基于PBL教学模式下高中函数教学的设计与思考

摘 要：2017版普通高中数学课程标准（以下简称新课标）中明确了以学生发展为本，立德树人，提升素养的基本理念，并且也将函数作为高中数学四大主线之一，体现了函数的重要性。因此本文基于“以学生为中心，问题为课堂导向”的PBL教学模式，以指数函数及其性质为例进行教学设计与思考，为进一步贯彻落实新课标的基本理论，提高教学效率提供一些参考。

关键词：PBL 教学模式 高中数学 指数函数 教学设计

函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决世界问题中发挥重要作用，并且函数也是贯穿高中数学课程的主线[1]。因此函数对于学生来说是重中之重的，学生学习函数不仅需要能够学习到函数知识，而且需要学生能够利用函数的知识和思想解决实际问题中存在的问题，提升学生数学核心素养和培养学生的发现问题、提出问题、解决问题的能力，从而达到全面综合发展。但是传统教学模式下高中函数教学课堂中主要以教师的讲授为主的模式，如此不仅不能充分考虑到学生的能力的全面综合发展，也无法满足未来社会对于人才综合需求，并且还存在不能够关注到班级的每一位学生的问题。因此需要根据新课程标准的以学生发展为本，立德树人，提升素养的基本理念指导下，在传统教学模式的基础上结合PBL教学模式，以问题为导向，以学生为中心进行教学，培养学生在实际中发现问题、提出问题、解决问题的综合能力，促进个体的全面综合发展。

1 PBL教学模式及相关理论

1.1 PBL教学模式定义

PBL（problem-based-learning）教学模式，即基于问题的学习模式，最早源于医学教育，最初是为了解决医学生在学习中理论知识掌握牢固，但是在实践中却存在能力不足的现象。该模式以学生为中心，利用问题为导向，在实施教学中利用信息技术等方法呈现或创造现实生活中问题情景，让学生通过小组合作等一系列活动解决实际问题，掌握问题背后的科学知识。这不仅让学生对知识进行掌握，同时还拓宽知识的广度和深度，培养学生综合能力，也提高课堂效率。重要的是通过小组合作交流等方式进行问题解决，不仅培养学生小组交流等能力，还可以通过合理的评价方式从而达到关注到课堂中每一位学生的教学目的。

1.2 PBL教學模式设计步骤

PBL教学模式在具体实施当中侧重于问题导向，采用“先问题，后内容”的教学过程，将问题作为学生学习的起点和教师教学的核心，通过问题创设情境，激发学生好奇心与学习兴趣，也为学生下一步学习提供了明确方向[2]。因此PBL教学模式的设计步骤大致如下：一、教师根据教学内容，提出问题，创设科学合适的问题情景，此问题需要让学生一些挑战性，但是又不至于超出学生能力范围;二、在实施过程中，结合具体情景选择合适的教学工具呈现和分析问题，利用形象直观的方式帮助学生理解问题的实质;三、大多采用小组合作交流的探究方式，根据学生的知识水平和解决问题的能力平均分为6到8人一组。教师需要引导学生进行实践和网络等方法获取资料，进行课前的预习环节;四、小组进行讨论，教师进行引导，确保每个成员都能够积极参与讨论和探索，组内成员能够做到资料信息等互补和更正，确保探究的科学性;五、汇报成果，小组进行展示，提供解决方案，教师进行补充和引导;六、总结与反思，教师对各小组的成果进行评价并且补充和总结，强调在学习中的重难点，提高课堂效率和完善学生的知识结构。并且需要制定小组成员的最终的总评得分，得分构成的主体应该以学生自评和小组成员进行评价，从此环节可以注意到每一位学生是否在探究问题的过程中做到了积极参与和探究，避免存在小组中只是部分学生的展示平台。

2 PBL教学模式下指数函数及其性质教学设计

2.1 教材分析

指数函数及其性质选自人教A版必修一第二章第二节，从内容上学生学习过一次函数等基本初等函数并且上一章节学习了集合定义下的函数概念与性质，因此对于新的函数模型的探究过程比较熟悉。即从实际问题情景探究到建立指数函数模型和概念，最后画出图象并根据图象研究性质并应用，并且指数函数，对数函数，幂函数三者密切联系，对于三者的研究过程都是贯穿着类比思想，具有从具体到一般的抽象过程，因此只有经历指数函数及其性质的学习，学生才会真正掌握到研究一类函数的方法，积累经验，学会从图象和代数运算的角度下认识具体函数和性质，不但为学生后续对对数函数等自主研究做铺垫，而且能实现数学核心素养的教育价值[3]。

2.2 学情分析

本节课是在学习了集合定义的函数概念与性质基础上，学生对于函数的研究方法有一定的了解，可以按照“概念—表示—性质—应用”的主线进行研究。学生学习此内容时处于高一，学生心理逐步趋于相对稳定和成熟;从思维上看，学生已经处于经验型向理论型过渡阶段，学生已具有抽象思维能力及独立思考的意识，这都为本节课的顺利开展提供能力基础。

2.3 教学目标

根据新课标、教材分析、学情分析以及相关文献[4]，本文制定了以下教学目标：

（1）通过问题情景，经历数学建模过程，由实例抽象出指数函数概念，发展数学抽象、数学建模核心素养。

（2）会用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点，应用性质解决实际问题。

（3）结合指数函数图象性质研究，体会研究函数的一般方法，提升直观想象素养。

（4）能够通过学习，感受数学的生活化和实践化，体会到生活处处是数学，生活处处是问题，从而达到培养发现问题、提出问题、解决问题的能力。

2.4 教学重难点

重点：指数函数的表示以及图象与性质。

难点：对底数的分类，以及根据图象和解析式归纳指数函数的性质并应用。

2.5 教学过程

2.5.1 提出问题

师：同学们知道一张普通A4纸最多可以对折多少次吗？可以拿出一张普通的A4纸，进行对折试一试。

生：可以对折20次、15次等回答，然后動手实验（发现班级最多的对折也只在7到8次左右）。

师：其实理论上一张普通A4纸是可以无限次对折，但是世界纪录也只在13次，根据一些计算如果对折42次，厚度都有可能达到地月距离，那么这是什么原因呢？我们今天一起来探索一下。

师：还是一张设定面积为1的普通A4纸，进行重复对折x次后，设总层数为y1，其中一层的面积为y2，将y1，y2表示为关于x的函数，小组可以讨论完成。

设计意图：首先有一个有趣的科学小问题让学生动手实践，引发认知冲突，接着在此基础上提出指数函数的问题情景，抛出问题，引起学生探索欲望以及学习兴趣。

2.5.2 分析问题

PBL教学模式以问题为核心，在教学过程中让学生带着问题进行讨论，小组成员之间共同探讨，找出解决问题的关键，以小组为单位，将遇到问题和困难记录下来，讨论解决或向教师提出。教师的任务是巡视和个别指导，遇到共性问题则全班进行指导，学生通过分组讨论，归纳，形成最佳问题答案[5]。在分析问题的过程中可以根据实际的教学环境和条件选择信息技术或者其他形象直观的方式进行引导分析，让学生能够通过问题的分析过程体会到问题背后的实质，从而在解决问题的环节中事半功倍。

2.5.3 解决问题

师：对于提出问题的环节中折纸问题通过讨论，引出函数表达式：y1=2x，y2=（）x，x∈N，通过提问两者之间有什么共同特征？对学生进行对比上节课的指数幂的知识引导研究，提示用α代替表达式中的2，。

生：学生经过替换，感受到这两个问题的指数幂的共性，得出指数函数表达式为y=ax。

师：接着对于表达式再次提问，对于底数的取值有什么要求呢？引导学生讨论底数的取值和定义域。

经过学生小组讨论知，如果a<0时，x取负数或分数时，函数值没有意义，而a=1时，函数是直线y=1在折纸问题只能有整数所以x∈N，但是函数的研究中x∈R最终得出指数函数的定义：y=ax，（a>0且a≠1），x∈R。

设计意图：一方面让学生动手实践探究指数函数的定义，让学生从发现问题产生认知冲突自己主动探究解决问题，发展了学生的主动性，培养学生解决问题的能力;二是通过小组合作也是培养他们团队合作的能力，对于学生的学习兴趣也是一种培养。

图象是研究函数最直观的工具，学生在之前的学习中对于画出函数图象的步骤已经有初步的知识结构，教师首先对学生进行画函数图象的步骤的复习，依次是列表、描点、连线，然后还是上述折纸的函数表达式：y1=2x，y2=（）x进行列表、描点、连线的方法画图，在学生画出函数图象之后引导学生在此基础上继续作y3=3x，y4=（）x的图象，以便概括函数性质做准备，学生也可通过信息技术如作图计算器、几何画板或者GeoGebra等软件自主操作，通过改变a的值来获得多个函数图象。

师：使用多媒体呈现函数图象，提问从画出的图象中，发现y1=2x，y2=（）x以及y3=3x，y4=（）x图象之间的关系？能否利用y=2x画出y=（）x图象、用y=3x画出y=（）x图象？

生：观察图象，表述自己的观点，即y1=2x，y2=（）x以及y3=3x，y4=（）x图象之间是关于y轴是对称的关系，画出一个利用对称的关系则可以画出另一半。

师生共同交流总结，利用对称性画指数函数图象的方法。

设计意图：通过学生自主探究和总结，使学生掌握两个函数图象之间的对称关系以及其解析式的特点，利用对称性画图。

师：继续提问学生，经过上一章节函数的性质的学习，能否利用指数函数的图象归纳出指数函数的性质吗？教师引导学生观察多媒体呈现的图象或是自己画出的各种底数的函数图象，概括指数函数的性质，并完成下表1。

生：各个小组通过观察不同底数的指数函数图象，对于表格所需要的内容，完成指数函数的性质的探究，形成对指数函数性质的认识，小组派代表进行讲解，每个小组讲解一个性质，其他小组需要进行补充和纠正。

师：在学生们总结出性质的基础上，强调指数函数性质中的重点，以及结合函数图象进行对函数性质的记忆。

设计意图：设计环环相扣的问题，让学生在小组合作的基础上，逐步探究并掌握指数函数的基本性质。整个环节让学生自主在问题的基础上探究，逐步完善对指数函数的认识，不仅对学生的能力的培养，也是对其数形结合等思维的培养。

2.5.4 应用问题

在对指数函数及其性质的知识结构完善之后，还需引导学生回归到问题本身，解决实际问题。

师：回归到问题上，为什么一张普通的A4纸对折，大家只能对折7到8次呢？理论上对折42次，是否能达到地月距离呢？我们该如何利用指数函数的知识进行科学计算？现在假设一张普通A4纸厚度约为0.1mm，请同学们进行计算。

生：利用本节指数函数的知识，借助计算器等手段，不难算出y=2x当x=42时，242=439804.65km，远大于地月距离的38km.因此这个有趣的科普小知识是真实的。

师：在多媒体上呈现1.01365，0.99365;1.02365，0.98365两组值，让学生进行比较值的大小，体会感悟。

生：经过计算可以得出，1.01365≈37.8，0.99365≈0.037;1.02365≈1377，0.98365≈0.0006，体会出只是底数相差一点，但是指数函数值却相差很大。

师：概括到人生上也一样，每天只要进步一点，长久下来也会有大的进步，相反每天退步一点点，长久下来也会退步很多，提醒学生积跬步以致千里，积怠惰以致深渊。

设计意图：从问题回归问题，形成PBL教学模式下以学生为主，以问题为核心的特点，培养学生利用数学知识解决实际生活中的问题，并结合知识，讲述在数字中的人生道理，也是一种数学文化与课程思政的体现，培养学生全面发展。

2.5.5 评价总结

在评价总结部分，采用学生与教师共同评价的方式，基于个人得分=自评评价（30%）+互相评价（20%）+小组评价（20%）+教师评价（30%）的评价权重准则，主要体现学生对于自我的认识以及小组成员和小组整体对于本次探究的贡献程度和表现情况，综合教师负责对于学生进行展示表述等表现的一个评价，对学生来说更为合理和公正，一來体现学生的能力，二来有这样的评价标准也是不断地促进学生积极参与小组和课堂探究，以免存在只有个别同学积极参与课堂的现象。

3 总结与反思

3.1 总结

PBL教学模式总的来说就是以学生为中心，将问题作为课堂中心，设计问题情景，教师围绕着问题设计安排课程，使学生能够融入到问题情境中，鼓励学生能够主动学习相关知识，然后解决问题，同时激发学生思考和提问，引导学生深入的理解问题的一种教学模式。函数是高中数学中十分重要的知识，并且是四条主线之一，可以说是贯穿整个高中数学的学习，对以后的大学学习都是重要的基础。因此只使用传统教学模式进行教学，以教师讲授为主，学生往往不能深入的理解和学习，甚至会产生枯燥的情绪。这也与新课标的以学生发展为本，立德树人，提升素养的基本理念是相违背的。所以，在传统教学模式的基础上结合PBL教学模式进行教学，不仅可以使学生学习具有更强的主动性和探索性，而且让学生的学习根据有问题性和参与性，培养学生的学习兴趣、思考和解决问题的能力，使得学生能够全面发展。

3.2 反思

诚然没有问题也就没有数学，问题也是一直推进数学发展的重要源泉，但是在PBL教学模式下进行数学教学还是有很多需要再进一步思考的地方。如教师的问题的设置要考虑科学性和实际性，不能凭空设置与科学和认知不符合的问题情景;对于教学过程中的监管力度需要加大，保证每一位学生都能积极参与进来，否则课堂只是部分学生的个人展示;最后小组的分配以及组内的交流工作需要有整体的规划，确保每个小组的水平能力相当，沟通畅快，这样才能达到培养学生探究和沟通等能力。因此，PBL教学模式的选择使用也不是适合所有课程内容和环境，教师需要根据各种条件和因素妥善安排和选择，才能达到理想的教学效果。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017 年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 屈靖.PBL模式下的高中数学微课教学实践研究[J].数学学习与研究，2021（26）：22-23.

[3] 曾泽群，谢晓霞.重过程突四基提素养——指数函数的图象和性质教学设计与思考[J].中学数学，2021（09）：24-27.

[4] 李振涛，王淑玲.“指数函数”单元教学设计[J].中小学数学（高中版），2020（12）：14-18.

[5] 梁海花.“以问题为导向”教学法在中职数学教学中的应用——以指数函数教学为例[A].中国职协2014年度优秀科研成果获奖论文集（上册）[C].：中国职工教育和职业培训协会秘书处，2014：6.

作者简介：

王寅：（1998—），男，汉族，江苏省淮安市人，现为宁夏师范学院数学与计算机科学学院硕士生。研究方向：数学教育。