直线的参数方程在解析几何竞赛题中的应用

摘要：本文选取具有代表性的竞赛试题为例，解析直线的参数方程在解析几何中的应用. 如果题目只涉及过定点线段长度的计算问题，直线的参数方程可以发挥其优势.

关键词：直线的参数方程;解析几何;竞赛试题;线段长度

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0109-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：贺航飞（1982-），男，湖南省衡南人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：海南省教育科学“十三五”规划立项课题“基于智慧课堂的理科资优生培养校本课程体系构建”基于智慧课堂的理科资优生培养校本课程体系构建（项目编号：QJY20191035）.[FQ）]

过点P0（x0，y0）且倾斜角为α的直线l的参数方程为x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数）. t的几何意义是直线l上的点P（x，y）到点P0（x0，y0）的有向距离，

|PP0|=|t|. 当点P在点P0上方时，t是正值;当点P在点P0下方时，t是负值.

设A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上的两点，对应的参数分别是t1，t2，则|AB|=|t1-t2|，AB的中点M对应的参数为t1+t22，且

|P0M|=|x1+x22|.

如果P，A，B三点共线，则利用t的几何意义可以方便计算形如|PA|·|PB|和1|PA|+1|PB|等结构. 下面以若干竞赛试题为例，剖析直线的参数方程在解析几何中的应用.

例1（2018年河南预赛）设经过定点M（a，0）的直线l与抛物线y2=4x相交于P，Q两点，若1|PM|2+1|QM|2为常数，则a的值为.

解析设直线l的参数方程为x=a+tcosαy=tsinα（t为参数），与y2=4x联立，得t2sin2α-4tcosα-4a=0.

点P，Q对应的参数t1，t2是以上方程的两根，则

t1+t2=4cosαsin2α，t1t2=-4asin2α.

1|PM|2+1|QM|2=1t21+1t22

=（t1+t2）2-2t1t2t21t22

=2cos2α+asin2α2a2

=（a-2）sin2α+22a2.

由于a为常数，上式取值要跟α无关，当且仅当a-2=0，即a=2.

评注像这种只涉及到长度计算的题型就能充分体现直线参数方程的优越性，相对于传统方法，计算量大大减小. 需要注意的是，相关点要在同一直线上.

例2（2018年江苏初赛）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O的方程为x2+y2=4，过点P（0，1）的直线l与圆O交于点A，B，与x轴交于点Q，设QA=λPA，QB=μPB，求证：λ+μ为定值.

证明设直线l的参数方程为x=tcosαy=1+tsinα（t为参数），与x2+y2=4

联立，得t2+2tsinα-3=0.

A，B对应的参数t1，t2是以上方程的两根，

则t1+t2=-2sinα，t1t2=-3.

点P对应的参数tP=0，令y=0，

所以点Q对应的参数tQ=-1sinα.

结合图形知QA与PA同向，从而λ=|QA||PA|=|t1-tQ||t1-tP|.

又t1-tQ与t1-tP同号，

则λ=t1-tQt1-tP=1-tQt1.

同理，μ=1-tQt2.

从而λ+μ=2-tQ·t1+t2t1t2=2--1sinα·-2sinα-3=83为定值.

评注在直线的参数方程中，只要知道点的横坐标或者纵坐标即可求得此点对应的参数. 由于t的几何意义是有向距离，在计算相关长度时要带有绝对值，再结合具体条件考查能否去掉绝对值.

例3（2016年吉林预赛）已知椭圆x28+y22=1的右顶点为C，A为第一象限的椭圆周上任意一点，点A关于原点的对称点为B，过点A作x轴的垂线，与BC交于点D，比较|AC|2与|CD||CB|的大小，并给出证明.

解析|AC|2<|CD||CB|，下面给出证明.

设A（22cosθ，2sinθ），

则B（-22cosθ，

-2sinθ）.

直线BC的参数方程为x=22+tcosαy=tsinα（t為参数）.

其中θ，α均是锐角.

|AC|2=（22cosθ-22）2+2sin2θ=6cos2θ-16cosθ+10=（1-cosθ）（10-6cosθ）.

令x=22cosθ，

可得点D对应的参数tD=22（cosθ-1）cosα.

令x=-22cosθ，

可得点B对应的参数tB=-22（cosθ+1）cosα.

故|CD|·|CB|=|tBtD|=8（1-cosθ）（cosθ+1）cos2α.

直线BC的斜率

tanα=2sinθ22+22cosθ=sinθ2（1+cosθ）.

从而1cos2α=1+tan2α=5+3cosθ4（1+cosθ）.

于是|CD|·|CB|=8（1-cosθ）（cosθ+1）cos2α=（1-cosθ）（10+6cosθ）>|AC|2，问题得证.

评注为了消元，这里利用斜率关系来计算cos2α是一个难点. 解题过程两次进行因式分解，一次是对6cos2θ-16cosθ+10进行分解;一次是1+tan2α=5+8cosθ+3cos2θ4（1+cosθ）2=（5+3cosθ）（1+cosθ）4（1+cosθ）2.

例4（2017年全國联赛B卷）在平面直线坐标系xOy中，曲线C1：y2=4x，曲线C2：（x-4）2+y2=8. 经过C1上一点P作一条倾斜角为45°的直线l，与C2交于不同的点Q，R，求|PQ||PR|的取值范围.

解析设P（m2，2m），直线l的参数方程为x=m2+2t2y=2m+2t2（t为参数），与（x-4）2+y2=8联立，得t2+（2m2+22m-42）t+m4-4m2+8=0.

点Q，R对应的参数t1，t2是以上方程的两根，

则|PQ|·|PR|=|t1t2|=m4-4m2+8=（m2-2）2+4.

Δ=（2m2+22m-42）2-4（m4-4m2+8）

=-2m（m-4）（m+2）（m-2）>0，

解得m∈（-2，0）∪（2，4），此时m2-2∈（-2，2）∪（2，14）.

从而|PQ|·|PR|=（m2-2）2+4∈[4，8）∪（8，200）.

评注抛物线y2=2px的参数方程为x=2pm2y=2pm（m为参数）. 借助直线的参数方程来计算|PQ|·|PR|是比较自然的，不过方程联立和判别式的计算过程涉及的项数较多，需要细心整理. 由于“圆”的特殊性，也可以用圆幂定理来计算|PQ||PR|.

参考文献：

[1] 李宁.用直线的参数方程解2016年高考题[J].数理化学习（高中版），2016（09）：6-7.

[责任编辑：李璟]