对一系列数学问题的探讨，学生从中概括和提炼出乘法分配律的模型。

[?]三、巧用数形结合，解决数学问题

用数形结合思想帮助学生理解数学，是一种符合小学生年龄特征的方法。简单来说，“形”就是“生活”，“数”就是“数学”，数形结合就是指在解决数学问题的过程中，对于“数”的问题，借助“形”去观察;对于“形”的问题，借助“数”去思考。

案例3  平均数问题

有6个数排成一行，它们的平均数是27，已知前4个数的平均数是23，后3个数的平均数是34，第4个数是多少？

很多学生读题后，思绪比较混乱，难以找到解决问题的突破口。事实上，在解决问题过程中运用数形结合思想，能让题目中的条件一目了然，让抽象的问题变得直观化、具体化，有利于学生对问题的分析和求解。

题目中的6个数，可以用6个圆圈来表示，由于它们的平均数是27，于是可以求出它们的总和为27×6=162。前4个数的平均数为23，它们的总和为23×4=92，后3个数的平均数是34，它們的总和为34×3=102，那么刚才计算的数与第4个数有什么关系呢？前4个数的总和为92，后3个数的总和为102，结合图形我们可以发现，将两个结果相加时，第4个数被重复加了一次，所以第4个数就等于92+102-162=32。（如图7）

数形结合是一种常用的教学模式和思想方法，在数学学习中巧妙地利用数形结合，可以帮助学生理解抽象的数学概念、建立数学模型、厘清数量，找到解决问题的突破口，有利于他们高效地学习数学知识，促进兴趣的培养、智力的开发和能力的增强，为今后的学习打下坚实的基础。