和谐促成同构，统一助力直观

郭海萍 林新建

[摘  要] 很多学生认为数学枯燥乏味，其最大原因就是经常陷于“题海”不能自拔，很少从“美”的角度去看待解题.文章以2021年全国统一考试模拟演练第8题为例，从“数学美”的视角出发，分别从“以‘和谐’促成同构”与“以‘统一’助力直观”两方面来引领学生感悟数学中的“和谐美”与“统一美”.

[关键词] 和谐;同构;统一;直观

参数大小比较是近年来数学高考考查的热点之一，这类题目因式子结构杂乱，参数排列无序，给考生的解答带来了极大的困难.为此，教学中教师应引领学生基于“数学美”的视角，挖掘此类问题中的数学关系，并对已知式子作恰当变形，构造出和谐、对称或统一的式子，方便问题的解决.

下面以一道新高考模拟演练题为例，就如何基于数学中的“和谐美”与“统一美”的视角来指引解题作一阐述，以飨读者.

试题：（2021年全国统一考试模拟演练第8题）已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，则（  ）

A. c<b<a B. b<c<a

C. a<c<b D. a<b<c

[⇩] 考点剖析

本题以比较大小的形式出现，考查函数的图像和性质，考查考生综合应用数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想解决问题的能力，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养，综合性强、难度较大.

[⇩] 解法探析

题目给出了三个式子及三个参数，且三个参数分别位于三个式子，由于看不出三个参数之间的联系，因此也就无法直接对其进行大小比较.

为此，需要对式子的模型特点作感知，以发掘式子的隐含信息，进而对式子作适当的变形转换，找出参数间的联系，方能有效解决问题.

1. 以“和谐”促成同构

基于“和谐美”对已知式子作恒等变形，得到=，=，=，进而根据式子特征构造出函数f（x）=（x>0），利用同构函数的单调性和图像解决问题.

解析：由已知可得=，=，=，且0<a<5，0<b<4，0<c<3，构造函数f（x）=（x>0），从而f（a）=f（5），f（b）=f（4），f（c）=f（3）. 因为f′（x）=，所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而f（5）>f（4）>f（3），作出函数f（x）的大致图像，如图1所示. 因为0<a<5，0<b<4，0<c<3，所以0<a<1，0<b<1，0<c<1，且f（a）>f（b）>f（c），所以a<b<c.

评析：基于“和谐美”，对已知式子作出了恰当的变形，使得其规则与规律显示了起来，实现了数学模型的“同构”，彰显了数学解题的“模型美”和“对称美”.

“和谐美”是数学的一种重要美，表面上杂乱无章的式子，通过和谐的转换，就会显示出规则与规律. 教学中教师要引领学生感知数学的“和谐美”，运用数学的“和谐美”，在美的感受中培养和发展数学抽象、逻辑推理等核心素养.

如问题：（2020年全国Ⅰ卷理科第12题）若2a+loga=4b+2logb，则（  ）

A. a>2b B. a<2b

C. a>b2 D. a<b2

2. 以“统一”助力直观

基于“统一美”对已知式子作恒等变形，得到右边统一的三个关系式x=ex，x=ex，x=ex，进而借助于一次函数与指数函数y=ex的图像，直观地解决问题.

解析：由已知得x=ex，x=ex，x=ex，且0<a<5，0<b<4，0<c<3，可知a，b，c分别是函数y=x，y=x，y=x与函数y=ex的图像交点的横坐标.

在同一平面直角坐标系中作出上述函数的图像，如图2所示，由于直线y=ex与函数y=ex的图像相切于点（1，e），而>e，>e，>e，所以函数y=x，y=x，y=x与函数y=ex的图像均有两个交点，其横坐标均分别在（0，1），（1，+∞）上.

易知5，4，3分别是函数y=x，y=x，y=x与函数y=ex的图像交点的横坐标，但0<a<5，0<b<4，0<c<3，從而0<a<1，0<b<1，0<c<1，直观分析即知a<b<c.

评析：基于“统一美”，对已知式子作出了恰当的变形，发现了其图形特征和变化规律，实现了数学解题的直观与简洁，彰显了数学解题的“直观美”和“简洁美”.

“统一美”也是数学的一种重要美，表面上看起来毫不相关的内容，却可以通过一个概念、一个公式统一起来. 教学中教师要引领学生感知数学的“统一美”，运用数学的“统一美”，在美的感受中培养和发展数学抽象、直观想象等核心素养.

再如问题：（漳州市2021届高三毕业班适应性测试）正实数a，b，c满足a+2-a=2，b+3b=3，c+logc=4，则实数a，b，c之间的大小关系为（  ）

A. b<a<c B. a<b<c

C. a<c<b D. b<c<a

[⇩] 教学建议

数学学习离不开解题，很多学生认为数学枯燥乏味，其最大原因就是没完没了地做题，陷于“题海”不能自拔，很少从“美”的角度去看待问题.

实际上，数学之美无处不在，数学“美”不只是一种审美标准，这种审美效应还能直接作用于数学解题中. 在解题过程中，一旦题目所提供的信息与审美情感吻合，就会激起审美直觉，使人迅速地从“美”的角度确定解题思路，从而使问题得以解决. 在数学教学中，若能适当换个视角去看待解题，让学生欣赏其中的“数学美”，一定能更深刻地把握数学的本质，从而提高数学学习兴趣，提升数学思维品质.

所以，教师要创设“数学美”的认知活动，引领学生在数学活动中感知“数学美”、体悟“数学美”、追寻“数学美”，让思路更加自然顺畅，让数学课堂更加生动有趣，让他们在“美”的感受中分析问题和解决问题，进而培养和发展数学的核心素养.