例谈新高考背景下特殊化策略在数学单选题中的应用

姚晋秋

[摘  要] 2021年新高考全国Ⅰ卷的8道单项选择题，主要考查学生对数学基础知识的掌握，同时考查学生对数学思想方法的应用，体现了新高考对学生综合能力的考查. 在考场上，学生应当充分利用题设和选择支两方面提供的信息，运用多种解题方法，准确而迅速地完成单项选择题是获取高分的关键. 特殊化策略无疑是多种解题方法中最为常见也最为有效的得分手段.

[关键词] 新高考;单项选择题;特殊化策略

特殊化策略即视原问题为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决. 特殊化策略作为化归策略，基本思想是很简单的，相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决[1]. 因此，我们在做单项选择题时，如果直接正面求解有困难，常常会想到将问题转化为它的特殊情况，特殊情况下的求解结果即为一般性问题的求解结果，从而大大降低了思维难度，提高了解题速度. 正如波利亚所说，“特殊化是从对象的一个给定集合，转而考虑那包含在这集合内的较小的集合.”“我们往往从专门研究对象的全体转变为研究包含在这个全体中的仅仅一个对象.”因此，特殊化策略常表现为将题目中的函数或数列等看成是特殊函数或特殊数列，从而迅速获取答案;或在解题时将特殊数值代入，将答案范围收缩或限制;抑或将条件中所给图像或图形转化为特殊图像或图形，从而达到简化计算的目的，等等.

从形式上来看，将一般性问题特殊化是不困难的，但某个一般性问题运用不同的特殊化策略进行处理将会得到多个不同的特殊化命题. 所以，运用特殊化策略的关键是如何找到一个最佳的切入点. 显然，在平时的教学中，方法的指导和适当的训练是必不可少的. 文章中笔者列举了几道单项选择题，结合自身的教学经验，就常见的特殊化策略做了一个粗浅的梳理，通过与常规解题方法的对比，直观感受用特殊化策略解题的优越性.

[⇩] 题设特殊化，速战速决

从题设构造符合条件的特殊函数、特殊数列等，往往能够达到减少运算、提高解题速度的目的.

例1 设等差数列{a}中前n项和为S，若S=72，则a+a+a=（  ）

A. 24  B. 25

C. 26  D. 27

解：不妨令等差数列{a}为常数列，设a=x，则S=9x=72，解得x=8，所以a+a+a=3x=24. 故答案选A.

例2 已知函数f（x）的定义域为R，且其图像关于原点对称，当x>0时，有xf′（x）+2f（x）<0恒成立，则使得>0成立的x的取值范围是（  ）

A. （-∞，-1）∪（0，1）

B. （-∞，-）∪（0，1）

C. （-∞，-）∪（0，）

D. （-∞，-1）∪（0，）

解：不妨令f（x）=-1，x>0，

0，x=0，

1，x<0，当x>0时，>0，解得0<x<;当x<0时，>0，解得x<-. 故答案选C.

评注：例1是基础题，运用常规方法将条件和问题转化为等差数列的首项a和公差d这两个基本量的运算也很简单，但解题时把此等差数列特殊化为常数列显然速度更快，这也在一定程度上体现了不同的数学能力和思维水平. 例2的常规解法是：构造g（x）=x2f（x）（x>0），则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]<0，判断g（x）在（0，+∞）上的单调性，结合函数的奇偶性得到函数f（x）在定义域R上的单调性，从而讨论x的取值范围并求解.根据题意构造新函数g（x）是常规解题方法的难点;相对而言，要写出一个满足“x>0时，有xf′（x）+2f（x）<0恒成立”条件的函数却并不难. 显然，这是一种比较理想的得分手段，但在教学过程中，我们不能忽视一般性问题的解决方法.

[⇩] 数值特殊化，事半功倍

當问题关系不明朗时，可以从特殊数值入手.特殊数值常常使变量关系变得明朗，凸显问题的关键，揭示问题的本质.

例3 若f（x）=x3

-，x≠0，

0，x=0，则满足xf（x-1）≥0的x的取值范围是（  ）

A. [-1，1]∪[3，+∞）

B. （-∞，-1]∪[0，1]∪[3，+∞）

C. [-1，0]∪[1，+∞）

D. （-∞，-3]∪[-1，0]∪[1，+∞）

解：当x=2时，将其代入xf（x-1）得2×f（1）=2×（1-16）=-30<0，不符合题意，排除C，D两项;当x=-2时，将其代入xf（x-1）得-2×f（-3）=-2×

-27+

>0，符合题意. 故答案选B.

例4 已知函数f（x）=，且ea=lnb=c，则（  ）

A. f（a）<f（b）<f（c）

B. f（b）<f（c）<f（a）

C. f（a）<f（c）<f（b）

D. f（c）<f（b）<f（a）

解：不妨令a=0，则f（x）=. 又e0=lnb=c，所以b=e，c=1.由f′（x）=<0，得f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以f（0）=0<f（e）<f（1），即f（a）<f（b）<f（c）. 故答案选A.

评注：如果正面求解例3，要对x分多种情况进行讨论. 具体解法如下：①当x=0或x=1时，xf（x-1）=0，成立;②当x<0时，xf（x-1）=x

（x-1）3-

≥0，可得（x-1）3≤，解得x≤-1;③当x>0且x≠1时，xf（x-1）=x

（x-1）3-

≥0，若x>1，则（x-1）4≥16，解得x≥3;若0<x<1，则（x-1）4≤16，解得0<x<1. 综上，x∈（-∞，-1]∪[0，1]∪[3，+∞）.

通过对比两种解法，不难发现，从选择支出发，将特殊值代入进行验算，排除错误选项是应试首选. 这是建立在从特殊到一般原理基础上的解法，即“一个命题在一般情况下成立，那么在特殊情况下肯定成立;一个命题在特殊情况下不成立，那么在一般情况下肯定不成立”.

例4之所以令a=0，是因为在新高考背景下，学生对函数f（x）=的图像与性质了如指掌，从而避免了含有字母的运算，大大提高了解题速度，提升了解题的正确率.

[⇩] 图像或图形特殊化，化繁为简

对于几何图形问题，可先考虑将一般图形特殊化，使得问题得以简化，能更快捷地揭示图形问题的本质和规律，从而解决一般性的图形问题.

例5 在平行四边形ABCD中（如图1所示），E和F分别是BC和CD的中点. 若 =λ+μ，λ，μ∈R，则λ+μ的值为（  ）

A.    B.

C.    D.

解：如图2所示，当ABCD为正方形时，==（+），所以λ+μ=. 故答案选B.

例6 在四棱锥P-ABCD中，=3，过直线AB的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱PC交于点E，则=（  ）

A. B.

C. D.

解：不妨设DA，DC，DP两两垂直，如图3所示，且DP=DC=DA=3AB=3，设PF=FE=x，V=S·PD=×6×3=6.

所以V=V+V=V+V=S·AB+S·EF=··（1+x）=3，又0<x<3，解得x=2，所以==. 故答案选D.

评注：将图形特殊化是解答涉及图形的单项选择题时常用的方法，如将普通三角形看成等边三角形，将长方体看成正方体，等等. 这样做能大大降低思维难度，简化数学运算. 在例5中，若令a=，b=，用平面向量“基底法”求解也并不困难，但显然在单项选择题中运用特殊化策略更为简单，其优越性在例6中就凸显得更为明显. 例6的常规解法是：令=λ（0<λ<1），設四棱锥P-ABCD的体积为V，依据=3这个条件，运用比例关系和等积代换法得到V=λV和V=λ2V，最后根据体积相等原则得到V=V+V=

λ+λ2

V=V，解得λ=. 由此看来，图形特殊化非常有效，它可以将考生从复杂的代数运算中解放出来.

[⇩] 关系特殊化 出奇制胜

当题目中出现了多种变量的关系式时，可以考虑运用关系特殊化策略，它能使变量之间达到特殊状态，动中求静，迅速发现解答切入点，出奇制胜.

例7 a>0，b>0，c>0，且ab=1，a2+b2+c2=4，则ab+bc+ac的最大值为（  ）

A. 2 B. 1+2

C. 3 D. -2

解：令a=b，由a2=1，

2a2+c2=4得到a=1，

c=.

所以ab+bc+ac=1+2. 故答案选B.

例8 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知+=6cosC，则+=（  ）

A. 4  B. 2  C. 5  D. 6

解：令a=b，所以6cosC=2，cosC=，tanC=2，tanC=tan（π-2A）=2，所以tanA=，所以原式===4. 故答案选A.

评注：解答例7的常规方法为消元法，利用ab=1，a2+b2+c2=4两个等式消去a，b，得到关于c的代数式1+，然后利用函数求最值的方法解答;但题设中a与b的地位等价，a=b的特殊关系可使得问题得到极大简化. 同样，解答例8的常规方法需要利用正余弦定理进行角化边，过程复杂，结果易错;而题设中a与b的地位等价，a=b的特殊关系很快就可以得到正确答案.这里的特殊关系是相等，其本质是对称，对称是数理研究的一种重要方法，因为自然就是以对称的方式存在的.

[⇩] 位置特殊化，举重若轻

当问题涉及的图形运动时，就可以考虑图形的特殊位置，在特殊位置捕捉到解题的特征信息，从而将抽象问题具体化、复杂问题简单化，将问题的解决聚焦于对特殊位置的研究，从而快速找到突破口.

例9 如图4所示，直三棱柱ABC-A′B′C′的体积为V，点P，Q分别在侧棱AA′和CC′上，AP=C′Q，则四棱锥B-APQC的体积为（  ）

A.    B.

C.    D.

解：因为AP=C′Q，所以可以考虑点P，Q的极端位置. 令AP=C′Q=0，如图5所示，此时V=V=V=V. 故答案选B.

例10 已知F，F是双曲线E：-=1（a>0，b>0）的左、右焦点，点M是双曲线E上任意一点（不是顶点），过F作∠FMF的平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点. 若ON=，则双曲线E的渐近线方程为（  ）

A. y=±x B. y=±x

C. y=±x D. y=±x

解：当动点M无限接近双曲线的右顶点A时，如图6所示，∠FMF趋向于平角，ON→OA=a，将其代入ON=，可得a=×2c，即c=2a，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x. 故答案选D.

评注：例9给出的条件只有AP=C′Q，如果正面解答，那么计算量较大，因此考虑特殊位置可迅速获解. 特殊位置通常是在两端、中间、极限位置等特殊地方.同样，例10采用了极端分析法求解，这是特殊化策略中的一种.当我们面对这个题目束手无策时，题设中的“不是顶点”给了我们极大的提示，当动点M无限接近双曲线的右顶点时，问题就迎刃而解了. 例10的常规解法如下：如图6所示，延长FN与MF，交于K，连接ON. 由题意可得MN为边KF的垂直平分线，则

MF=MK，且N为KF的中点，ON=

KF. 由双曲线的定义可得

MF-

MF=MK-

MF=

FK=2a，则ON=a=×2c，即c=2a，以下解答过程同上. 常规方法充分运用了角平分线的性质，结合双曲线的定义，对学生的思维能力要求较高.倘若我们能在解题时把动点作为突破口，另辟蹊径，那么正确答案也能随之水落石出.

[⇩] 结束语

由一般到特殊的认识过程，是人们认识世界的基本过程之一.数学研究也不例外，在“特殊化”的过程中，学生经历了从事物的具体背景抽象出一般规律和结构的完整过程，数学抽象素养、逻辑推理素养无疑得到了培育和发展.

应用特殊化策略解决单项选择题往往可以化繁为简、出奇制胜，能节省时间、提高效率. 当然，高中数学思想方法还有很多，我们必须认识到任何一种数学思想方法都不是万能的，在日常教学过程中，每位数学教师必须坚守基本知识和方法的教学，在此基础上培养学生的基本能力.