习探究之道 悟研究之妙——利用单位圆的性质研究正弦、余弦函数的性质

陈 旭, 汤小青

(衢州第三中学，浙江 衢州 324000)

数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中数学的重要内容之一[1].探究课需要学生体会数学探究的基本思路，在探究的过程中感悟数学探究的方法、体验数学探究的魅力.正弦、余弦函数的单位圆定义将三角函数的代数性质和单位圆的几何性质有机融合，利用单位圆的几何性质进行正弦、余弦函数的性质探究成为开展探究活动有效的着力点.笔者近期参加了一次地市比赛课，有幸得到专家评委的指点，在此就本课的几点感想与大家交流.

1 教学分析

1.1 教学内容

本课是2019年人教A版《数学(必修1)》三角函数章节的探究课.本课是在学习了三角函数的单位圆定义、同角三角函数基本关系、诱导公式、三角函数的图像和性质的基础上开展的，利用单位圆的旋转对称性探究正弦、余弦函数性质及相关公式，并为后续正切函数图像与性质、推导各种三角公式做必要的准备.因此，本节课在内容上发挥着承上启下的功能.

1.2 教学目标

1)利用单位圆的几何性质，结合数学实验，集体探究正弦函数的已知性质，独立探究余弦函数的已知性质，小组合作探究未知函数f(x)=sinxcosx的性质、二倍角的正弦公式.

2)通过课堂探究活动，学生熟悉数学探究活动四步曲、体验探究未知问题三步曲、进一步理解正弦函数与余弦函数单位圆定义的本质、体验数形结合的魅力.

3)通过课堂探究活动，提升学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养.

1.3 教学问题诊断

1)存在的问题：学生探究活动经验少，数学实验能力弱，GeoGebra使用不熟练.

2)教学重点：熟悉数学探究的基本步骤，理解三角函数单位圆定义的数学本质.

3)教学难点：探究未知函数的性质和论证二倍角的正弦公式.

2 教学过程(课堂实录片段)

2.1 选题阶段：创设情境，引入课题

师：同学们，大家好！今天我们要上一节数学探究课.

2021年9月17日神舟十二号飞船顺利返航，这是中国航空史上的重要时刻.过去的3个月，神舟十二号飞船以每90分钟绕地球一周的速度周而复始地转动着.大到航天飞船，小到生活中的摩天轮、飞驰的车轮、旋转的陀螺，到处都有圆周运动的身影.以圆周运动为背景我们抽象出了三角函数的单位圆定义.

在前面的学习中，我们利用三角函数的单位圆定义，得出了同角三角函数基本关系、诱导公式、正弦函数与余弦函数的图像，并利用正弦函数与余弦函数的图像研究了相应的函数性质，知识结构如图1所示.

图1

师：基于三角函数单位圆定义的核心地位，在这个结构中可以做怎样的探究？

生(众)：由单位圆的定义直接探究正弦、余弦函数的性质.

师：非常好！今天我们要探究的问题是“利用单位圆的性质探究正弦、余弦函数的性质”.

设计意图通过生活中的圆周运动，结合已学知识，从单元设计的角度发现选题,突显选题的意义，激发学生的探究精神，培养数学抽象素养.

2.2 开题阶段：搜集已有的研究背景，确定研究方案

师：给出问题之后，对于问题的研究需要做哪些准备呢？

生1：查阅相关的资料，并制定相应的研究计划.

师：非常好！首先请同学们回忆正弦、余弦函数的性质(搜集已有的研究背景).

(学生叙述正弦、余弦函数的性质.)

师：请同学们回忆如何利用单位圆的几何性质推导诱导公式(搜集已有的研究背景).

(学生叙述如何利用单位圆的旋转对称性证明诱导公式.)

师：今天我们将利用单位圆的旋转对称性来研究正弦、余弦函数的相关性质.

设计意图引导学生明确数学问题探究的一般思路，突显开题对于问题探究的引领意义.

2.3 做题阶段：利用单位圆的性质研究正弦、余弦函数的性质

2.3.1 论证已知

1)集体探究，明确思路.

师：定义域是函数的先决条件.利用周期性可以将无限的定义域变成研究有限的一个周期.请思考如何利用单位圆的几何性质描述正弦函数的定义域和周期性？

(教师利用GeoGebra让单位圆上的点绕着圆心周而复始地转动.)

生2：由角度大小的任意性，知正弦函数的定义域为R.单位圆上的点周而复始地运动，终边相同的角的终边和单位圆有相同的交点，因此sin(x+2kπ)=sinx，即正弦函数的最小正周期为2π.

师：那么如何理解正弦函数的单调性和值域？

师：刚刚我们利用单位圆论证了正弦函数的定义域、周期性、值域、单调性，主要用了什么数学思想？

生4：用了数形结合的思想.

师：很好！我们从函数性质(数)→单位圆的几何特征(形)→函数性质(数)进行思考，利用单位圆的旋转对称性得到了正弦函数的性质.那么，如何利用单位圆的几何性质描述正弦函数的奇偶性呢？

生5：从单位圆中构造两个方向相反、大小相等的角，这两个角的终边与单位圆的交点关于x轴对称，故sin(-x)=-sinx成立，因此sinx是奇函数.

设计意图利用点在单位圆上运动时纵坐标变化的代数规律，从几何角度抽象概括出正弦函数的性质.由于学生缺少探究经验，因此宜采用集体探究的模式，让学生初步体验利用单位圆几何性质探究的思路，为后续活动的开展做必要的铺垫.引导学生从“数学性质→几何直观→数学性质”进行思考，并且关注如何用准确的数学语言抽象概括出几何直观中的数学性质，提升学生的直观想象和数学抽象素养.

2)自主探究，内化提升.

师：刚才我们一起利用单位圆的旋转对称性完成了正弦函数性质的探究.现在请同学们再次利用单位圆的性质，在研究报告上独自完成余弦函数性质的探究.

(结合余弦函数的单位圆定义，类比正弦函数的性质进行分析.)

师：前面利用单位圆的几何性质完成了正弦、余弦函数已知性质的证明.那么我们能不能利用单位圆的旋转对称性来探究相关的未知问题呢？

设计意图利用点在单位圆上运动时横坐标变化的代数规律，从几何角度抽象概括出余弦函数的性质.以自主探究的形式开展探究，内化探究思路，进一步提升思维品质.

2.3.2 探索新知

1)数学实验，小试牛刀.

表1 sin x和x的大小关系

师：这位同学利用数据猜测了一个结果，请大家尝试证明.

图2

师：利用单位圆的几何性质，完成了猜想的证明.那么表格中第2组、第3组数据中x的值和sinx的值相同，如何解释呢？

生9：是数据的精度不够，提高精度后可以看到还是符合猜测的.

设计意图学生初步体会利用数学实验探索新知的三步曲，即直观感知→提出猜想→论证猜想，培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理素养.通过数据的误差分析，体验数学的严谨性.

2)类比迁移，更上台阶.

师：同学们利用数学实验，直观感知并猜测规律，最后结合单位圆的几何特征论证规律.让我们尝试用刚才的思路探究f(x)=sinxcosx的函数性质.

(4位学生一组：一位学生操作GeoGebra，一位学生记录数据，另外两位学生分析数据变化中的规律并展示表2所示的数据.)

表2 函数f(x)=sin xcos x的性质

生10：1)函数的周期性.观察数据0→-0.5→0→0.5→0的变化过程，猜测周期为π.因为f(x+π)=sin(x+π)cos(x+π)=sinxcosx=f(x)，所以猜测成立.

4)函数的奇偶性.在0的左、右两侧距离相等处，函数值相反，猜测f(x)是奇函数.因为f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x)，所以猜想成立.

师：非常好！该小组同学结合数据和单位圆的旋转对称性，给出了f(x)=sinxcosx的性质探究，理清了对称轴和对称中心在单位圆中的特点.

设计意图以数学实验为载体，利用单位圆的几何性质，探索函数f(x)=sinxcosx的性质.通过小组合作探究，进一步熟悉利用数学实验探究未知问题的三步曲.

3)大胆猜想，严谨论证.

师：问题引领前进的方向.请各小组讨论，利用单位圆的旋转对称性进行证明猜想是否成立.

生12(等面积法)：如图3，过点C作CE⊥OA于点E，联结AC交BO于点D，则CE=sin 2α，从而

又因为OD=cosα，AD=sinα,AC=2sinα,所以

故

师：将正弦、余弦函数的定义和三角形的面积有机融合，从形的角度证明了数的结果.

图3 图4

可得 cos 2α=1-2sin2α=cos2α-sin2α，

两边平方,得

cos22α=(1-2sinαcosα)(1+2sinαcosα)，

从而

1-cos22α=(2sinαcosα)2，

于是

sin22α=(2sinαcosα)2，

因此

sin 2α=2sinαcosα.

师：利用AC长度的两种计算方法，得到了一个非常有意义的公式cos 2α=cos2α-sin2α，并通过合理变形得到了想证明的公式.我们从数学实验出发，通过直观感知提出猜想、论证猜想，较好地完成了对未知问题的探索.

设计意图激励学生勇于探究，发现新知，体会探究之妙.从经验走向规律，使数学学习从浅层走向深度.从长度和面积两个角度体验公式证明的多样性，并为后续三角公式的探究埋下伏笔.

2.4 结题阶段：反思过程、总结提升

师：问题探究的最后环节是结题，结题不仅需要从内容上进行总结，更需要从思想方法上进行分析，还需要在不足中寻找进步的方向.

生15：了解了数学问题探究的基本思路：选题→开题→做题→结题.

生16：对于未知问题的探究，可以采用“直观感知→提出猜想→论证猜想”的思路进行.

生17：GeoGebra在数学实验的开展中具有很大的优势，需要进一步学习.

师：本节课是一节探究课，我们经历了选题、开题、做题、解题的过程.首先作为一节探究课我们需要寻找一个有价值的目标；搜集与选题相关的研究成果，确定研究方案；大胆猜想、严谨论证是探究之路上非常宝贵的品质；研究结束之后还需要将研究的成果撰写报告，反思研究之道.

设计意图结题是对内容、过程的总结，更是对方法、思维的反思，是下次研究的基石，让学生再次体验探究之旅，领略研究之妙.

2.5 布置作业:综合评价,课堂拓展

师：请同学们课后按小组整理本组的研究报告，并利用单位圆的性质探究更多的三角公式、更多新函数的性质，并撰写研究报告.我们将组织学科组对大家的报告进行综合评定.

设计意图“生命不息，探究不止”.教师要强化探究意识，从单元结构设计上寻找新的探究点，完善知识的整体结构，为后续内容的学习做准备.在数学探究的过程中养成独立思考、合作研究的意识.在评价方面，改变以往的评价模式，采取学科组的综合评价.

3 教学反思

3.1 基于探究性学习的教学设计

本课是一节探究课，设计上以探究课的基本步骤“选题→开题→做题→结题”作为设计的主线，并在未知问题的探索中以“直观感知→提出猜想→论证猜想”作为设计的思路，让学生能够“习探究之道，悟研究之妙”.

3.2 基于深度学习单元教学设计

图5

如图5，整个三角函数章节以“一核六翼”的结构进行大单元设计.其中，“一核”是指三角函数的单位圆定义，“六翼”是指同角三角函数基本关系、诱导公式、三角函数图像、三角函数性质、三角恒等变换、三角函数综合性质.本课是大单元设计中的一节探究课，目标是在教学中让学生感悟三角函数单位圆定义的核心地位，建立以此为核心的六翼的关联，最后形成“一核六翼”整体大单元思想.

本节课以“论证已知→探索未知”为线索展开，即在“论证已知”环节，从“集体探究→个人探究”逐步深入；在“探索未知”环节，从“小试牛刀→类比迁移→发现新知→多角度论证”引导学生从浅层走向深层，从猜测迈向规律，在深度学习的过程中提升学生的数学核心素养.

3.3 基于GeoGebra数学实验的教学设计

数学实验将抽象的数学知识直观化、形象化、具体化，能更好地诠释数学知识的发生和形成过程，更好地突显数学知识的本质属性.GeoGebra的动态演示效果能较好地引导学生创造性地探索数学规律，培养学生的数形结合思想及观察、分析问题和解决问题的能力，而且十分有利于培养学生的创造性思维，它为我们提供了一个探索数学问题的思想环境.这些优势都使得在GeoGebra环境下的数学实验探究更加深入.

利用GeoGebra的动态演示效果创设单位圆的运动背景，结合GeoGebra的数据运算功能，能更好地突显研究问题的数学本质.从教师演示数学实验到学生小组合作设计并演示数学实验，并利用数学实验在合作交流中发现和解决问题，充分发挥了学生的主体性，实现了学生数学核心素养的提升.