合理猜想，有效验证

游建青

【摘要】《数学课程标准》中指出：让学生经历观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动过程，发展合情推理能力，培养创新意识.新课程倡导主动参与、探究发现的学习方式.在数学教学中，猜想验证作为学生数学学习探究中的一个重要组成部分，在培养学生的探究意识、提高探究能力等方面具有独特的功能.本文阐述了在小学数学教学中运用“猜想验证”实施有效探究学习的策略.

【关键词】猜想；验证；有效；探究

《数学课程标准》中指出：让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力，培养创新意识.新课程倡导主动参与、探究发现的学习方式，猜想验证因其内在特点对学生产生的吸引力，使其具有引起学生主动探究、发现的特殊功能.因而，在数学教学中有效地进行猜想，科学地进行验证，是实践新课程理念的有效举措.

鼓励学生猜想要合理，引导学生验证要有效，那么在实际教学中，我们又该如何运用“猜想验证”有效地进行探究学习呢？

一、渗透“猜想验证”思想，培养探究意识

猜想验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“真正的数学家——常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实.”因此，小学数学教学中教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索、获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展，同时在思想方法的渗透中培养学生的探究意识.

在实际教学中要让学生通过“感知—假设—验证—归纳”，感知是播撒思想方法的种子，假设是展开思想方法的翅膀，验证是把握思想方法的方向，归纳是收获思想方法的果实.在经历知识的形成过程中，不仅获得了数学结论，更重要的是逐步学会了获得数学结论的思想方法——猜想验证，提高了主动探索、获取知识的能力，增强了学好数学的信心.

二、运用“猜想验证”方法，提高探究能力

（一）引导学生体验感悟促进有效学习

从学生的学习过程来看，猜想是学生高效学习的良好准备，它包含了学生从事新的学习或实践的知识准备、积极动机和良好情感，是一种体验过程.

体验是学生用全部的心智去感受、关注、欣赏、评价某一事件，猜想验证正是一种体验过程.而在体验基础上的理解则是经历撞击、感悟等心智活动后的深度的理解.

1.经历认知冲突，在体验中豁然

在教学实践中，由于学生的猜想是建立在已有经验的基础上，这样难免有些认知上的偏差，尤其对抽象的数学新知会产生冲突和错误，但是这样的冲突和错误是可以作为教学资源的，它显而易见的价值是使学生发现问题本质进而提升认识，获得强烈的体验并在体验中豁然开朗.

例如：“工程问题”教学，以下是把工作总量抽象成“1”的环节：

首先出示：我们学校准备重修300米长的围墙，甲建筑队保证10天完工，乙建筑队保证15天完工.两队合修，几天完成？（学生解答：6天完成）

其次改编：把上题的“300米”分别改成“100米、150米、600米、900米”，请学生猜想，这样合修几天能完成？（马上学生纷纷举手，认为是2天、3天、12天、18天等，但是笔者清楚地发现有些学生若有所思：大概既认同又有疑惑）

然后组织探究：先自主探索，然后在学习小组中说说各自的发现，并讨论为什么？

学生在发现自己的猜想是错误后，感觉是疑惑的；在发现小组同学的结论后，感觉是惊奇的；在随之“为什么会这样”的小组讨论反馈后，感觉是释然的.这样的体验经历学生是很难忘记的，这样的收获也将会是终身受益的.

2.经历多次猜想验证，在体验中得以升华

教师提供生动的材料组织学生探索，让学生经历多次猜想，在不断探索中深化认识，经历多重体验.最终不仅使学生获得了正确结论，而且在此过程中，让学生不断获得求知的体验，获得自主修正猜想、接近成功和获得成功的巨大体验，并可能在不断的碰撞中得到认识上的升华.

例如：“能被3整除的数的特征”：

（1）学生任意报数，老师快速判断这个数能否被3整除，学生验证.

（2）小组合作学习：每个小组提供三组卡片，每组卡片形状不同.第一组长方形卡片5个数：1，2，3，4，5.第二组圆形卡片4个数：7，3，5，0.第三组平行四边形卡片，为3个数再加一张空白卡片：2，7，5，空.

提出合作学习要求（投影显示）：

步骤内容提出猜想或修正猜想

①第一次猜想.

②用长方形卡片任意排成5位数，用计算器检查能否被3整除.

③用正方形卡片任意组成4位数，用计算器检查能否被3整除.

④用平行四边形卡片上的数字排成任意3位数，用计算器检查能否被3整除，再在空白卡片上填上一个数字，使得排出的数能被3整除.

⑤在空白卡片上填另外的数字，看排出的数能否被3整除.

⑥验证猜想，写下研究的结论.

学生根据初步体验得出的第一次猜想是建立在直觉基础上的，学生一开始马上想到的是：个位上是3、6、9的数能被3整除.但是在小组内马上听到了不同的质疑声音.

学生在完成步骤②的时候，发现怎么摆都能被3整除，完成步骤③的时候，学生发现两组数的和都是15，于是猜想到如果和是15就能被3整除，笔者发现确实有一些组提出了这样的猜想.

学生在做步骤④的时候，发现几乎所有小组都在空卡片上填写了数字1，使得和等于15.结果发现确实能被3整除，学生都非常兴奋.基本肯定了前面提出的猜想.

在做⑤的时候，学生又陷入了疑问，比如一个组在空白卡片上填4后，和等于18，这个数也能被3整除，使学生又进入更深层次的猜想.最后获得正确的结论.

学生在猜想中体验了知识发生的始终，既感受了探究新知的辛劳，又享受着成功的喜悦，因此，猜想是一种有滋有味的体验过程.在猜想中，学生发现数学学习是有趣的，也是艰辛的；有收获时的喜悦，也有失败时的沮丧；有时答案好像垂手可及，有时却是不着边际的摸索……在猜想中，学生充分体验了学习活动的魅力.

（二）引导学生有效探究提升思维水平

猜想，从心理学角度看，是一项思维活动，是学生有方向的猜测与判断，包含了理性的思考和直觉的推断，是比较高级的思维方式.猜想，是学生凭借所已有的知识经验，通过观察、比较、归纳、推断等手段，借助思维的综合，进行目标推断的过程.在这个过程中，学生的思维活跃，处于积极主动的状态.在获得猜想后，学生进一步形成的希望知道猜测是否合理的验证活动，以及发现猜想错误而提出新猜想的活动，让学生经历一种有情有趣的思维过程.

1.正面探究，诱发思考

在小学数学教学中，可以让学生利用已有的知识经验，对新知进行猜想，然后在猜想的引领下，促使学生积极思索，在假定的探索航线上寻求问题的解决.这样的教学，以先前的猜想为思维起点，其后的修正或者可能的进一步猜想、检验、判断等为思维进程，最终获得结论.

例如“我们认识的数”：

猜一猜：先让学生像老师一样把手张开，从1号口袋里抓一大把糖，数一数有几粒，记在心里后放回口袋.再让学生猜一猜如果像刚才那样从2号口袋里抓一大把花生，大约有几粒？学生抓一把花生验证自己的猜测.接着小结：花生的个儿小，糖儿的个儿大，同样抓一把，花生比糖的粒数多.最后再请小朋友估计一下，如果像刚才一样从3号口袋里抓一把黄豆，大约有多少粒？为什么？并实践验证.

再猜：老师让学生猜一猜老师抓一大把花生大约有多少粒？为什么？

接着小结：老师的手儿大，小朋友的手儿小，抓一把同样的物体，老师抓到的数量比小朋友的多.

还猜：老师拿出一个大橘子，请学生猜一猜这只橘子可能有几瓣？再拿出一个小橘子，请学生猜一猜这只小橘子又有几瓣？为什么？对于孩子们的众说纷纭，老师笑着说：“橘子个儿小瓣数就一定少吗，橘子个儿大瓣数就一定多吗？”课后，小朋友吃橘子的时候留心数一数，说不定你还能发现一个有趣的现象！

老师由浅入深精心布局的“猜一猜”活动帮助学生积累大量的活动经验，并引导学生在不断的猜想与反思（验证）中逐渐提升对数感的感悟层次，更难能可贵的是：在简单看似的认数活动的背后还蕴藏着深刻的辩证思想：从“同样大小的手抓不同的物体”反映出“空间一定，物体大小与物体数量成反比”的规律；从“不同大小的手抓同样的物体”反映出“物体一定，空间大小与物体数量成正比”的规律；最后的“猜一猜橘子有几瓣”又反映学生“空间大小与物体数量、物体大小有时并没有必然的联系”，引导学生初步体会到“任何物体之间的关系都是相对的”.

2.反向建构，提升思维

常常听到教师“讲了很多次了，也做了很多题了，但是学生怎么还要错？”等等的抱怨.学生错误产生的原因是多方面的，原因之一是“单行线教学”.比如，应用题教学的一般模式是“例题讲解—获得方法—练习巩固”，在练习课或者复习课时教师往往让学生进行较多的练习.这样的教学是单向的，效果并不理想.特别是在练习课和复习课中，有时利用猜想验证内在的思维价值，变“正向教学”“反复操练”为“反向构建”，更能帮助稳固学生的认知结构.

比如，在十一册总复习时，有一次出示了一组算式：

3.14×8

（8÷2）2×3.14

5000×2.25%×20%

3.14×（42-32）

……

先猜想这些算式可能在解决什么问题，算式中的数据可能是什么？选择一道进行研究，利用自己熟悉的方法进行验证.

反馈时，学生发言热烈，还有一些学生以编应用题的形式呈现，还有学生“违背”了大众化的认识，进一步进行了探究，创编了“另类”题，比如一个学生以画图的形式，展示了他对“3.14×8”的猜想成果：

他的解释是：已知正方形的面积是8平方厘米，求圆的面积.

不难发现，这位学生的猜想来自于自己已有的知识经验和思维的结果，这样的猜想实际上是对学生思维的唤醒.在学生观察一个非常普通枯燥的算式时，让学生根据算式猜测数据的意义，进而猜想算式的现实情境，相对“根据应用题列出算式”这样的正向探究活动来说，这是一个反向联结，这时学生的思维活动是积极的、主动的，以此帮助学生构建一个稳定的认知系统，也可能促使学生通过进一步探究获得不同的多样的发现.

猜想是一种思维方式，有助于发展学生的数学思维能力，特别是创新思维能力.因为学生的猜想必定带有个性的色彩，这种建立在个体一系列思维活动基础上的猜想，很可能激起学生创新的火花，产生创新性的成果.

猜想可以发展学生的思维，建立在一定直觉性基础上的猜想内含了宽泛的思维空间，学生的思维可以在其间纵横驰骋，在自身建构猜想的过程中、在与他人交流猜想的过程中都会产生思维冲撞，从而不断推进思维水平的提高.

【参考文献】

[1]严育洪.新课程教学九辩[M].北京：首都师范大学出版社，2007.

[2]詹明道.名师课堂经典细节[M].江苏：江苏人民出版社，2005.