视角各异皆有思 解法纷呈亦自然

摘要：圆锥曲线的定义与性质蕴含丰富的数学思想，其与平面几何的简要综合也是历年高考命题的热点，文章通过对2021年高考数学全国甲卷理科第15题的解法探究、变式研究，以提升学生的逻辑推理能力、运算求解等能力.

关键词：高考数学;圆锥曲线;一题多解

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0081-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：栾功（1982.10-），男，甘肃省陇西人，本科，中学高级教师，从事数学教学研究.[FQ）]

纵观历年高考，圆锥曲线的定义、标准方程、性质与平面几何的综合成了命题热点，试题贴近教材，低起点、宽入口的特点给考生提供了多角度的思考空间，思维灵活，解法多样.如果教师在教学中能充分挖掘真题的价值，对于培养学生逻辑推理能力，数学运算等能力将大有裨益.

1 试题呈现

题目（2021年全国甲卷理科15文科16）已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且PQ=F1F2，则四边形PF1QF2的面积为.

分析试题以椭圆焦点F1，F2和椭圆上关于中心对称的两点P，Q为顶点设计了四边形PF1QF2，其内涵丰富，构图灵活，有利于考生从不同角度入手求解.

2 试题解法

解法1如图1，在四边形PF1QF2中，有PQ=F1F2，且O为PQ与F1F2的中点.

所以四边形PF1QF2为矩形，F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点.

所以PF1+PF2=8，F1F2=43，PF12+PF22=48.

故PF1·PF2

=12PF1+PF22-PF12+PF22

=8.

从而SPF1QF2=PF1·PF2=8.

解法2设Px0，y0，由题设知

OP=12F1F2=23.

所以x20+y20=23.

即x20+y20=12.①

又点Px0，y0在椭圆C：x216+y24=1上，

故x2016+y204=1.②

联立①②，解得y0=233.

所以SPF1QF2=2SΔF1PF2=2×12×43×233=8.

解法3因为F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，所以F1F2=43.

又PQ=F1F2，故PQ=43.

设P4cosθ，2sinθ，则

OP=4cosθ2+2sinθ2=23，

解得sinθ=33，

即yP=233.

所以S△F1PF2=12F1F2·yP

=12×43×233=4.

从而SPF1QF2=2S△F1PF2=8.

解法4设Px1，y1，Qx2，y2，直线PQ的方程为x=my，联立x=my，x216+y24=1，得

4+m2y2-16=0.

所以

y1-y2=84+m2，

PQ=1+m2y1-y2=43.

即1+m2·84+m2=43，

解得1+m2=9.

记点F223，0到直线PQ的距离d=231+m2，

则S△QPF2=12×PQ×d

=12×43×231+m2=4.

所以SPF1QF2=2S△PQF2=8.

解法5由橢圆的对称性，不妨设点P在第一象限，椭圆C：x216+y24=1化为极坐标方程为

ρ2=161+3sin2θ.

由OP=OF2=23，故设点P的极坐标为P23，θ，代入椭圆C的极坐标方程，得

12=161+3sin2θ，解得sinθ=13.

所以SPF1QF2=2S△F1PF2=4S△POF2

=4×12×OP×OF2×sinθ

=4×12×23×23×13=8.

解法6设直线PQ的参数方程为

x=tcosα，y=tsinα（t为参数），

代入椭圆C：x216+y24=1，得

t2cos2α+sin2α=16.

即t2=161+3sin2α.

记点P，Q对应的参数分别为t1，t2，

则由参数t的几何意义知t1=t2=23.

所以232=161+3sin2α.

解得sinα=13.

从而SPF1QF2=4SΔPOF2=4×12×23×23×13=8.

3 试题变式

通过探究我们得出了试题的六种解法，虽精彩纷呈，但仍感意犹未尽，我们尝试从不同的立场，不同的方面来观察题目，改变问题的结构形式，革新问题的曲线背景，在变式探究中进一步培养学生的逻辑推理能力、数学运算等能力.

变式1已知O为坐标原点，椭圆C：x216+y24=1的右顶点为A，上顶点为B，D是椭圆C上且位于第一象限的动点，则四边形AOBD面积的最大值是.

解析记四边形AOBD的面积为S，如图2，连接OD，设D4cosθ，2sinθ，则

S=S△OAD+S△ODB

=12×4×2sinθ+12×2×4cosθ

=42sinθ+π4，

当θ+π4=π2，即θ=π4时，Smax=42.

即四边形AOBD面积的最大值是42.

变式2椭圆C：x216+y2b2=1的上下顶点分别为A，B，如图3，点P在椭圆C上，平面四边形APBQ满足∠PAQ=∠PBQ=90°，且S△APB=4S△AQB，则椭圆C的短轴长为.

解析设Px1，y1，Qx2，y2，由题设∠PAQ=∠PBQ=90°知点A，P，B，Q四点共圆，且圆心在直线AC的垂直平分线上，记为Dx0，0，则x0=x1+x22.

又S△APB=4S△AQB，所以x1=-4x2.

因此x0=38x1.

故圆D的方程为

x-38x12+y2=x1-38x12+y21.

代入点A0，b，得b2=14x21+y21.③

又點Px1，y1在椭圆C上，因此x2116+y21b2=1.④

联立③④，得b2=4.

所以椭圆C的短轴长为4.

变式3设双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a=.

解析由题意，设PF2=m，PF1=n，可得m-n=2a，12mn=4，m2+n2=4c2，e=ca=5.

所以4c2=16+4a2.

所以5a2=4+a2，解得a=1.

数学家陈省身曾言：“数学是自己思考的产物，首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，才会有很好的效果.”数学思考是数学教学行为中最有价值的行为，在高三复习备考中，我们要充分挖掘高考真题的学习价值，引导学生对问题展开深入思考，通过一题多解、一题多变、多题一解构建知识网络，深化理性思维，感悟数学本质，提升数学素养，破除“应试教育”.

参考文献：

[1] 于涵，莫雷.中国高考评价体系说明[M].北京：人民教育出版社，2019.

[责任编辑：李璟]