汇集知识，融会贯通，收获方法

陈秀清

［摘  要］ 以一道几何题为例，通过一题多解的形式，引导学生进行多维思考，体验知识的生成过程，挖掘其中的数学规律，在融会贯通中加强知识的运用能力培养，进而发展学生的思维品质，培养学生的核心素养.

［关键词］ 一题多解；发散思维；体验教学；核心素养

学生学习兴趣的培养比学习方法重要，学习方法比学习知识重要. 在解题教学中，教师要引导学生积极参与，同一道题不要局限于一种解法，要通过多法探究，培养学生的发散思维，进而实现知识的融合贯通. 笔者通过一题多解的教学，融合初中几何众多重要知识，以使学生收获多种求解线段的方法与思路.

真题再现

问题：如图1所示，已知四邊形ABCD是边长为1的正方形，点E是线段AD的中点，连接BE得到△ABE，将△ABE沿直线BE折叠得到△FBE，BF与AC相交于点G，求线段CG的长.

这是一道以正方形为背景的几何综合题，综合考查了轴对称的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理以及三角函数等重要知识. 学生需要根据题意作出辅助线，构造全等三角形与相似三角形，然后利用它们的性质解答，其中渗透了数形结合、转化等数学思想，是一道较好的几何综合题.

解法探究

师：通过阅读试题，可得到的已知条件包括：正方形ABCD的边长为1，点E是AD的中点，△FBE是△ABE沿直线BE折叠得到，AC是正方形ABCD的对角线，所求问题是求线段CG的长. 当然线段CG的长不能直接去求，必须找到与线段CG相关的结构，从CG相关的结构入手找到已知与未知的连接点，与线段CG相关的结构有哪些呢？

生1：从图1可以看出，与线段CG相关的结构包括：线段AC，△CGB，△AGB.

如图2所示，延长BF交CD于H，连接EH.根据正方形的性质，可得AB∥CD，∠D=∠DAB=90°，AD=CD=AB=1；根据勾股定理，得AC===；由翻折的性质可知，AE=EF，∠EAB=∠EFB=90°，∠AEB=∠FEB；因为点E是AD的中点，所以AE=DE=EF=；因为∠D=∠EFH=90°，根据斜边直角边定理，得Rt△EHD≌Rt△EHF，所以∠DEH=∠FEH，∠HEB=90°；由同角的余角相等，得∠DEH=∠ABE；根据两角相等的两个三角形相似，得△EDH∽△BAE；由相似三角形的性质，得==.所以DH=，CH=. 因为CH∥AB，根据平行线分线段成比例定理，得==，所以，CG=AC=.

生2：既然△EBH是直角三角形，EF是斜边上的高，则由射影定理可得：EF2=HF·FB，即

=1×HF，解得DH=HF=，所以CH=. 因为CH∥AB，根据平行线分线段成比例定理，得==，所以CG=AC=.

师：上述两位同学都致力于求线段DH或HF的长，分别采用了相似三角形与射影定理，其他的步骤都相同，那么求线段DH或HF的长，还有没有其他的方法呢？

生3：求线段DH或HF的长，还可以通过勾股定理求得，设DH=HF=x，在直角三角形CBH中，CH=1-x，BH=1+x，BC=1，根据勾股定理，得（1+x）2=（1-x）2+12，解得x=，所以CH=，因为CH∥AB，根据平行线分线段成比例定理，得==，所以CG=AC=.

生4：如图3所示，也可以延长BF与AD相交于点N，NB与DC相交于点M，因为四边形ABCD是正方形，所以AN∥BC，根据平行线分线段成比例定理，得AG∶GC=AN∶BC，因为BC=1，AC是正方形ABCD的对角线，由勾股定理可求得AC=，所以只需求出AN的长即可. 在直角三角形ABN中，有四个直角三角形，根据两角相等的两个三角形相似，易得△NEF∽△NBA，所以NE∶NB=EF∶AB，即NE∶NB=1∶2，设NE=x，则NB=2x，在直角三角形NAB中，由勾股定理，得NA2+AB2=NB2，即

+x

+12=（2x）2，解得：x=，所以NA=，根据AG∶GC=AN∶BC，得AG∶GC=4∶3，所以 CG=AC=.

生5：既然可以向上延长相交，也可以向左延长相交，如图4所示，延长EF，BA相交于点N，根据两角相等的两个三角形相似，得△NEA∽△NBF，根据相似三角形的性质，得AE∶FB=NE∶NB，即NE∶NB=1∶2. 设NE=x，则NB=2x，在直角三角形NFB中，由勾股定理，得NF2+FB2=NB2，即：

x+

+12=（2x）2，解得：x=，所以NA=. 在直角三角形NAE中，tanN=3∶4，由同角的余角相等，得∠N=∠MBC，所以tan∠MBC=3∶4，所以MC=，因为CM∥AB，根据平行线分线段成比例定理，得CG∶AG=MC∶AB=3∶4，所以，CG=AC=.

生6：上述同学通过相似三角形得到了tanN=3∶4，所以tan∠FBN=4∶3，在△AGB中，已知∠GAB=45°，tan∠FBN=4∶3，AB=1，可以通过作这个三角形高线的方法求得边AG的长，如图5所示，过点G作GP⊥AB于点P，则AP=PG，GP∶PB=4∶3，所以AP=，PB=，所以GP=，根据勾股定理，得AG=，所以CG=.

师：这位同学把问题集在锐角三角形GAB中，通过解直角三角形求得AG的长，从而求得CG的长.在上述的不同解法中，分别展现了求线段长的三种方法，一是利用直角三角形的勾股定理求线段段长；二是利用相似三角形对应边成比例求线段长；三是利用解直角三角形求线段长，这些都是我们宝贵的解题经验.

教后反思

（一）重视学生体验知识的生成过程

学生学习知识是一个探索、发现、感悟的过程［1］，在此过程中，学生不仅收获了知识，而且体验到了知识的生成过程，收获了解题方法与数学思想. 在本课教学中，学生通过求与CG相关的量从而求得CG的值，体会到了转化的数学思想. 学生还通过添加辅助线构造直角三角形、相似三角形、全等三角形，利用直角三角形的性质、相似三角形的性质、全等三角形的性质解决问题，体会到了构造法在解题过程中的重要性. 同时，在探索的过程中，学生相互启发，由此及彼，由点及面，不断生发思维的火花，促进了思维的发展. 由此可见，数学教学应重视探究知识的生成过程，让学生在独立思考、小组交流中经历知识生成的过程，体验数学思想方法，从而获得探索的快乐.

（二）在规律探究中培养学生思考力

鲜活的问题是规律探究的有效载体. 实际上，学习数学就是通过解决问题发现其中的内在规律，然后运用规律解决问题. 规律的内涵丰富多样，可以是通项公式，可以是计算方法技巧，也可以是解决某类问题的思路与步骤，还可以是抽象出来的数学思想方法. 解决完具体问题后，不能局限于这一个问题，应通过追问与探索，看看解决问题的方法是否具有普遍性与规律性，问题的结论是否可以进一步延伸？数学问题千变万化，但数学规律是恒定不变的. 如在本例中，学生发现在某一个三角形中，已知一个角的度数与另一个角的正切值，还有一条边长，就可以解这个三角形，求出任意一边的长，方法是过第三个角的顶点作垂线，构造两个直角三角形，利用勾股定理建立方程可以求得相应线段的长. 又如，在复杂的图形中，发现其中的基本图形，如本例中有一线三等角模型、三垂直模型，还有A型相似、X型相似、反A型相似、反X型相似等.因此，在数学教学中，教师要有意识地培养学生探究规律的意识，不断提高学生的数学学科素养［2］.

（三）在融会贯通中加强知识的运用

数学知识是具有逻辑关系的一个知识体系［3］. 数学教师要帮助学生不断加固知识结构，提高学生综合运用知识的能力，让学生既见树木又见森林. 在本题的探究过程中，并没有单纯以解答问题为目的，而是注重了解法的对比联系，通过一题多解的形式促进学生多维思考，又通过多解归一实现知识的融会贯通. 学生探究出了五种解法，拓宽了思维路径，培养了发散思维. 同时，通过基本图形的发掘与基本方法的发现，学生能实现知识的内在统一.

参考文献：

［1］ 徐鑫. 通过一题多解培养初中生数学思维能力的实验研究［D］. 上海师范大学，2020.

［2］ 陈刚. 小题大做 思路尽显——初中数学一道几何题的多种解题方法［J］. 中学生数理化（教与学），2020（02）：83+85.

［3］ 范连众，徐志强. 善用“一题多解” 提升学生的数学素养［J］. 辽宁教育，2020（03）：38-40.