激发合理猜想，成就数学学习的翅膀

卜英俊

［摘  要］ 数学猜想是学生根据已知规律做出的合理推断，并能通过推理论证发现新知的过程. 提高猜想能力可以培养学生的创新思维，激发学生探究未知的乐趣，为数学学习插上想象的翅膀.

［关键词］ 猜想；数学学习；推理论证

猜想在数学学习过程中是一种重要的探索手段，在数学发展史上很多伟大的定理都是通过猜想发现的，当然也有一些猜想被验证是不正确的. 无论成功与失败，都表明猜想是学习数学的一种重要的能力. 学生具备了猜想的能力，就为数学学习插上了想象的翅膀，学会了提出问题并解决问题，使自身的思维得到进一步的锻炼.

關于数学猜想的含义

数学猜想不同于想象，它是以数学知识为基础，在已有规律的基础上，通过数学方法进行推断或者推测. 猜想的过程是运用数学知识进行分析和判断的过程，因此提出猜想本身就包含着创造性的劳动. 正是因为有很多伟大的猜想，推动着数学理论不断发展，甚至在论证一些猜想的过程中还能发现其他的数学定理. 因此培养学生的猜想能力，对于促进学生敢于质疑、敢于提出问题、敢于创新具有非常重要的意义.

如何培养学生的猜想能力

数学猜想能力的培养体现在课堂的每一个环节、每一个设计当中，教师只有深知教学活动与学生思维之间的关系，才能在活动中训练学生的思维，让课堂充满活力.

（一）动手实践，激发猜想兴趣

思维的锻炼与实践密切相关，学习过程中如果都是间接经验，学生不会有深刻的体会. 而通过直接的动手操作，可以让学生在获得直接经验的过程中，激发猜想的兴趣.

案例1三角形中位线定理

师：同学们已经学习了三角形中位线的概念，那么三角形的中位线有哪些性质和特征呢？同学们不妨来自己动手画一画，看一看，想一想.

同学们应注意任何线与线的关系都有两种，一种为位置的关系，一种为数量之间的关系. 同学们可以大胆地猜想一下.

生：我根据刚才画的几条中位线发现，三角形的中位线与三角形的第三边平行而且长度等于第三边的一半.

师：好的，同学们既然有了猜想，那我们要试着去论证一下这个猜想是否正确. 大家可以试着动手做一下. 大家做一个如图1的三角形，沿着三角形的中位线把△ADE剪下来，试着把△ADE和四边形BDEC拼接成一个平行四边形（如图2）.

师：看来同学们都拼接成功了，其实我们发现拼接的过程就相当于将DE延长，使E成为DF的中点，那么如何证明刚才你们的猜想呢？

生：通过三角形相似原理，BD∥CF，DF∥BC，也就证明了四边形BDFC是平行四边形，那么BC和DF相等，而E成为DF的中点，因此DE是BC的一半.

本例中教师并没有将定理直接告知学生，而是引导学生通过自己的作图和观察进行猜想，继而又通过剪拼发现了证明猜想的办法，这一系列的思维活动通过发现问题到证明问题，最终使学生获得成功的喜悦，激发了探究的兴趣.学生有了兴趣的驱使，学习就变得轻松愉快，自然愿意投入更多的时间和精力，愿意发挥自己的主观能动性去积极的探索和学习，让学习真正成为一种自觉.

教学中教师要积极创设活动，让学生主动参与，动手实践，大胆猜想，运用自己所学的知识大胆设疑、充分证明，激发自身学习的积极主动性.

（二）掌握方法，培养猜想能力

数学猜想是在已有数学知识的基础上，采用数学方法进行的推理，因此掌握数学方法是猜想需要的前提. 猜想过程中普遍需要用到归纳和类比转化的思想，在教学中教师要不断培养学生归纳和类比的数学推理方法.

1. 学会归纳方法

归纳是学生提高学习效果的重要方法. 简而言之，归纳是由零散到整体的总结，是由特殊的例子推而广之成为普遍的定理.

案例2 凸多面体中面、棱和顶点的关系

探究这其中的关系较难，凸多面体也无法穷尽，所以可以采用举例研究特殊图形来找到规律. 教师引导学生通过列表格进行分类整理（如表1），在整理的过程中发现面、顶点和棱虽然增长的数量不一致，但是都有着同样的增加或者减少的趋势. 再仔细研究学生就会发现面与顶点的和等于棱的数量加上2.

本案例是典型地采用了归纳推理的方法. 研究一种较难的数学定理或者猜想时，不要妄想一步登天，可以从最简单的部分着手，为了更加清楚直观，可以尽量采用列表、举例的方法，多举一些简单的例子进行观察，从变化当中发现不变的规律，自然可以发现其中的定理. 在教学中教师要逐步引导学生通过特殊到一般的推理，有效简化推理的过程，论证猜想.

2. 学会类比思想

类比思想是根据同类事物进行猜想和推理，在数学问题的解决过程中，类比思想应用非常广泛，很多重要的数学定理的论证就是通过类比思想完成的.

案例3 多边形内切圆半径

问题1：如图4，已知三角形ABC的周长为l，三角形内部有一个内切圆O，其半径为r，以O为顶点划分成三个三角形. 经过证明可知三角形ABC的面积等于三角形周长乘以内切圆半径的一半. 由此得出猜想1：若四边形ABCD有一个面积为s的内切圆，四边形各边长分别为a，b，c，d，求推导出内切圆的半径.

问题2：如图5，圆O为四边形ABCD的内切圆，OA，OB，OC，OD将四边形ABCD分割成四个三角形，△OCD，△OCB，△ODA，△OAB的高都是圆的半径，因此r=. 据此可得出猜想2：若一个n边形存在内切圆，且已知圆的面积为s，边长分别为a，b，c，d…n，根据以上的猜想可以得到这个内切圆的半径为r=.

本题通过典型的类比思想，先从三角形推理到四边形，进而再推广到n边形，使一个复杂的问题得以推理论证.类比思想就是对相似的性质、过程或者结构等进行联想和推理，教师在进行定理的讲解、习题的练习时都可以潜移默化地渗透这种思想，使学生利用知识之间的联系和类比，进行合理的猜想和推理.

加强变式练习，提高猜想能力

变式训练是有效拓展学生思维的方法，教师只有进行大胆的思维训练，才能让学生大胆质疑和猜想，提高猜想能力.

案例4

原题：如图6，以△ABC的两条边AB和AC为边，向外作正三角形ABD和ACE.请证明BE=DC.

本题是一道并不困难的证明题，如果只是讲解这道题，并没有很好地发挥它的作用，可以改变已知条件，也可以改变结论，还可以将图形与函数相结合，让这道题真正发挥出它的潜在价值——一题多变.

变式1：在已知条件不变的情况下，增加求答问题.

以△ABC的两条边AB和AC为边，向外作正三角形ABD和正三角形ACE.（1）证明BE=DC. （2）猜想直线CD与直线BE的夹角有什么特征？

变式2：增加新的结论，逆向推导已知条件.

如图7，以△ABC的三条边AB，AC，BC为边，在BC边的一侧作等边三角形BCF、等边三角形ACE和等边三角形ABD，请证明四边形DAEF是平行四边形.

猜想：当△ABC在什么情况下，四边形DAEF是矩形？当△ABC在什么情况下，四边形DAEF是菱形？当△ABC在什么情况下，四边形DAEF不存在.

通过改变已知条件，将试题变成一道几何综合题，增加了题目的难度，也需要学生运用综合思维能力以及分析和逻辑推理能力，在变式练习的过程中，学生的猜想能力得到了提高. 猜想是思维的综合运用，在教学中教师需要鼓励学生大胆思考，对学生的想法要多鼓励和表扬，不能直接否定，可以通过引导分析，让学生逐渐找到思路. 只有在不断的训练过程中，学生的猜想能力才能得到提高.

总之，猜想可以使学生锻炼思维，学会类比转化思想，进行更加综合的思考，让知识更加深刻；猜想还能增加学生的自信，培养学生的创新意识. 猜想是兴趣使然，反过来又能激发学生的学习兴趣，所以教师要充分利用好猜想，让它为学生的学习插上飞翔的翅膀，让学生飞得更高、更远.