注重数学建模思想培养 提升学生综合素养

解小军

［摘  要］ 数学建模思想是数学学习的重要内容，通过建立数学模型，可以建构知识与实际问题之间的联系，提升学生运用知识的技能，培养学生的创新思维，提升学生的综合素养.

［关键词］ 数学建模；综合素养；创新思维

数学建模是数学学习的必备环节，通过从实际问题中抽象出数学模型，经过学习再应用到具体问题中去，实现数学学习的完整过程. 数学建模的过程是讲授数学知识的过程，更是渗透数学思想和方法的过程，引导学生通过观察发现、分析猜想、理解验证等进行探究学习，理解数学问题的本质，提升综合素养.

在数学教学中建模思想的培养不到位，会让学生陷入做题的题海战术中，失去学习的乐趣，无法理解数学的本质. 在数学学习过程中，部分学生感觉到数学艰涩难懂，即使学会了基础概念，理解了教师讲解的例题，似乎也难以应付试卷中的考题，更加难以解决生活中的具体问题，究其原因就在于他们没有建立数学模型. 数学模型的建立可以在学生解决问题的过程中，自觉地将数学模型与问题条件建立联系，从而获得解题路径.

在“圆周角”一课的教学中，笔者从圆周角的定理出发，引导学生进行数学建模，构建“相同的弧所对的圆心角和圆周角度数之间的关系”，通过数学模型的建立使学生创造性地学习，将所学知识进行灵活运用，从而应用到实际问题中，并构建起自我的知识结构.

背景问题

如图1所示，圆O中的两个圆周角∠ACB和∠ADB，请测量两个圆周角的大小，并比较它们的大小. 通过变动点C的位置，这时圆周角在发生变化吗？你发现了什么规律呢？

再量一量圆心角∠AOB的度数，你有什么新的发现吗？

设计说明 圆周角的数学建模过程，首先让学生自主动手实践，然后对实验进行观察和分析，通过已有的知识经验进行猜想，最后进行验证.

模型建立

（一）猜想模型

相同的弧所对的圆周角的度数相等，并且是这条弧所对的圆心角的度数的一半.

（二）验证猜想

问题1：这个猜想里有两个问题，你认为应该先证明相同的弧的圆周角相等，还是先证明相同的弧所对的圆周角与圆心角的数量关系，说一说你的理由.

生1：我认为应该先证明相同的弧所对的圆心角与圆周角之间的数量关系，因为变动C点将得到多个圆周角，但是圆心角只有一个. 因此，如果圆周角与圆心角之间的数量关系不变，那么第一个猜想，相同的弧所对的圆周角的度数相等，自然就成立了.

设计说明 通过设问让学生进行逻辑的推理和判断，明晰验证的方向，解决主要矛盾并将问题进行分解，渗透了数学辩证法的思想.

问题2：变动C点将得到多个圆周角，为了能进行有效验证，能否按照圆心与圆周角之间的位置关系进行分类，将圆周角分成几种不同的情况？

生2：按照圆周角与圆心的关系可以分为三种情况，分别是圆心在圆周角的内部、外部和在圆周角的边上.

设计说明 通过问题2的设计，引导学生进行分类归纳，渗透数学分类思想. 学生在分析归纳中确定研究的步骤和过程，知晓大概的研究路径，会使验证过程更加便捷.

问题3：圆心与圆周角的这三种情形，你打算先证明哪一种情形呢？说一说你的理由.

生3：我觉得先证明圆心在圆周角一条边上的情形，因为这是一种特殊的情形，圆的直径为AC，这种情形比较便于证明.

设计说明 问题3的设计是确立首先研究的对象，从特殊的情况进行研究，进而再推广到一般的情况，从而使验证的目标更加清晰.

问题4：如图2所示，若圆心在AC上（圆周角的一条边），如何证明圆周角与圆心角的数量关系？

生4：圆周角的度数是圆心角的一半，那么我们可以利用等量转化的思想，转化为圆心角是圆周角的两倍进行求证.

问题5：如图3所示，当圆心在圆周角的里面，怎样证明圆心角与圆周角的数量关系？

生5：刚才我们已经证明了圆心在圆周角的边上时，相同的弧所对的圆心角与圆周角之间的关系，所以我们可以通过过圆周角的顶点作直径CD，将圆心角在圆周角里面的情况转化为圆心在圆周角边上的情况进行证明.

问题6：如图4所示，圆心O在圆周角的外面，如何证明相同的弧所对的圆心角与圆周角之间的关系？

生6：刚才圆心在圆周角的里面，我们通过一条辅助线进行了证明，当圆心在圆周角的外面时，我们还是通过这样的方法，作一条过圆心的直径CD，就将圆心与圆周角的位置转换成了上述的情况，验证方法自然就找到了.

设计说明 从问题4到问题6，教师引导学生进行分类验证，在推理验证的过程中，渗透数学转化的方法，通过转化与化归思想化繁为简，进行数学验证.

（三）建立模型

1. 结论：根据刚才的验证我们发现无论圆心在圆周角的边上、内部还是外部，相同的弧所对的圆周角的度数都是圆心角的一半，因此相同的弧所对的圆周角相等.

2. 问题：若两个相同的圆或者两个圆相等时，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角之间有什么样的关系呢？两个相同的圆或者两个圆相等时，如果两条弧相等，那么它们所对的圆周角之间又有什么样的关系呢？

3. 圆周角定理：在相同的圆或者相等的圆中，相同的弧或者相等的弧所对的圆周角相等，圆周角的度数是相同的弧所对的圆心角的一半.

模型应用

数学模型建立之后，还要通过具体的问题进行模型的应用，才能真正实现数学建模思想的内化.

案例1 请问半圆所对的圆周角的度数是多少？你是怎么知道的？

案例2 圆周角为90°时，它所对的弦一定是直径吗？说一说你的理由.

案例3 如图5，圆O上有A，B，C三点，若∠BAC为60°，那么∠BOC是多少度？若∠AOB为直角，那么∠ACB是多少度？

案例4 如图6，在圆O中，弦AB與CD相交于点E，∠BAC等于40°，∠AED等于75°，那么∠ABD是多少度？

案例5 如图7，圆O上有A，B，C，D四点，∠ADC与∠BDC都等于60°，请判断ΔABC的形状，并说明理由.

问题串的设计从圆周角定理的推论，到数学模型的应用，全面巩固了学生上课所学的内容，并从探究过程中抽象出模型，体会建立数学模型的思想，并进行有效的运用. 通过问题的转化教学，构建出相同的弧所对的圆周角与圆心角之间的关系.

教学反思

本课圆周角定理的数学从引导学生进行观察、实验、分析和猜想，到验证以及巩固应用的过程，使学生在数学活动中领会了数学建模思想. 数学建模的过程在教学中是潜移默化、逐渐深入的过程，不是一朝一夕完成的，笔者认为数学建模的教学应关注以下几个方面：

（一）坚持以学生为主体

数学建模的教学需要建立在学生已有知识经验的基础上，按照学生的认知规律进行教学设计，不能脱离学生实际. 教师要从学生熟悉的情境中设计问题，在探究活动中建立数学模型，进而调动学生的学习能动性，激发学生的创新意识，提高学生数学知识的运用能力.

（二）精心设计数学活动

数学建模思想是在数学活动的探究中形成的，教师要通过精心设计的数学活动，使学生在自主探究中体会知识的发生过程，构建数学建模的意识，在实践操作中增长动手实践能力. 数学活动的设计要围绕教学目标，从教学目标出发对学生进行引导和探究，让学生在观察、分析和思考中锻炼自身的思维能力，建构知识网络，形成数学建模的意识.

（三）重视升华认识

数学建模的过程是学生将知识内化并输出的过程，通过探究建立数学模型，再将数学模型进行实际运用，完成知识输入和输出的循环，真正实现知识的升华. 教师在教学中要避免知识的直接呈现，要从学生熟悉的场景出发创设情境，引导学生探究、发现问题，进而验证猜想建立模型. 学生在活动的体验中会积累对数学知识的认识，深刻理解数学的本质，发现数学学习的乐趣.

总之，在教学中教师要搭建数学活动的平台，以学生为主体，以教师为主导，开展探究活动，让学生在实践中获得认识，领会数学建模的思想，不断提升学科核心素养.