初中数学教学中纠错原则、时机与方法的探究

杨小璐

［摘  要］ 纠错是学生掌握数学知识与技能、提高解题能力的关键步骤，也是提高学生反思能力的基础，对学生数学核心素养的形成与发展有着深远的影响. 研究者认为纠错教学需遵循目的性、针对性、主体性和巩固性原则，同时提出纠错的时机有及时与延后两种，纠错的方法有自纠、他纠与师纠.

［关键词］ 纠错；原则；时机；方法

心理学家R.Bainbridge认为：差错每个学生都有，教师若不加以利用是不可原谅的.错误是学习者攀上正确结论宝座的台阶，利用错误引导学生步入正轨是每个教师的基本职责［1］. 实践证明，数学纠错教学需要遵循一定的原则与方法，学生在纠错过程中能不断优化思维，形成系统的认知结构，为培养自身的辩证思维能力奠定坚实的基础.

纠错教学应遵循的原则

（一）目的性原则

错误产生的原因有多种，分别有教师、学生方面的问题，还有教学环境对学习产生的影响等.其中，最主要的错误原因集中在学生层面，有智力与非智力两大因素.从错误的认知结构角度来区分，存在知识性、策略性、心理性与逻辑性等错误；从错误的表现形式来看，错误发生的原因有审题、运算、方法、运算或表述欠规范等.

人们常说的纠错，主要是针对学生认知结构方面的错误而言. 作为教师，首先要明确学生错误发生的原因，并在此基础上明确教学目标，此目标包括认知目标、情感目标以及智能目标等，且目标不宜过高或过多.

（二）针对性原则

每个学生受认知经验的影响，所产生的错误类型各不一样. 纠错之前，教师应根据错误类型，有针对性地对普遍性错误、抽象晦涩的错误以及解題方法错误等进行纠错教学. 同时还要搜集、整理学生的典型错误，重点明确地、有针对性地进行讲解，以突出问题的本质. 切不可尝试面面俱到地讲解，那只会浪费课堂宝贵的时间，降低学习效率.

（三）主体性原则

学生是课堂的主人，纠错课亦如此. 教师在纠错教学时，应突出学生的主体地位，创设丰富的教学情境，运用学生感兴趣的教学手段，引导全体学生积极地参与到纠错中来. 而教师应充当引导者的角色，在学生自主探究过程中，教师可在学生知识的生长点处加以启发、引导与点拨，鼓励学生自主发现错误的根源，从而找出解决问题的关键. 或者鼓励学生采用分组讨论的方式，在取长补短中发现学生思维的偏差点，及时纠正错误，实现思维的突破.

（四）巩固性原则

实践证明，缺乏练习的纠错效果很差，往往隔几天学生同样的错误又会死灰复燃. 反馈练习是克服这个问题的主要手段，这里所说的反馈练习不仅仅是巩固练习，还包括变式拓展，学生只有从根本上掌握数学思想方法与解题技巧，才能实现真正意义上的纠错.

纠错教学应遵循的时机

（一）及时

纠错讲究时效性. 学生新知建构时所发生的错误，如概念、定理等的理解偏差或方法理解错误等问题，及时进行纠正，往往能起到良好的效果；学生的一些无意识错误，表现比较隐匿，常常不会自主发现，如运算过程中的格式不规范等问题，若教师能给予及时引导与纠正，往往能起到良好的效果［2］.

例1 一部分学生，总是搞不清楚以下几种说法所表达的真实意义：①x，y的平方差；②x，y的差的平方；③x，y的平方的差.

从字面来看，这三种表达方式非常接近，难怪学生会混淆不清. 为了清除学生学习道路上的障碍，教师应及时引导学生对这几种表达方式进行辨别，只有从根本上弄清其所表达的意思，才能保证解题时不出现差错.

如平方差公式的应用，一些学生对这个知识点模糊不清，看到问题就生搬硬套，从而导致（-x+y）（x+y）=x2-y2错误的发生；还有学生将完全平方公式理解成（a+b）2=a2+b2. 面对这些错误，教师应及时矫正学生的认知结构，避免学生将错误的内容建构到认知中，形成不良记忆，为后续解题带来隐患.

（二）延后

面对下面两类问题，教师可采取延后纠错的方式：一是对学生整体数学思维与解题思路影响较小，对主体教学过程不会引起重大冲突的错误. 若即时纠正，则会打断学生的解题思路，影响学生对问题的全局性理解；二是典型错误，具有显著的代表性，需要重点强调、系统讲解的错误.

例2 解方程（x+2）（x-1）=2+x.

错误：学生将方程的两边同时除以“2+x”，解得x=2的结论.

这是一个典型的错误类型，很多学生在初次接触此类运算时，都会犯这样的错. 同时，本题对接下来的课堂讲解不会造成不良影响. 为此，笔者采取延后的方式，带领学生针对此类问题进行启发式的纠错，以帮助学生形成正确的解题方式.

师：解本题时一些学生想到了用“约公因式”的解题方法，就在方程的两边同时除以“2+x”这个式子，并获得了x=2的结论，你们觉得这种解题方法对吗？

生1（语气不够肯定）：好像不对.

师：你们觉得哪里不对？大胆地说出你们的看法，错了也没有关系，让我们一起来探讨这个问题.

（学生沉思）

生2：“2+x”中含有未知数，我们还不知道它的取值，直接用来运算，好像不合理.

师：没错！在方程的两边同时除以一个包含未知数的代数式，运算后所得的方程和原方程不一定是同解.因此这样的变形方式存在失根的情况.

（学生有所感悟）

生3：我是不是可以将本题的错误理解为：解题中因除掉了“x=-2”这个因子，致使失根的情况？

生4：对的. 因此我们遇到解此类方程的问题，不能将一个代数式作为除的对象，还是要先移项，再进行因式分解，在降低方程次数的情况下解方程，才能避免出现失根的现象.

师：总结得非常好. 本题出现错误的关键在于除以了代数式“2+x”，以后我们遇到此类问题要避免出现这样的错误. 本题除了以上解题方法之外，还存在其他的解题方法吗？

（学生思考）

生5：如果我想坚持在等式的两边同时除以“2+x”，有没有办法解题？

学生们都觉得不可思议，这不是刚刚被否定掉的解题方法吗？教室里传来了窃窃私语.

生6：如果要从这条思路去解题的话，首先要确保“2+x”的值不为零.

生7：问题是题设条件中并没有明确表示“2+x”不为零呀，而且当“2+x”的值为零时，该方程也是成立的.

在这两位学生的交流中，不少学生恍然大悟，提出用分类讨论的方式来解决.

师：应该怎么分类呢？

生8：自然是以2+x=0与2+x≠0两种方式来分类.

……

通过教师的点拨与学生的自主探究，本题获得了不同的解决方法. 回过头来看，延后纠错从本质上来看，就是让学生围绕某个特定的错误，给予学生充足的探讨与反思空间，让学生在一定的范围内进行探索研究的过程. 延后纠错的方式更符合学生的认知发展规律，可以让学生的思维在探索中得到有效提升. 同时，学生的思维之门被打开，常会得到意想不到的收获. 因此，延后纠错法是初中数学纠错教学的重要手段之一.

纠错教学应遵循的方式

（一）自纠

学习过程中，有些错误是学生常会犯的. 作为教师，要做到心中有数，对于学生常犯的一些典型错误，可鼓励学生与同伴多交流，及时发现错误，从而自主纠正.如何培养学生的自主纠错能力是笔者经常思考的问题. 实践证明，教学过程中将正确的检查方法渗透给学生，对学生自主发现错误具有重要作用. 不论遇到什么问题，教师要引导学生认真读题、审题，及时发现问题中的关键信息，这样能避免错误的发生.

例3 已知关于x的方程（m2-4）x2+2（1+m）x+1=0有实根，求m的取值范围.

本题是一道常规题，难度系数并不大，但学生在解题中总会出现错误. 为此，笔者特邀请两位成绩中等的学生到黑板上演示解题过程，以供大家讨论.

生1：题设条件明确提出此方程有实根，那么可确定Δ=［2（1+m）］2-4（m2-4）=20+8m≥0，可得m≥-，由此可知本一元二次方程中m的取值范围为≥-.

师：请同学们重新审题，看看本题有没有什么隐含条件，或者被我们忽略的东西呢？

（学生重新审题）

生2：本题并未明确表示该方程是一个一元二次方程.

师：哦？遇到这种情况，我们该怎么处理呢？

生3：需要分类讨论，才能回答完整.

师：本题该从什么角度进行分类讨论呢？

生4：可分为m2-4=0与m2-4≠0两种情况进行讨论.

……

随着教师的引导，学生在解题过程中不仅发现了错误的原因，还自主找到了解决问题的具体办法. 这种教学模式，不仅能有效地提升学生的纠错能力，还能有效地发展学生的思维，为学生的辩证思维能力的形成奠定基础.

（二）他纠

学生因年龄特征与生活经验的相似性，对问题的看法常存在一定的共性. 当学生对概念、定理或公式的理解出现偏差时，教师可引导学生观察同伴的解题过程，并针对同伴所呈现的方法与结论谈谈自己的看法，这样能让学生从其他学生身上看到自己的影子，不仅能纠正别人的错误，还能有效地提高自己的洞察力［3］. 同时，学生可取长补短、查漏补缺，避免别人的错误在自己身上发生.

例4 如图1，已知正方形ABCD的边长是4，点P为BC边上的一个动点，且QP与AP为垂直的关系，交CD于点Q，假设PB=x，△DQA的面积是y.

（1）求x，y之间存在怎样的函数关系，列式表达；

（2）求点P位于何位置，△DQA的面积值最大？

在学生解完题后，教师并没有马上呈现正确答案，也没有进行讲评，而是要求同桌之间互相查看对方的答案与自己的答案是否有差异. 在同学的交流过程中，不少学生发现同伴出现了以下的错误解题方式：

错解：（1）y=x2-2x+8；（2）根据y=x2-2x+8，解得（x-2）2+6，因此在x=2时，△DQA的面积最大为6.

观察发现，班上有好几名学生都发生了类似的错误. 为了让学生记住正确的解题方法，教师鼓励学生以小组合作的方式来讨论本题，由小组长与同学一起分析错因，小组成员一起探寻正确的解题方法.

巡视过程中，教师听到如下交流：观察图1，如果点P的位置恰巧在点B处，点Q的位置就位于点C处，那么此时△DQA的面积与△ABC的面积则相等，为8. 显然大于以上所求得的6，因此这种解题方法肯定是不对的.

通过交流，学生得到以下结论：本题在解第二问时，特别容易出现两个错误，分别是：①将最小值理解为最大值；②认为所求面积只存在最小值，没有最大值. 而出现这些问题的根本原因就在于解题过程中，点P的限制条件被忽略了.

随着互相纠错法的应用，学生对此知识点产生了深刻的认识，这比教师拼尽全力地讲解效果来得直接、明显. 他纠的方式，一般适用于错误比较单一，学生容易理解的错误中. 学生在互相纠错的过程中，不仅体验到学习带来的乐趣，还有效地培养了学生的观察能力与思维能力.

（三）师纠

有些错误的发生呈群体性，且错误的成因特别混乱、复杂，自纠与他纠无法达到良好的效果. 遇到这种情况，就要发挥教师的作用了. 教师首先要分析错误发生的原因、学生的认知水平以及预期的教学效果等，做到知此知彼，才能百战不殆. 有时，反例法的点拨，能开阔学生的视野，让学生彻底告别混乱不清的思绪.

例5 如图2，已知∠ABD=∠BCA，∠ABC=∠D. 不少学生根据这两个条件，就确定△ABD≌△ACB. 面对这个错误，教师首先应分析学生形成这个错误的原因，并根据学生的认知结构，在归因后采取一定的教学手段进行纠错.

学生所提到的这两个三角形并非是全等的关系，因为△ABC中所涉及的AB边与△ABD中的AB边并非为对应的两条边.

与之类似的还有一些学生，将两个三角形中两条边和一对角对应相等的情况，判断为这两个三角形为全等关系. 以上错误都是学生对概念的理解不够清晰引起的，在遇到解决实际问题时，就会出现知识的混乱，觉得差不多就给予判断，从而导致错误的发生. 遇到此类情况，教师应带领学生回过头来将基础的概念、定理等重新分析、解读，帮助学生实现知识的重构.

总之，错误并不可怕，只要教师用正确的态度去面对错误，充分挖掘与利用错误资源，那么错误就是宝贵的、有价值的教学资源. 教师从心理学角度出发，利用错误在学生心中形成的落差效應，抓住契机，用适当的方式给学生带来认知上的震撼与冲击，往往能起到良好的纠错效果.

参考文献：

［1］ 陈琦，刘儒德. 当代教育心理学［M］. 北京：北京师范大学出版社，2007.

［2］ 李善良. 怎样培养学生的批判性思维能力——美国中小学教材考察报告［J］. 教育科学研究，2012（03）：69-75.

［3］ 梁丽巧. 谈初中学生数学纠错能力的培养［J］. 中学数学月刊，2014（08）：24-26.