小学数学“图形与几何”高频错题讲评四讲究

【摘要】如何有效地讲评错题是个教学难点问题，其有效与否直接影响到学生后续的复习。该文从“‘点子图错例讲评，讲究‘以点带面”“‘画垂线错例讲评，讲究‘二步画法”“‘解面积错例讲评，讲究‘方圆之道”“‘求体积错例讲评，讲究‘等量代换”等四个方面，论述了有效讲评错题需要讲究的问题。

【关键词】小学数学;图形与几何;高频错题;讲评;讲究

【基金项目】本文系福建省教育科学“十三五”规划2020年度课题“提升小学数学高频错题讲评有效性的研究”课题成果之一（编号为2020XB0631）。

作者简介：林聪强（1990.10—），男，福建省厦门集美中学附属滨水学校，一级教师。

讲评高频错题是课程教学的重要环节之一，讲评课可以对学生的错误点进行纠正，对重难点进行巩固，由此形成一套完整的解题模式，最终实现讲评课的真正价值。如何有效讲评高频错题是数学教学面临的一项重要挑战，其有效与否直接影响到学生后续的复习。然而，在实际教学中，尽管很多教师都在高频错题的讲评上花了大量的精力，但是效果依然不尽如人意。为此，笔者结合自己的研究与实践，从以下四个方面论述有效讲评错题需要讲究的问题。

一、“点子图”错例讲评，讲究“以点带面”

教师时常会忽视数学的高频错题的讲评课，讲评课不但对学生纠错学习有所帮助，同时也能对教学活动进行一定的回顾。点子图是学生学习数学的一个重要法宝，同时也是图形与几何知识中价值颇高的教学素材。如何有效地设计和利用点子图是教师一直在探索的问题，探索如何既能让学生在认知上有所突破，又能符合学生的发展需求。然而在实际的错题讲评中，这方面却较难取得理想的教学效果，依然存在不少问题。例如“在点子图中表示出‘23×35中‘23×5的部分”，这类题目错误率很高，究其原因是学生对点子图的掌握存在一定的缺漏。点子图主要考查的内容是评价学生对数形结合的运用能力，同时考查学生对算理算法的理解情况，这其中主要涉及新人教版小学数学三年级关于《两位数乘两位数》一课的内容，即通过点子图，学生能加深对算理的理解，进而达到掌握两位数乘两位数算法的目的。但在实际的教学中，学生对点子图的理解仅仅停留在表面，纵使学生已经明白两位数乘两位数的计算法则，但是这种理解程度可能只停留在“数一数”的初级阶段，这会导致学生在后续的数学练习中频繁犯错误，特别对于“一道乘法算式中求解每个部分分别表示什么”类型的题目，学生时常会混淆算式中各部分的意义。如果学生对此掌握得不牢固，就会对后续四年级学习乘法运算定律产生负面影响。

例如，“一副羽毛球拍16元，少年宫买了12副羽毛球拍，一共要用多少元？通过小组合作，说出自己的想法，然后在点子图上把自己的想法圈画出来。”根据题意，学生无法利用点子图表示乘法分配律，这是因为学生之前对于点子图的学习，只是机械式地将各部分点子的数量合起来，而在数学的抽象思维训练上有所不足。笔者认为，教师应该在讲评课上引导学生理解数学的本质，重点让学生学会由点及面，将面积的含义融入两位数乘两位数的算理中，通过结构化模式将分散的点子统一起来，形成一幅相互关联的点子图，再将竖式计算中的数融入点子图中，通过多次沟通和比较，加深对点子图与竖式计算关系的理解，真正发挥点子图“以点带面”的作用，突破算理的认知问题，达到降低题目出错率的目的。

又例如“在点子图上画出两个不同的平行四边形”的教法，教师让学生自由地画出平行四边形的两组对边，其实是降低了对平行线教学的重视程度，起不到点子在实际操作中的作用。学生只是浅显地、片面地认识平行线的“平”或“直”，如果遇到倾斜的平行线，就容易弄混淆，无法明确地辨析平行的关系，久而久之，学生就会凭感觉来随意画点和线[1]。基于此，学生在此类题目上的错误率居高不下。笔者建议教师要在错题讲评课上带领学生认真解读教学内容，引导学生厘清线段和点子的位置关系，因为在新人教版四年级上册中，平行线的画法已经在新教材的编排中被删减了。由此，教师借助点子图画线段，能实现对平行线表象的建构，最终教学生画出正确的平面图形。

可见，正确而有效地解决点子图的高频错题，不仅可以帮助学生正确理解图形与几何中概念的本质，而且有助于降低学生做题的错误率。

二、“画垂线”错例讲评，讲究“二步画法”

画垂线是新人教版四年级上册的内容，掌握垂线的画法是本节图形与几何課的重难点，是奠定图形与几何的操作题的基础。然而在实际教学中，看似简单的画垂线，学生却错误百出，这样学生以后学到平面图形的高的画法时就难上加难，因为它们都是以画垂线为基础的。例如“经过O点画射线OA和OB的垂线”，此类题就是“画垂线”问题，其实就是如何把三角尺上互相垂直的线段演变成已知直线和待画直线的垂直关系的问题，通过建立对应关系，让学生明白作垂直线段的方法。但在实际教学中，教师只是机械式地把正解告诉学生，学生似懂非懂。笔者建议在实际的讲评课中，教师要判断学生出错的类型，比如学生会出现以下几种高频错题：第一，学生对于三角尺上的两条垂线的印象不深刻，不懂得借助三角尺来作垂线，因此画垂线时造成垂直角度不精确;第二，学生纵然知道可以借助三角尺的两条垂线，但是在操作过程中时常出现画不垂直的情况，有的学生索性根据感官来画垂线。笔者建议教师在错题讲评中注意以下问题。一方面，让学生记住作垂线的步骤，即标记、贴住、慢慢移。画垂线分为两种情况，一种是过直线上一点作已知直线的垂线，另一种是过直线外一点作已知直线的垂线。但是学生在实际操作中时常不按套路出牌，只是假装规范地作出垂线，实际上根本没有按照步骤进行。例如“画出三角形ABC中AB边上的高EF”，很多学生在之前画垂线的时候没有经过充分的思考，只是机械地记忆画图步骤，尽管之前还学过平行四边形和梯形的高的画法，但当遇到画三角形的高时，垂线的画法早就遗忘了。这就表明学生对点和已知直线关系的理解不够透彻。笔者建议教师在教学中对比总结垂线的两种画法的区别和联系，让学生深入建构垂直概念，透彻地感悟画垂线的内涵。另一方面，教师在讲评过程中可以画几条错误的线段，让学生去纠错，在纠错中逐步在两种画法中找到平衡点，进而使学生掌握画垂线的方法。

因此，教师要在不断调整的过程中让学生理解点与直线的关系，让学生规范地画出垂线，从而解决图形与几何中关于画法的高频错误点。

三、“解面积”错例讲评，讲究“方圆之道”

教师经常会不小心把一节讲评课上成简单的知识复习课，因为教师会把重心放在旧知识的再认识、再重复上，导致学生对高频错题的解决方法重视度不高。如何更好地把握讲评课，关键在于讲评的内容和形式。讲评课的形式有很多，可以先讲后练，还可以边讲边练，亦可以先练后讲等。如何对高频错题进行有效的讲评呢？首先，教师不能阻碍学生的思维发展，同时也要给学生一些尝试锻炼的机会，不然学生的学习就只能停留在倾听的表面。其次，教师要利用好学生的错误的教学资源，从学生错得比较多的题目中读懂学生的想法，从而改进教学方式，全面地设计课堂活动。例如“三角形ABC是边长为48厘米的正三角形，阴影部分是以每条边长为直径画半圆时出现的几何图形，求阴影部分的面积？”的讲评课，对于这类图形与几何方面的高频错题，学生在对面积的求解方面显得手足无措，有的学生对关系式掌握得不清楚，有的学生不清楚求解的是哪一个图形或者是哪一部分的面积。在讲评课上，很多教师总是单纯地就错题进行剖析讲解，或者是告诉学生该用什么面积公式。笔者认为，在讲评课上应该关注学生真正的需求。例如，在学生学习不同的平面图形面积计算方法时，可以将所有的面积知识融会贯通，让学生学会辨别不同图形的面积关系，并让学生在日常学习过程中收集整理高频错题的类型题。通过一段时间的积累，学生便明白面积错题主要集中在以基本的几何图形为底板的变式类型。因此在讲评课中，教师不仅要使学生明白不同图形面积的推导公式以及它们之间的区别和联系，更要考虑到“内圆外方”“内方外圆”的关系，因为掌握“方圆之道”是解决六年级图形与几何问题的一个重要的手段。图形与几何的源头是从认识长方形、正方形开始的，在此基础上进一步拓展到不同的图形，再根据图形的变化找到圆和正方形的数量关系，进而解决图形问题。譬如，“一个正方形的面积是25平方米，那么圆的面积是多少呢？”如果按照正常的数学逻辑，我们应该先求出圆的半径，然后根据面积公式求出圆的面积。而这道题却无法求出半径，但是我们可以另找思考的角度，根据半径的平方联系到正方形的面积公式（即边长乘边长），这样便能直接求出圆的面积。所以说厘清错题中的图形关系很重要，而借助方圆的关系可以解决许多关于图形面积的问题。

图形与几何的面积求解题目错误率高的原因在于学生不懂得利用图形关系来解题。因此在错题讲评过程中，教师要引导学生利用正方形和圆的关系，为解决面积问题另辟蹊径，寻找最佳的解决策略，实现错题的再利用、再消化、再吸收。

四、“求体积”错例讲评，讲究“等量代换”

错题讲评课不仅要让学生明白自己的错误在哪里，还应该让学生懂得怎么避免重复犯错，通过这样的方式让学生在讲评中关联数学知识，整体地把握知识结构，从而实现深度学习[2]。六年级数学图形与几何模块的重点是解决体积问题，根据学生日常的错题收集，笔者发现关于体积的错题有很多。例如，“一个圆柱与一个圆锥等底等高，那么它们的体积比是（ ）;一个圆柱与一个圆锥体积相等，且等底，那么它们的高的比是（ ）;一个圆柱与一个圆锥体积相等，且等高，那么它们的底面积比是（ ）。”教师对此类错题也是很苦恼，在讲评课上花费了很多时间，如让学生再次“炒冷饭”，回顾圆柱和圆锥的体积公式，让学生重复机械地记忆公式等，但是收效甚微。因此，笔者做出了一些改进。课伊始，笔者先由平面图形的特征讲到周长和面积计算，再梳理复习立体图形的特征和推演体积的公式，如此既让学生明白知识的溯源，同时也让学生清楚在错题复习中要关注新问题与旧知识的联系，寻找新旧知识之间的突破口[3]。解决圆柱和圆锥二者关系问题的关键在于等体积的转换。如果单纯从体积间的倍数关系分析，学生很快就能得出答案;但是如果题目一旦加入其他物体的体积干扰因素，学生就辨别不清物体间体积的关系了。因此，教师在教学过程中务必让学生透彻地理解等量代换，其实这在五年级的教学中就有所渗透了。例如，“一个圆柱容器，底面半径10cm，里面盛有水，现将一个圆锥铁块放在容器内并浸没在水中，水面上升2cm，这个圆锥铁块体积是多少？”学生在学习六年级的圆柱和圆锥的体积求解之前，就已学过求解不规则物体的体积，即把不规则物体的体积转化成规则物体的体积，再根据转化前后的等量关系进行求解，因此我们可以通过将圆柱和圆锥的体积进行转化来解决问题[4]。教师在讲评时，可先让学生回顾长方体体积、圆柱体积、圆锥体积的推导公式，归纳出三者体积都是用底面积乘高的关系来求解。通过这样的铺垫，学生在高频错题上就不容易重蹈覆辙。学生明白了体积的本质，明白了利用切割、拼凑、转化等方式把圆柱转化为长方体，亦可以把圆锥转化成圆柱，从而使得自身的思维慢慢进阶，从具体表象走向深度学习。这样学生不仅能进一步加深对体积意义的理解，发展解决实际问题的能力，还能体验到等积变形、迁移类推的思想方法，从而形成解决不同物体体积高频错题的一套方法。

“等量代换”思想的获取是靠学生自己去领悟出来的，单单凭借教师的教学是无法实现的。因此在高频错题的讲评中，教师要注重渗透思想方法，在知识讲解的基础上实现思想的内化，把错题的讲评权还给学生，让学生经历问题解决的全过程。

总而言之，高频错题讲评课的价值就在于让学生避免反复出现同一类型的错题，为学生打造一套解决数学高频错题的策略，提高學生解决图形与几何问题的能力，使核心素养在学生心中落地生根。

【参考文献】

[1]侯木华.规范使用点子图把握概念准确性：由“在点子图上画出两个不同平行四边形”引发的争议与思考[J].教育实践与研究（A），2015（10）：58-60.

[2]朱明侠.小学数学教学中“空间观念”的把握和培养[J].数学学习与研究，2015（18）：93.

[3]崔士钦.小学生等积变形思想的形成与发展[J].普教研究，1995（02）：51-52.

[4]刘小会.等体积转化思想在小学数学教学中的有效渗透[J].新课程研究，2019（19）：45-46.