利用斯特瓦尔特定理解答2021年的几道高考试题

摘要：文章利用斯特瓦尔特定理解答了2021年的几道高考数学试题.

关键词：斯特瓦尔特定理;高考題;三角形

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0098-02

收稿日期：2021-12-05

作者简介：董立伟（1991-），男，硕士，中学一级教师，从事数学教学研究.

基金项目：太原市第六届教师个人课题“基于学生深度学习的高中生数学阅读能力的培养研究”（项目编号：GR-21469）.[FQ）]

斯特瓦尔特定理：设P为△ABC的BC边上任一点（P≠B，P≠C），则有

AP2=AB2·PCBC+AC2·BPBC-BC2·BPBC·PCBC.

利用余弦定理可以很容易地给出斯特瓦尔特定理的证明，此处不再赘述.

以下我们利用斯特瓦尔特定理解答几道2021年的高考试题.

例1（2021年新高考Ⅰ卷第5题）已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为（）.

A. 13B. 12C. 9D. 6

解析由斯特瓦尔特定理，得

MO2=MF21·OF2F1F2+MF22·OF1F1F2

-F1F22·OF1F1F2·OF2F1F2.

因为O为线段F1F2的中点及

OF1=OF2=5，

所以MO2=12MF21+12MF22-5.

即MF21+MF22=2MO2+10.

配方，得

MF1+MF22-2MF1·MF2=2MO2+10.

将MF1+MF2=6代入并化简变形可得

MF1·MF2=13-MO2.

设Mx0，y0，由点M在椭圆C上可得

y20=4-49x20.

所以MF1·MF2=13-MO2

=13-x20+y20

=13-x20+4-49x20

=9-59x20≤9，

当且仅当x0=0时等号成立.

所以MF1·MF2的最大值为9.

故选C.

例2（2021年新高考Ⅰ卷第19题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）证明：BD=b.

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

解析（1）由BDsin∠ABC=asinC及正弦定理，得

BD=asinCsin∠ABC=acb=b2b=b.

（2）由斯特瓦尔特定理，得

BD2=BA2·DCAC+BC2·ADAC-AC2·ADAC·DCAC.

由BD=b及AD=2DC，得

b2=13c2+23a2-29b2.

化简变形，得

11b2=6a2+3c2.

因为b2=ac，

所以6a2-11ac+3c2=0.

即3a-c2a-3c=0.

解得c=3a或c=23a.

当c=3a时，b2=3a2.

由余弦定理，得

cos∠ABC=a2+c2-b22ac

=a2+9a2-3a26a2

=76（不合题意，舍去）.

当c=23a时，b2=23a2.

由余弦定理，得

cos∠ABC=a2+c2-b22ac

=a2+49a2-23a243a2

=712.

所以cos∠ABC=712.

例3（2021年浙江卷第14题）在△ABC中，∠B=60°，AB=2，M是BC的中点，AM=23，则AC=，cos∠MAC=.

解析由斯特瓦尔特定理，得

AM2=AB2·MCBC+AC2·BMBC-BC2·BMBC·MCBC.

因为AB=2，AM=23，且M是BC的中点，

所以10=12AC2-14BC2.

即AC2=20+12BC2.

在△ABC中对∠B用余弦定理，得

12=4+BC2-AC24BC.

将AC2=20+12BC2代入并化简，可得

BC2-4BC-32=0.

解得BC=8，AC=213.

再由MC=12BC=4，

并在△MAC中对∠MAC用余弦定理，得

cos∠MAC=AM2+AC2-MC22AM·AC=23913.

所以AC=213，cos∠MAC=23913.

参考文献：

[1] 沈文选，张垚，冷岗松.奥林匹克数学中的几何问题[M].长沙：湖南师范大学出版社， 2019.

[责任编辑：李璟]