突出过程性，强调探究性

杨牛扣

摘要：《全等三角形》一课，内容包括全等三角形的概念和性质，比较简单。教学中，要把简单的内容“教活”“教深”，就要基于知识的产生与发展、知识之间的联系，突出过程性，强调探究性。具体地，从生活到数学、从一般（图形）到特殊（三角形）、从整体（概念）到局部（性质）、从静态到动态、从发现到应用，设计丰富的学习活动，让学生在“做数学”的过程中充分探究。

关键词：《全等三角形》;学习活动;“做数学”;过程性;探究性

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断。”②中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：45，46。由此，学生也能充分感悟“蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中”②的数学思想（研究“套路”）。

苏科版初中数学八年级上册第1章第2节《全等三角形》一课内容包括全等三角形的概念和性质，比较简单。教学中，为了帮助学生真正理解这部分知识，要把简单的内容“教活”“教深”，就要基于知识的产生与发展、知识之间的联系，突出过程性，强调探究性：不是简单告诉学生抽象的定义和结论，并让学生反复练习，而是从生活到数学、从一般（图形）到特殊（三角形）、从整体（概念）到局部（性质）、从静态到动态、从发现到应用，设计丰富的学习活动，让学生在“做数学”的过程中充分探究。

下面，呈现笔者执教这节课的具体过程与说明，以及进一步的反思。

一、教学过程

（一）从生活到数学，复习全等图形的概念

师（多媒体展示图1—图3）观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的图形吗？

（学生举手发言，相互补充。）

师生活中存在许多形状、大小完全一样的图形。它们能够完全重合，因此，是全等图形。同学们能再举出生活中一些类似的例子吗？

（学生举例，教师引导学生通过定义判断所举的例子是不是全等图形。）

师全等图形美不美？

生（齐）美。

[说明：引导学生经历从生活到数学的抽象过程，复习前一节课所学的全等图形概念，为本节课全等三角形的学习做好铺垫。]

（二）从特殊到一般，生成全等三角形的定义

师全等的图形举不胜举。这节课让我们聚焦最简单、最基本的图形之一——三角形。请同学们用复写纸画出两个三角形，并用剪刀剪下其中一个三角形，然后观察比较这两个三角形。

（学生动手操作，观察比较。）

师请用语言归纳这两个三角形有怎样的关系。

生它们大小相同，形状一样。

师为什么？你能验证说明吗？

生（把两个三角形叠放在一起）因为它们能够重合。

师仅是重合吗？再操作看看，用一个更贴切的词描述。

生（齐）是完全重合。

师同学们太棒了！确实，这两个三角形是完全重合。类似于全等图形的定义，在数学中，我们把两个能完全重合的三角形叫作全等三角形，并用符号“≌”表示全等。（出示图4）将同学们画出的两个三角形分别记作△ABC与△DEF，那么，它们是全等三角形就记作“△ABC≌△DEF”，读作“△ABC全等于△DEF”。

生老师，能给我们讲讲符号“≌”的含义吗？

师好的。“≌”是全等符号，“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等。

[说明：从一般的图形到特殊的三角形，没有让学生直接抽象地得出全等的定义，而是跳过生活情境，设计数学实验，让学生在画、剪、观察比较、操作比较中，感知全等三角形的形状、大小关系，归纳全等三角形的定义。在充分的体验与思考中，学生能够更好地认识全等三角形。]

（三）从整体到局部，明确全等三角形的性质

师刚才，我们从整体上认识了全等的两个三角形的关系。现在，同学们再细心观察一下，全等的△ABC与△DEF，各个元素有何对应关系？

（学生动手操作，观察比较。）

生△ABC与△DEF重合时，点A与点D、点B与点E、点C与点F也分别重合。

生边AB与DE、边BC与EF、边AC与DF分别重合。

生∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F分别重合。

师确实，两个全等的三角形重合时，各个元素也对应重合。我们把对应重合的顶点称为对应顶点;对应重合的边称为对应边;对应重合的角称为对应角。在这些元素中，顶点最基本——三角形由三个顶点的位置决定。为了清晰、准确地表示顶点的对应重合，你认为用符号书写全等三角形的关系时，应该注意什么？

生将顶点一一对应地写。如，因为点A与点D、点B与点E、点C与点F分别重合，所以写△ABC≌△DEF。

生不能交错。如，不能写成△ABC≌△EFD。

师是的，必须把对应顶点的字母写在对应的位置上。这样，能直接看出谁和谁对应重合。而且，这样的对应关系是唯一的。实际上，同学们应该能感觉到，顶点的对应重合决定了边和角的对应重合。但是不同于顶点，边和角有大小。由此，边和角的对应重合还说明了什么？

生说明了边和角对应相等。

师很好！这就是全等三角形的基本性质：对应边相等，对应角相等。現在，请同学们用规范的几何语言表达由全等的△ABC与△DEF可以得到什么。

（学生自由表达。教师规范板书，如图5所示。）

∵△ABC≌△DEF（已知），

∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的对应边相等）;

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。

[说明：从整体的三角形到局部的元素，引导学生再次操作比较，观察发现顶点、边、角对应重合，从而得出“对应顶点的字母写在对应的位置上”的书写规范以及“对应边相等，对应角相等”的性质。在培养学生抽象思维和语言表达能力的同时，深化学生对全等三角形的认识。]

（四）从静态到动态， 强化全等三角形的本质

师请同学们将之前剪下来的三角形与未剪下的三角形叠合在一起，然后分别将剪下来的三角形沿未剪下的三角形的一边所在直线平移一定的距离、翻折，以及绕未剪下的三角形的一个顶点旋转180°。运动前后的两个三角形还全等吗？

（学生动手操作，观察比较。）

生都是全等的。

师为什么？

生图形经过平移、翻折、旋转后，位置变了，但形状、大小不变。

师哦！同学们用到了之前学过的图形运动的知识。如果要用全等三角形的定义来解释呢？

生运动前后的两个三角形能完全重合。

师好的。那我们就来说一说怎样让它们重合。（出示图6—图8）这三张图给出的是运动前后的两个三角形。对于第一张图，怎样改变△ABC的位置，使它与△DEF重合？

生（齐）平移。

师对于第二张图，怎样改变△ABC的位置，使它与△DBC重合？

生（齐）翻折。

师对于第三张图，怎样改变△ABC的位置，使它与△DEC重合？

生（齐）旋转。

师非常好！同学们能说出运动前后的两个三角形的对应顶点、对应边和对应角吗？

（学生逐一齐答。）

师由此可见，全等三角形与位置有关吗？

生无关。

师那与什么有关？

生与形状、大小有关。

师对，这决定了它们能不能完全重合。通过这两个活动，同学们应该能感受到全等三角形变中不变的本质特征以及图形的运动与图形的性质之间的关系。

[说明：从静态到动态，联系图形的运动，让三角形动起来，引导学生发现：三角形平移、翻折、旋转后，位置变了，但形状、大小不变;而通过同种类型的反方向运动，三角形可以回到之前的状态（与之前的三角形完全重合）。由此，学生能够强化对全等三角形本质特征的认识，发现两个全等的三角形也可以看成一个三角形在某种运动过程中的两个状态。进而，学生能够提升动静结合的辩证思维，学会从图形运动的角度认识图形的关系。]

（五）从发现到应用，提升对全等三角形的认识

师接下来，我们看一看全等三角形能帮助我们解决什么问题？

（教师出示习题，引导学生逐一分析、解答。）

1.如图9，若△OCA≌△OBD，你能找出两个三角形对应相等的量吗？这两个三角形通过怎样的运动可以重合？

2.如图10，已知△ABN≌△ACM，若BM=10 cm，则CN的长为;若∠B=40°，则∠C的度数是;若∠B=40°，∠MAC=80°，则∠ANB的度数是。

3.如图11，已知△EFG≌△NMH，EG和NH共線。

（1）FG与MH平行吗？为什么？

（2）EH与NG的大小关系是什么？说明理由。

[说明：从发现到应用，通过一组练习，让学生初步应用全等三角形的概念和性质解决问题，发现准确识别对应顶点、边、角（基本图形或基本元素）是关键。多样的练习通过变化全等三角形的位置情况，丰富了全等三角形的外延，进一步提升了学生对全等三角形内涵和价值的认识。第1题融入了图形的运动，重点培养学生的识图能力。第2题、第3题综合了等式的性质、三角形内角和、平行线的判定等知识，重点培养学生简单的推理和计算能力。]

（六）课堂小结，梳理知识与方法

教师通过如图12所示的思维导图，帮助学生回顾本节课学习的过程与结果，梳理相应的知识与方法，形成系统、整体的认知以及良好的知识结构，进一步提升学生对全等三角形知识以及对学习（研究）路径和方法（“套路”）的认识。

二、教学反思

（一）正确理解三维目标，突出过程性

教学的三维目标指的是“知识与技能”“过程与方法”“情感态度与价值观”三个维度的目标。对此，可以这样理解：第一个维度关注的是学习结果，第二个维度关注的是学习过程;前两个维度关注的是智力因素，第三个维度关注的是非智力因素。分析三者关系，可以发现：过程是结果的基础，有了好的过程，才有好的结果;非智力因素以智力因素为基础，数学教育主体是智育，非智育是附加于智育上或融合于智育中的增值。所以，三维目标应以第二个维度为中心，交融互进、相互统一，最终指向人的发展。所以，本节课的教学，笔者突出了全等三角形概念和性质的形成、发展和应用过程，让学生从过程中掌握知识，领悟方法，培养积极情感。

（二）充分设计学习活动，强调探究性

学生是学习的主体，教师要充分设计学习活动，让学生经历学习过程。学习活动要具有探究性，让学生动手、动脑、多感官协调，自主发现知识，获得深度理解。本节课的教学，尽管知识不多，也不太难，但是笔者基于知识形成、发展和应用的过程，充分设计了从生活具体到数学抽象、从一般观察到特殊操作、从整体定形到局部定量、从静态感受到动态体验、从情境发现到变式应用等一系列探究活动，引导学生归纳、演绎，发现知识、解决问题、厘清困惑、提升思维。