重心向量式的推广及应用

江镜 戴宏照

[摘  要] P是△ABC的重心的充要条件是++=0，重心把△ABC分成面积相等的三个小三角形. 由此推广到三角形所在平面任意点P的“奔驰定理”：设点P是△ABC内（含边界）任意一点，记△PBC，△PCA，△PAB，△ABC的面积分别为S，S，S，S，则S·+S·+S·=0. 应用“奔驰定理”及其推论可以快速地求解有关三角形面积比值的问题. 根据类比推理，还提出了一个有关三棱锥的猜想.

[关键词] 奔驰定理;重心向量式;面积;猜想

我们都知道，点P是△ABC的重心的充要条件是++=0，重心把△ABC分成面积相等的三个小三角形，如果记△PBC，△PCA，△PAB，△ABC的面积分别为S，S，S，S，即S=S=S，可以看作S·+S·+S·=0. 那么，对于△ABC所在平面内任意一点P，以上结论是否成立呢？

经过仔细研究，以上结论成立. 在圆的内接正三角形中，这个图形（如图1所示）很像奔驰汽车的商标，不妨形象地称为“奔驰定理”.

奔驰定理：设点P是△ABC内（含边界）任意一点，记△PBC，△PCA，△PAB，△ABC的面积分别为S，S，S，S，则S·+S·+S·=0.

证明：如图2所示，延长AP交BC于D，根据平面向量的平行四边形法则和三角形面积公式，得=·+·，=·=·

·+·

=··+·· =·（-）+·（-），所以（S-S-S）·+S·+S·=0，即S·+S·+S·=0.[1]

显然，当点P在△ABC的边上时，命题仍然成立.

当点P在△ABC外时，如图3所示（不妨设△PBC在△ABC外），以上推导只需变形为=·=·

·+·

=··+··=·（-）+·（-），得（S-S-S）·+S·+S·=0， 即-S·+S·+S·=0，于是就有：

推论1：当点P在△ABC外时（不妨设△PBC在△ABC外），则-S·+S·+S·=0.

应用“奔驰定理”或其推论，可以快速地解决有关三角形面积比值的问题. 在有关三角形面积比值的问题中，首先把相关向量都写成以交点P为起点的向量和的形式，对照定理的系数比即可得到相应的三角形面积比. 为了叙述方便，以下例题中均用a，b，c表示△ABC的三个内角A，B，C的对边，且用AB=c，BC=a，CA=b表示邊长.

例1 已知点M是△ABC所在平面内一点，满足6=+3，则△ABM与△BCM的面积比为_______，若△ABC的面积是12，则△MAC的面积是_______.

解析：把已知条件化成起点是M的向量得-6=（-）+3（-），即2++3=0. 由“奔驰定理”得==;==，得S=2.

例2 在平面四边形ABCD中，△ACD的面积是△ABC面积的2倍，数列{a}满足a=3，且（a-3）=+（a-2），则a=_______.

解析：把已知条件变形为-（a-3）+（a-2）=0，把C看作△ABD外一点，由“推论1”可知S∶S=S∶S=（a-3）∶（a-2）=2，可得a=2a-1，即得a-1=2（a-1），所以a-1=（3-1）2n-1，即a=2n+1，因此a=257.

若把“奔驰定理”看作是重心向量式的推广，则可把重心向量式看作是“奔驰定理”的“推论2”.

推论2：若点G是△ABC的重心，则++=0，反之也成立.

例3 已知G为△ABC所在平面内一点，点M，N分别在边AB，AC上，满足3++=+-，=x+y，其中x+y=1. 若=，则△ABC和△AMN的面积比为_______.

解析：如图4所示，由3++=+-可得-3+-=2=2-2，即++=0，所以G是△ABC的重心. 设=λ，可得=（+）=+λ，所以x=，y=λ. 又x+y=1，所以λ=，所以=，则==·=.

当点I是△ABC的内心时，记内切圆的半径为r，由此可得S=ar，S=br，S=cr，于是就有：

推论3：若点I是△ABC的内心，则a+b+c=0.

例4 已知△ABC的内切圆I，且++=，△ABC的周长是18，则△ABC的面积是_______，其内切圆的面积是_______.

解析：把++=变形为3+2+4=0，根据推论3可设a+b+c=3k+2k+4k=18，所以k=2，即a=6，b=4，c=8.所以cosC==-，sinC=，所以S=×6×4×=3. 又S=×18r=3，得r=，所以S=πr2=.

当点O是△ABC的外心时，记OA=OB=OC=R，根据圆周角与圆心角之间的关系可得S=R2sin2A，S=R2sin2B，S=R2sin2C，于是就有：

推论4：若点O是△ABC的外心，则sin2A·+sin2B·+sin2C·=0.

例5 已知△ABC的外接圆O的半径为1，且3+4+5=0，则△ABC的面积是_______.

解析：因为O是外心，即OA=OB=OC=1，把3+4=-5平方后可得·=0，即<，>=2C=，于是有sin2A∶sin2B∶sin=3∶4∶5，则sin2A=，sin2B=，所以S=sin2A+sin2B+sin2C=.

当点H是△ABC的垂心时，AH⊥BC于D，如图5所示，则 tanB=，tanC=，所以==，同理可得=. 因此S∶S∶S=tanA∶tanB∶tanC，于是就有：

推论5：若点H是△ABC的垂心，则tanA·+tanB·+tanC·=0.

例6 点H是△ABC的垂心，且满足+2+3=2，c=，则△ABC的面积S=_______.

解析：由+2+3=2得+2+3=2-2，即3+2+=0.根据推论4可设tanA=3k，tanB=2k，tanC=k，k>0，由-tanA=tan（B+C）得= -3k，解得k=1. 所以tanA=3，tanB=2，tanC=1，进而得到sinA=，sinB=，sinC=. 由正弦定理知a=3，b=4，c=，因此S=×3×4×=6.

需要注意的是，在应用“奔驰定理”或其推论时，首先要把已知条件转化为以特殊点P为起点的向量等式x+y+z=0的形式，，，的系数比是x∶y∶z=（±）S∶S∶S，不一定恰好是对应的面积S=

x

，S=y，S=z，推论中亦如同此理.

按照从平面到空间的认知规律，猜测在三棱锥中应该有类似的结论，即在三棱锥A-BCD内一点P，记三棱锥P-BCD，P-CDA，P-DAB，P-BAC的体积分别为V，V，V，V，应有V·+V·+V·+V·=0成立;当点P在三棱锥A-BCD外（不妨设点P与点A位于平面BCD异侧），应有-V·+V·+V·+V·=0成立.

参考文献：

[1]  裴珊珊，陈德富，李霞. “奔驰定理”的多种证法及其应用[J]. 中学数学研究，2018（12）：48-49.