“整体·关联”在概念教学中的应用——以“反比例函数”第一课时为例

傅瑞琦

(金华市教育教学研究中心,浙江 金华 321000)

数学知识内容繁多，概念定理纷繁复杂，众多的知识内容之间必然存在关联，关联提供的前概念、前经验，是寻找新知学习的新起点.如果找到这种联系，就能够统整课时目标与学习要素，洞悉知识的生成，掌握知识的来龙去脉，将新知学习与已有知识有机融合，实现碎片化知识的结构化，掌握“用相似的方法解决不同的问题”，积累数学研究的活动经验.

在相关函数内容的学习中，无论是一次函数、反比例函数还是二次函数，都体现出研究角度、研究方法和研究路径的一致性，即引导学生理解变量之间的依存关系和变化规律,通过“建立模型(寻找函数关系)—解释模型(利用图像性质解决问题)—应用模型(用函数结论解释实际问题)”来体会研究函数的完整过程.但是，函数概念的抽象过程往往被忽视，如何根据函数内容结构、学习路径的关联性，将已有的经验迁移到新的情境中，再一次理解函数的“对应”本质，掌握函数建模的方法？现以浙教版《数学》八年级下第6.1节“反比例函数”第一课时的教学为例，探讨如何分析内容,寻找关联,整体设计，实现教学内容、目标、学情与教学策略的有机融合.

1 内容分析

“反比例函数”分两个课时完成，本节课是第一课时，也是本章学习的起始课．这就需要在引入研究对象时，类比一次函数提出研究问题，规划研究思路，真正起到先行组织者的作用.

函数是刻画变化过程的重要数学模型.在函数领域，反比例函数模型是学生第二次接触函数内容，如果说在八年级上“一次函数”的学习是学会结构，即“变化过程、定量研究、整体归纳”，那么“反比例函数”的学习是运用结构(如图1)，到九年级下“二次函数”的学习就是深化结构.本节课的主要内容是抽象反比例函数的概念,重点是形成反比例函数的概念.

图1

2 目标分析

函数是初中数学中非常重要的基本概念，主要目标是：从现实情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的互相关系，加深对函数概念的理解，再一次感受变化与对应的数学思想；经历抽象反比例概念的过程，了解两个变量成反比例的意义，理解反比例函数的概念，感受数学建模的思想；会求简单实际问题中的反比例函数的表达式.

3 学情分析

学生在小学阶段学习了反比例关系，在八年级上学习了函数及一次函数，初步掌握了函数的概念，有一定的抽象概括能力.学生也有一定的应用类比思想的经历，如在学习一元一次方程的基础上学习一元二次方程，在学习平行四边形的基础上探究特殊平行四边形等，这些都为反比例函数的学习准备了较好的条件与基础.

由于函数学习具有抽象性，学生的抽象概括能力还有待加强，因此，当本节课例题涉及科学中的杠杆原理时，学生对题意的理解有一定的难度，这也是本节课的教学难点.

4 教学过程

4.1 情境引入

情境1小明准备从体育公园到高铁站，通过查询地图，选择了一条6 km线路，有4种方案(如表1)，请填表后思考.

表1 行车方案

思考1)y与x之间有什么关系？能用式子表示吗？

2)你能举出生活中具有反比例关系的例子吗？

生1：xy=6,y与x之间存在反比例关系.

师：它们之间是两个相依变化的量，回忆一下，什么是反比例关系？

生2：小学里学过，如果两个变量的积是一个不为0的常数，那么这两个量成反比例，它们的关系叫做反比例关系.

学生举例汇总后：

1)电流问题：IR=U，当电压U为定值时，如IR=220；

2)压强问题：PS=F，当压力F为定值时，如PS=100；

3)密度问题：Vρ=G,当质量G为定值时，如Vρ=100.

设计意图让学生类比举例，通过实例回忆小学阶段学过的反比例关系.现实生活中存在反比例关系，需要聚焦其共性，明确研究的需要；另外,以表格的形式呈现，让学生在变化中感受“常量”“变量”，体会“对应”，为引出反比例函数做铺垫.

情境2若有4条线路，驾车平均速度为40 km/h,请填写表2后思考.

表2 不同线路的行驶时间与路程

思考1)y与x之间有什么关系？与情境1中的xy=6在形式上有什么区别？

2)y=40x是正比例函数,对于xy=6，y是关于x的函数吗？

3)列举出的这些关系也是函数吗？

师：我们判断这些是一类新函数，类比正比例函数的学习历程和方法，说说新函数学习的基本顺序.

师生共同交流得出图2：

图2

设计意图通过实例让学生回忆正比例函数(一次函数)概念的获得.通过类比，得出一个新函数概念需要经历的过程：关注关系共性、判断是否是函数、抽象函数表达式.在形式与内容上,为抽象得出反比例函数概念提出研究方向.

4.2 概念得出

问题1观察下列函数表达式：

思考1)它们具有什么共同特征？

2)类比正比例函数的概念，你能写出新函数的定义吗？

3)这两类函数有什么区别？

设计意图这是概念的形成过程，从所列举的典型、丰富、具体的反比例关系中，去观察、概括这一类函数的共同特征，并得到概念的本质属性，完成实际问题的抽象过程.再类比正比例函数，用准确的数学语言表达，实现函数概念模型的归纳，从而丰富学生数学抽象的活动经验.

4.3 概念辨析

问题2下列函数中，哪些是反比例函数？是反比例函数的，请指出反比例系数及自变量的取值范围.

4.4 概念巩固

说一说在情境1的表格中.

1)若x=6,求函数y的值,他们的含义是什么？

2)观察表1中数的变化，说说你的发现？

生9：当速度x越来越小时，使用的时间y越来越多.

生10：当x=60时，y=0.1;当x=15时，y=0.4.说明x减少4倍，y就增加4倍.

师(小结)：这再一次验证了函数中两个变量的一种对应变化关系.

设计意图一是通过求函数值，进一步将反比例函数的概念学习融入函数的学习体系；二是引导学生观察表格中数据的变化，让学生再一次感受反比例函数模型中的对应、变化关系，其反比例变化的特点，为有效突破教学难点打下基础.

4.5 实际应用

想一想图3中女孩如果想压下去怎么办？图4中哪位工人可以使用更小的力量撬起这块石头？其中的科学原理是什么？

生11：图4中，让女孩往后移，或者女孩这边再加重物.

生12：图5中，右边这位工人可以使用更小的力量撬起这块石头.

图3 图4

生13：其中的原理是科学中的杠杆原理.

师：联系科学知识，如图5,当杠杆平衡时，有“动力×动力臂=阻力×阻力臂”.

设计意图用数学模型来理解物理性质,对学生的能力要求较高.为了突破理解上的障碍，先呈现跷跷板、工人撬石头等情境，让学生联系自己的生活经验,直观感知来判断，通过问题的分解来突破教材例题的难点.

图5 图6

求一求如图6，阻力为1 000 N，阻力臂长为5 cm.设动力y(N)，动力臂为x(cm)(杠杆本身所受重力略去不计).

1)求y关于x的函数表达式.这个函数是反比例函数吗?如果是，请说出比例系数.

2)求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义.

3)利用y关于x的函数表达式，说明当动力臂长扩大到原来的n(其中n>1)倍时，所需动力将怎样变化？

思考1)尝试在图6上标上数据，可以得到什么等式？

2)第3)小题求解时，设原来的动力臂长为d，动力是多少？当动力臂长扩大到原来的n倍时，动力臂的长度是多少？动力呢？

3)第3)小题的求解能解释对图3、图4的判断吗？

设计意图本题设置了3个逐步递进的问题，呈现了函数建模、理解及简单应用的过程.有了前面“想一想”的铺垫，学生容易根据杠杆原理的等式得出函数表达式,当x分别为50，d,nd时求y的值，比较动力臂变化前后的动力变化，再一次感受函数的对应关系及反比例关系.思考3)的追问，让学生联系经验，应用反比例函数的知识分析问题、解决问题，感受反比例函数的应用价值.

4.6 课堂小结

说一说这节课研究了反比例函数的哪些内容？请在图2上补充完整.接下去将研究什么？

图7

设计意图这是概念“由厚到薄”的精致过程，通过结构化的总结，精练而深刻.一是让学生类比正比例函数概念的形成过程，再一次反思、检验自己得出反比例函数概念路径的合理性，为以后学习二次函数打下基础；二是与一次函数的学习建立联系，在掌握反比例函数概念的基础上，再次深度融合,并结合研究函数的基本流程，提出进一步研究的方向，形成良好的数学认知结构.

5 教学反思

5.1 寻找关联，完善认知建构

5.2 整体设计，实现深度学习

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中.从整节课的学习框架(图7)可以看出，先是提供具体情境，通过列举实例、直观想象、数学抽象认识具有反比例关系的函数，这是进行深度学习活动的基础；再是联系正比例函数，类比一次函数的学习思路、研究方法，引导学生获得反比例函数的概念，并在概念的辨析、巩固中积累数学活动经验，进一步精致概念，建构知识体系，形成数学认知结构，这是实现深度学习的关键；最后，设计“实际应用”，让学生经历反比例函数来建模、理解和应用，将获得的知识内容、思想方法、活动经验以及深度感悟学以致用，有效解决“杠杆原理”的实际问题，实现有效迁移，感受反比例函数的应用价值，这是实现深度学习的具体表现.