切线放缩在函数双零点问题中的应用

摘要：文章介绍了函数的凹凸性，并从函数凹凸性的视角，利用切线放缩对一类双零点的函数压轴题进行解答，并归纳其规律.

关键词：凹凸性；切线放缩；双零点；数形结合

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0023-04

收稿日期：2022-07-05

作者简介：林国红（1977-），男，广东省佛山人，本科，中学高级教师，从事数学教学研究.

函数的凹凸性是高等数学研究函数的性质之一，虽然高中数学中没有对函数的凹凸性作具体要求，但以函数凹凸性为背景的试题屡见不鲜，这些试题情景新颖，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，常作为压轴题出现.

下面简单介绍函数的凹凸性，并从函数凹凸性的视角，利用切线放缩对一类双零点的函数压轴题进行探究，供大家参考.

1 函数的凹凸性及常用性质

1.1 凹凸函数的定义

设函数y=f（x）在区间I上连续，如果对于x1，x2∈I，恒有f（x1+x22）

设函数y=f（x）在区间I上连续，如果对于x1，x2∈I，恒有f（x1+x22）>f（x1）+f（x2）2，则称y=f（x）的图象是凸（上凸）的，函数y=f（x）为凸（上凸）函数.

1.2 凹凸函数的常用性质

1.2.1 凹凸函数的判定定理

设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么：

若f（x）在（a，b）內有f ″（x）>0，则f（x）在［a，b］上是下凸函数；

若f（x）在（a，b）内有f ″（x）<0，则f（x）在［a，b］上是上凸函数.

1.2.2 切线放缩（切线不等式）

若f（x）在区间I为下凸函数，则对于x0∈I，有f（x）≥f ′（x0）（x-x0）+f（x0）；

若f（x）在区间I为上凸函数，则对于x0∈I，有f（x）≤f ′（x0）（x-x0）+f（x0）.

评注下凸函数图象上任意一点的切线在函数图象的下方，上凸函数图象上任意一点的切线在函数图象的上方.

2 切线放缩估计函数双零点范围的基本原理

若f ″（x）>0，则f（x）在区间Ⅰ为下凸函数，因此f ′（x）在区间I上单调递增，从而f（x）最多有一个最小值，即下凸函数的图象仅有两种形态：无最小值型（如图1）和有一个最小值型（如图2）.

若f（x）在区间Ⅰ为下凸函数，且f（x）有最小值，f（x）的图象与y=m交于A（x1，m），B（x2，m）两点，f（x）在点C处的切线l1，在点D处的切线l2（如图3）.这样我们就可以利用切线l1与l2和y=m的交点来估计x1与x2相关的范围，这是切线放缩估计函数双零点范围的基本原理.

对于上凸函数，其原理与下凸函数类似，限于篇幅，不再给出.

3 典型例题

例1（2021年新高考Ⅰ卷22题）已知函数f（x）=x（1-lnx）.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<1a+1b

解析（1）f（x）的定义域为（0，+），且f ′（x）=-lnx，故f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减.

（2）由（1）可知，f（x）在（0，+）上只有一个极值点1.

因为blna-alnb=a-b

blna-alnbab=a-bab

lnaa+1a=lnbb+1b

1a（1-ln1a）=1b（1-ln1b）

f（1a）=f（1b）.

若令x1=1a，x2=1b，则原命题等价于：

已知f（x1）=f（x2），证明：2

下面仅证x1+x2

设0

设f（x）与y=m，m∈（0，1）交于A，B两点，

A（x1，m），B（x2，m），则0

由于f（x）在点（e，0）处的切线方程为

y=-x+e

设切线与y=m交于点C（xc，m），则

xc=-m+e.

直线y=x与y=m的交点为（m，m），如图4，所以0

两式相加，即得x1+x2

例2（2021年湖北部分重点中学联考21题）已知函数f（x）=3x-x3，若关于x的方程f（x）=a有两个正实数根x1，x2，且x1

（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：x2-x1<2-a2.

解析（1）a的取值范围为（0，2），过程略.

（2）由于f ′（x）=3-3x2，f ″（x）=-6x，可得

f（x）在（0，+）上是上凸函数.

易得f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，故当x∈［0，3］时，f（x）max=f（1）=2，作出f（x）的图象，如图5.

设y=f（x）与y=a，a∈（0，2）交于A，B两点，

A（x1，a），B（x2，a），则0

由于f（x）在点（0，0）处的切线方程为y=3x，设切线y=3x与y=a交于点C（xc，a），则xc=a3.

由于f（x）在点（3，0）处的切线方程为

y=-6x+63，设切线y=-6x+63与y=a交于点D（xD，a），则xD=3-a6.

如图5可知，

x2-x1

=3-a6-a3

=3-a2.

故x2-x1<2-a2.

例3（2020年合肥三诊理科21题）已知函数f（x）=1-x2ex（e为自然对数的底数）.

（1）求函数f（x）的零点x0，以及曲线y=f（x）在x=x0处的切线方程；

（2）设方程f（x）=m（m>0）有两个实数根x1，x2，求证：|x1-x2|<2-m（1+12e）.

解析（1）当f（x）=1-x2ex=0时，解得x=1或x=-1，故f（x）的零点为1或-1.

由于f ′（x）=（x-1）2-2ex，

则f ′（1）=-2e.

所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为

y=-2e（x-1）.

由于f ′（-1）=2e，

所以曲线y=f（x）在x=-1处的切线方程为

y=2e（x+1）.

（2）由（1）可知f ′（x）=（x-1）2-2ex，

则f ′（0）=-1，且f（0）=1.

所以曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为

y=-x+1.

又因为f ″（x）=-（x-2）2+3ex，

故当x∈（-1，2-3）时，f ″（x）<0；

当x∈（2-3，1）时，f ″（x）>0.

所以f（x）在［-1，2-3］是上凸函数，在（2-3，1］是下凸函数.

从而当x∈（-1，0］时，直线y=2e（x+1）在曲线y=f（x）上方.

即2e（x+1）>1-x2ex；

当x∈（0，1）时，直线y=-x+1在曲线y=f（x）上方.

即1-x2ex<-x+1.

因为方程f（x）=m（m>0）有两个实数根x1，x2，设直线y=m与曲线y=f（x）交于A，B两点，则

A（x1，m），B（x2，m），直线y=2e（x+1）与直线y=m交于点C（x3，m），直线y=-x+1与直线y=m交于点D（x4，m），如图6.

联立y=2e（x+1），y=m，

解得x3=m2e-1.

以及y=-x+1，y=m，

解得x4=1-m.

如图6可知，

|x1-x2|<|x3-x4|

=1-m-（m2e-1）

=2-m（1+12e）.

评注上述典例中问题（2）的命题背景都是立足于函数凹凸性中的切线放缩，解题思路是通过切线与直线y=m的交点横坐标来估计出两个零点和（或差）的范围.切线放缩法能降低思维强度，简化推理和运算过程，具有直观、简洁的特点，解题方法新颖独到，充分体现数形结合的魅力.需要注意的是，在例3中如果选择曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-2e（x-1）来放缩，则得不到想要的结果，因为当x∈（0，1）时，切线y=-2e（x-1）并不在曲线y=f（x）的上方（如图7）.所以，准确选择切线是解题的关键.

以函数凹凸性中的切线放缩为命题背景的试题还有很多，通过以上几道例题，不难体会函数凹凸性等相关知识的丰富性，虽然函数凹凸性不属于高中数学的内容，将其“镶嵌”在高中试题中可谓独具匠心.这也表明：高等数学的相关理论是命制一些具有创新力与区分度试题的重要来源.若能多了解一些函数凹凸性的相关理论知识，可以“登高望远”，便于找到问题的本质内涵，养成对试题背后的内在关系进行分析与思考习惯.

最后提供两个题目作为练习，以加深体会切线放缩的解题思路.

练习1（2020年哈尔滨二模理21题）已知函数f（x）=mxlnx-（m+1）lnx，f ′（x）为函数f（x）的导数.

（1）讨论函数f ′（x）的单调性；

（2）若当m>0时，函数f（x）与g（x）=3e-x的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1

练习2（2020年1月清华大学中学生学术能力测试理21题）已知函数f（x）=（x+1）（ex-1）.

（1）求f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程；

（2）若方程f（x）=b有两个实数根x1，x2，且x1

参考文献：

［1］林国红.拨云见月 解法自然来——2018年全国卷Ⅲ理科第21题的解法探析[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（07）：53+1-2.

[2] 林国红.2020年高考全国Ⅲ卷理科第21题的探析[J].中学数学研究（華南师范大学版），2021（01）：53+1-3.

［3］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.