关于一道圆锥曲线题的分步探究与思考

吴春霞

[摘  要] 圆锥曲线综合题解析难度较大，解题探索要充分把握考点，思考思路构建，同时反思常见的变式情形，以“一题”窥“全局”，充分发挥问题价值. 文章对一道圆锥曲线综合题深入探究，分步突破，探索思路构建，并进行教学反思.

[关键词] 圆锥曲线;双曲线;直线;向量;变式

[⇩] 问题呈现，考点定位

问题：已知椭圆C的解析式为+y2=1，点F和F为椭圆C的左、右焦点，试回答下列问题.

（1）求椭圆C的焦距;

（2）已知点Q

，

为椭圆C上的一点，与OQ相平行的直线l与椭圆C相交于点A和B，如果△QAB的面积为1，试求直线l的方程;

（3）已知椭圆C与双曲线C：x2-y2=1在第一象限的交点为M（x，y），椭圆C与双曲线C上满足

x

≥

x

的所有点（x，y）组成了曲线C. 如果点N是曲线C上的一个动点，试求·的取值范围.

考点解读：本题为圆锥曲线综合题，问题以椭圆、直线、双曲线为背景，考查了圆锥曲线、几何三角、平面向量等相关知识. 考题共设三问，考查侧重点各有不同，且难度逐次递增.

第（1）问为基础问题：求椭圆的焦距，考查焦距的含义，以及求焦距的方法;

第（2）问为核心之问：以直线与椭圆的相交为基础构造三角形，求特定面积情形下直线的方程，实则考查圆锥曲线中面积模型的构造方式;

第（3）问为压轴之问：以椭圆与双曲线相交为背景，由坐标值的不等关系构建了另类曲线，并引出了向量积，考查动点与向量的相关知识.

[⇩] 思路突破，变式拓展

上述圆锥曲线问题主干信息突出，各问又具有相应条件，相互独立互不干扰，问题解答建议采用分步突破的策略，即逐问分析条件，探索思路构建. 下面进行具体探究.

第一步：基础巩固，信息整合

第（1）问分析椭圆C的解析式，由+y2=1可直接确定椭圆C的特征参数，即a=2，b=1，c==. 焦距即椭圆两焦点之间的距离，由解析式可知椭圆的焦点在x轴上，则焦距为2c=2.

评析与拓展：圆锥曲线的第（1）问通常考查的是基础知识，从上述考查思路来看，是正向考查的典型范例，即给出圆锥曲线的解析式，求其特征参数值. 高考中还常采用逆向考查的方式，对于上述问题可在特定条件下求椭圆的解析式，故可作如下变更：已知椭圆C：+=1的焦距为2，其右准线方程为x=，试求C的解析式.

显然这种变更涉及更多的椭圆特征，且推导过程具有一定的逻辑顺序，难度有所提升，但基本的破解思路是一致的：先由“焦距为2”求特征参数c，再结合“右准线方程x=”求特征参数a，最后综合“a2-c2=b2”求特征参数b即可.

第二步：強化提升，模型构建

第（2）问构建了△QAB，在已知其面积的情形下求直线l的方程，其中点Q的坐标已知，是椭圆C1上的定点，点A，B是直线l与椭圆C的两个交点. 从该条件中可以得到两个信息：①直线l的斜率可求——由点O和点Q的坐标推导;②联立直线的方程与椭圆的方程，整理为一元二次方程，则方程的判别式Δ>0.

问题的思路构建可分为如下三个阶段：第一阶段，处理条件，设定直线的方程;第二阶段，构建三角形的面积模型;第三阶段，基于面积模型构建关于直线参数的方程，求解直线方程. 具体如下：

①处理条件：已知点Q

，

，则直线l的斜率为k=，故可设l：y=x+m.

②构建面积模型：可将△QAB视为以AB为底、点Q为顶点的三角形，若设点Q到AB的距离为d，则其面积可表示为S=d·

AB

.

③构建关于直线参数的方程：联立直线l的方程与椭圆C的解析式，整理可得x2+2mx+2m2-2=0. 因两者有两个交点，故Δ=4m2-8（m2-1）=8-4m2>0，解得

m

<. 设交点A（x，y），B（x，y），由韦达定理得x+x=-2m，xx=2m2-2. 由弦长公式得AB=AB=·

x-x

=，由点到直线的距离公式得d=. 已知△QAB的面积为1，结合其面积模型可得S=d·

AB

=

m

·=1，解得m=±1，所以l：y=x±1.

评析与拓展：第（2）问是本题的核心之问，问题的综合性较强，但难度适中，同时转化的思路也较为清晰，显然就是基于三角形的面积条件来构建关于直线参数的方程. 高考考查还常以直线与椭圆相交为主体，融入动点，考查三角形面积的最值，故可作如下变更：设点Q是椭圆C上的动点，过原点O的直线l与椭圆C相交于点A和B（点Q不在直线AB上），试求△QAB面积的最大值.

上述变更融入了动点，增加了直线l的不确定性，同时存在直线l斜率存在和不存在两种情形，难度略有提升，但破解的基本思路一致：l垂直于x轴可直接求出三角形面积的最大值;不垂直则先将三角形底边表示为与直线参数相关的代数式，再利用点到直线的距离表示三角形的高，进而将三角形的面积表示为关于直线参数的函数式，利用函数性质即可求最值.

第三步：综合探究，思想综合

第（3）问的信息量较大，大致分为两部分：一是双曲线与椭圆相结合，形成了曲线C;二是曲线C上的动点N与椭圆的焦点构建了向量和. 显然，求向量积·的取值范围，需要参考上述内容确定曲线C的具体轨迹，然后再分析向量积的取值范围. 即第一阶段，根据条件确定曲线C的轨迹;第二阶段，构建向量，转化向量积，分析其取值范围.

①轨迹分析：已知椭圆C：+y2=1，双曲线C：x2-y2=1，曲线C为两者上满足

x

≥

x

的所有点（x，y），故可分为两部分，且关于y轴呈对称关系，如图1的实线所示部分.

②向量分析：可设点N（x，y）是曲线C上的动点，又知焦点坐标为F（-，0），F（，0），可推得向量=（--x，-y），=（-x，-y），故·=x2+y2-3（

x

≥）. 根据图像可知，点N可在椭圆C上，也可在双曲线C上，故需要分两种情形来讨论：

当点N在曲线x2+4y2=4（

x

≥

x

）上时，·=1-3y2. 分析可知，当y=时，·取得最小值，且（·）=-;当y=0时，·取得最大值，且（·）=1. 所以此时·的取值范围为

-，1.

当点N在曲线x2-y2=1（

x

≥

x

）上时，·=2y2-2. 分析可知，当y=时，·取得最小值，且（·）= -;没有最大值. 所以此时·的取值范围为

-，+∞

.

综上可知，·的取值范围为

-，+∞

.

评析与拓展：上述是以曲线相交为背景的向量积取值范围问题，问题的难点主要有两个：一是确定曲线的轨迹，二是转化向量积，分析最值. 数形结合、分类讨论是突破该类问题的常用策略，数形结合可将抽象问题直观化，尤其适用于轨迹问题;而分类讨论则可以降低问题的思维难度，配合数形结合可直接定位切入点，快速构建思路. 上述所呈现的也是向量范围问题的常规破题思路，即将向量问题转化为函数问题，利用函数性质来研究最值或范围，故解题时需要关注变量的取值范围、曲线的轨迹变化. 另外，对于上述问题还可以从轨迹视角变更如下：将“椭圆C与双曲线C上满足

x

≥

x

的所有点（x，y）组成了曲线C”变为“椭圆C与双曲线C上满足

x

≤

x

的所有点（x，y）组成了曲线C”，其他条件不变，求·的取值范围.

上述变了点（x，y）满足的条件，结合图像可知，曲线C的轨迹变成了图1中的虚线部分，对应的向量最值也就发生了变化. 点N在椭圆部分的最值情形变为：当y=时取得最大值，y=1时取得最小值;相应的，点N在双曲线部分的最值情形变为：当y=时取得最大值，y=0时取得最小值. 后续只需综合结论即可.

[⇩] 解后思考，教学建议

上述对一道圆锥曲线问题进行了逐问探究，变式拓展，其构建思路、分析方法具有一定的参考价值，下面深入反思，提出相应的建议.

1. 巩固基础，构建体系

上述问题涉及了椭圆、双曲线、直线、向量等众多的基础知识，通常突破问题的第一步是利用基础知识整合信息条件，为后续解题做铺垫. 如求曲线的特征参数，利用弦长公式、点到直线距离求三角形的底或高，以及将向量积转化为函数，等等，基础知识在解题中起到了极为重要的作用. 故教学中要巩固学生的知识基础，构建完整的知识体系，让学生理解所学，活用所知.

2. 总结方法，形成策略

总结、反思是解题探究的重要环节，即完成思路构建后要注意深入思考问题，总结问题突破的关键，反思思路构建过程，形成相应的解题策略. 如上述逐问探究后对解法进行了深入思考，并结合高考考点探讨了问题的常规变式，对于拓展学生的解题视野极为有利. 教学中要立足考题开展解后反思，让学生全面审视问题，思考问題解法，进行解法优化、问题变式.

3. 探究思想，提升素养

解题过程有助于培养学生的解题思维，提升学生的数学素养，尤其是解析过程的思想方法可促进学生的思想提升. 如上述第（3）问充分运用了数形结合、分类讨论、化归转化等思想，实现了抽象问题的直观化，降低了思维难度，简化了解析过程. 教学中要充分利用数学思想进行解题指导，培养学生的数学思维，提升学生的综合素养.