基于波利亚“怎样解题表”的习题教学案例研究

孟彩彩 巩铠玮

[摘  要] 本研究从波利亚“怎样解题表”出发，以“函数的零点”习题教学为例，探析波利亚“怎样解题表”在高中数学解题教学中的应用，并提出相应的解题教学优化策略：趣味性启发教学，帮助学生弄清问题;系统性设计教学，助力学生拟定计划;发展性实施教学，引领学生执行计划;针对性反思教学，引导学生回顾要领.

[关键词] 怎样解题表;解题教学;核心素养;函数的零点

[⇩] 引言

数学思考是学生学习数学的必备素养，而解题是培养学生数学思维能力的首要路径，故在解题教学中，数学教师要借助于适切载体、恰当方法、灵动处理等方式让学生猜想与数学问题有关的知识或经验，进而多角度、深层次探求数学问题解决的思路方法，提升学生数学思维的严谨性、敏捷性及批判性，助推学生思维方式和创新精神的发展，从而深度实现学生数学学科核心素养的培养. 波利亚的解题理论强调数学思维的教学，其“数学启发法”是解题理论的核心内容，正如他所说：没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探究的地方. 可见，波利亚视解题为一种手段，通过解题教学启发学生的数学思维，掌握包括函数思想、数形结合思想等在内的数学思想和解题技巧，明晰系统性、实践性等数学学习的基本原则，培养学生分析和解决问题的能力.

所谓“启发法（探索法）”，波利亚在《怎样解题》中指出：发现和发明的方法及规律，即对思维规则的明确描述. 那么，如何在高中数学教学中具体落实波利亚的解题思想呢？为此，本研究从波利亚“怎样解题表”出发，结合兰州市A教师开展的“函数的零点”习题教学，探析波利亚解题思想在高中数学解题教学中的应用，并提出相应的解题教学优化策略，以期为一线高中数学教师的有关解题教育教学工作提供一些理论借鉴和实践参考.

[⇩] 波利亚“怎样解题表”的基本内涵

波利亚积极倡导运用“数学启发法”，其著作《怎样解题》以“数学启发法”为核心内容，充分肯定了解题的一般教育价值，为探析一般性的解题方式或模式，波利亚对解题过程中最富有特征性的智力活动进行了分析和归纳，凝练出了“怎样解题表”，进而提炼出了分析和解决数学问题的四个阶段，即弄清题目、拟订计划、执行计划、回顾. 每一阶段又提出了一系列问题启发联想，其充分应用了类比、归纳、化归、特殊化、一般化等思维方法和技巧，构成了波利亚“数学启发法”思想的核心内容[1]，具体如表1所示.

四个阶段共同组成了一个完整的解题教学系统. 其中，“弄清问题”是认识问题且问题表征的过程，它是成功解题的必要前提;“拟订计划”是探索解题思路的发现过程，它是成功解题的关键环节;“执行计划”是“拟定计划”的实施过程，它是成功解题的核心内容;“回顾”是解题的魅力所在，它是成功解题的必要环节.

[⇩] 基于波利亚“怎样解题表”的习题教学案例的解析

波利亚“怎样解题表”是数学习题教学中的重要理论依据，笔者在兰州市的一次数学教师培训过程中有幸聆听了A教师运用“怎样解题表”这个模式开展的“函数的零点”高中数学习题教学，现将具体的教学过程重现并开展一定的教学评价.

1. 教学过程重现

2. 教学评价

整体来看，A教师在解题教学中运用“怎样解题表”模式是完整的，即完成了弄清问题、拟定计划、执行计划、回顾四个阶段. 然而，仔细推敲，发现A教师的习题教学存在诸多不足，具体如下：

（1）引导不够聚焦，启发流于形式.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：高中数学课程要具有基础性、选择性和发展性[2]. 对于A教师而言，未充分体现新课标的基本要求，如开始提出的问题：“已知量、未知量是什么？已知量与未知量存在哪些联系？能否通过已知条件直接得出问题的答案？若已知量与未知量不存在直接联系，那么连接它们的桥梁是什么？”这些问题没有从学生的基础出发，问题设置一般化，没有聚焦具体的相关知识. 具体而言，解题过程中最基本的心理操作包括引入概念、推出性质、重新理解[3]，函数零点的知识是学生刚学习的新概念，若学生没有完全消化新概念，则解题的第一个心理操作就会受阻，将直接影响问题的解决. 因此，教师应首先引导学生复习相关的知识点，深度理解并掌握数学概念. 此外，学生第一次接触“怎样解题表”这样的解题模式，教师的引导应着眼于学生的思维发展方向. 总之，A教师并未充分了解学情，其教学节奏偏快，引导不够聚焦，只是满足了解题的四个步骤，使得教学启发流于形式.

（2）问题跨度较大，学生思维被动.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》强调：教师要整体把握教学内容，情境创设和问题设计要有利于学生发展数学学科核心素养[2]. A教师第三次提出问题：“再次细心观察方程，并回忆之前的学习经验，对于复杂的函数是怎样处理的？”此问题的设计是为了提醒学生对复杂的函数进行构造，但这部分知识内容对于大部分学生来说是困难的，并且此过程是“怎样解题表”模式的第二个阶段，即“拟定计划”階段，它是成功解题的关键阶段. 因此，教师不仅要有语言层面的提醒，还要帮助学生深刻回忆，引导学生对之前学过的函数构造问题进行梳理，借助于典型例题回顾并掌握其中蕴含的思想方法，为解决新问题做好铺垫. 其次，教师直接让学生观察（5x+3）5+（5x+3）=-（x5+x）的特征，并未考虑一些抽象思维较弱或思维处于具体化的学生，他们难以将5x+3整体化，对于构造函数g（x）=x5+x更是一知半解，以致学习呈现出了形式而固化的状态，学生认知能力的发展也受到了极大遏制.

（3）运用“题海战术”，本质回归不足.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：教师要启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质[2]. 即教师不仅要指导学生积累解题经验，更要教会学生如何积累解题经验，同时明晰解题策略及经验的积累主要在回顾的过程中获得[4]. 对于本次课例而言，A教师只是让学生阐述了问题解决的整个思路，检验过程是否正确、结果是否有误，最后出示了4个例题及一些课后习题进行大量练习，并未引导学生体会、总结函数零点与方程根的联系，感知数形结合、转化等思想方法，以及积累反思性学习经验，而这必然不利于学生数学核心素养的发展. 因此，数学教师要深刻领会波利亚的解题思想，要多维度、新角度、高层次审视解题教学的目标、内容和方法，从而实现深度教学.

[⇩] 高中数学解题教学的优化策略

波利亚“怎样解题表”体现了数学思维层层递进的过程. 基于此，在高中数学解题教学中，教师可以从以下几方面加强对学生解题思维的引导，进而培养学生的数学解题能力和思维习惯，从而实现学生核心素养的有效落实.

1. 趣味性启发教学，帮助学生弄清问题

课堂教学成功的关键在于学生具备积极的数学思维活动和浓厚的学习兴趣，而富有趣味性的启发教学可激发学生的学习兴趣，促进学生数学思维逻辑的发展[5]. 数学解题教学，是学生持续积累解题经验的教学过程，波利亚指出教师在教学时要遵循的三大学习原则——主动学习、最佳动机、循序渐进，其中的“最佳动机”指学生对所学的知识要倍感兴趣，在学习活动中伴随欢乐[6]. 因此，教师在解题教学时要对问题进行加工、设计，选择性地预设各类问题，同时运用多媒体教学的优势，把问题融入相关情境，赋予启发教学的趣味性，让学生充分体会数学与生活及其他学科的紧密联系，在趣味中分析问题要点，发现问题中的已知和未知，从而理解问题，为深度实现教学目标提供有力保障. 如“函数的零点”习题教学，教师可借助于几何画板、希沃白板等软件开展趣味性启发教学，进而帮助学生分析问题、弄清问题，发展学生的数学核心素养.

2. 系统性设计教学，助力学生拟定计划

数学知识不是孤立的“点”，数学教师要从整体上把握彼此联系的基本命题或概念体系等[7]，而数学解题教学的关键目的在于将所学的知识系统化，让学生灵活运用所学知识解决有关问题. 对此，教师在运用“怎样解题表”模式启发学生解决数学问题时，学生能快速地从大脑中提取以往所学的相关联的知识至关重要，知识的有效提取直接影响着问题的高效解决. 因此，教师要系统化设计教学，有效解决课时的零散性与知识的孤立性、单元的割裂性与学科的无整体性等问题，从而培养学生梳理解题思路、发展思维方式的能力，进而以整体性、全局性看待问题的意识拟定计划，促进学生学习的迁移类推，为学生的自我发展奠定基础. 如“函数的零点”习题教学中，教师要建立旧知与新知的联结点，让学生体会函数零点与方程根的关系，进而剖析问题的核心点及关键点，助力学生拟定计划，从而实现深度教学.

3. 发展性实施教学，引领学生执行计划

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：高中数学课程要注重发展性，同时以学生的发展为本[2]. 对于数学教学而言，发展性主要体现在问题解决过程中学生数学思维的发展. 具体而言，教师在备课选择教学策略时，发展性体现在对问题的性质、内容的深度分析，对学生已有认知结构的深入了解等方面;在解决数学问题的具体过程中，发展性体现在学生思维的清晰性、活跃性及具体实施时思维的准确性等方面. 因此，教师发展性实施教学，可以帮助学生掌握问题蕴含的数形结合、转化、类比等数学思想方法以及解题的技能技巧，从而有效地执行解题计划，解决相关问题. 如“函数的零点”习题教学，教师要借助于典型案例，通过师生互动、生生互动等方式，提炼其中蕴含的解题思路、思想方法，提升学生执行解题计划的有效性，从而实现学生数学核心素养的发展.

4. 针对性反思教学，引导学生回顾要领

在“怎样解题表”模式中，“回顾”阶段具有举足轻重的地位. 因此，数学教师要针对性反思教学，引导学生回顾课程内容的关键及要领，从而有效提高学生元认知水平. 所谓“元认知”，即学习主体对自身活动的过程与结果进行自我评价、自我调节、自我监控等，其包括元认知知识、元認知策略、元认知体验、元认知监控[8]. 对此，教师通过及时的回顾反思，让学生体验学习过程、学习结果以及在认知活动中所使用的探究方法，实现探究方法的提炼和外化，助推学生核心素养的培养. 如“函数的零点”习题教学，教师要引导学生对问题解决过程中蕴含的数学思想方法等进行回顾，在总结中探析出通式通法，促进学生的数学思维多元化、深层次发展，提高学生的学习水平，增强解题教学的实效性.

[⇩] 结语

总之，高中数学教师要灵活运用波利亚“怎样解题表”模式，从注重知识内容结构的整体性、数学本质的理解性、思想方法的渗透性等方面精准设计解题教学，并有针对性地选择提问，将抽象问题具体化，引导学生分析问题的相关条件，梳理解题思路、挖掘思想方法、及时回顾反思等，最终有效解决数学问题，从而发展学生的数学核心素养.

参考文献：

[1]  波利亚. 怎样解题[M]. 北京：科学出版社，1982.

[2]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]  斯涅普坎. 数学教学心理学[M]. 重庆：重庆出版社. 1989.

[4]  涂荣豹. 数学解题的有意义学习[J]. 数学教育学报，2001（04）：15-20.

[5]  李保臻，巩铠玮，陈国益. 数学运算素养下的计算课教学案例比较研究——以“三位数乘两位数”的同课异构为例[J]. 数学教学研究，2020，39（04）：7-13.

[6]  张奠宙. 宋乃庆. 数学教育概论（第三版）[M]. 高等教育出版社，2016.

[7]  朱先东. 指向深度学习的数学整体性教学设计[J]. 数学教育学报，2019，28（05）：33-36.

[8]  卓健民，古雯. 波利亚“怎样解题表”的元认知分析[J]. 中学数学教学参考，2017（36）：61-63.