将“过程重建”植入课堂 让思维品质培养生根开花——由一节习题深度评讲课引起的思考

於有海

(江浦高级中学文昌校区，江苏 南京 211800)

近期，一所初级中学面向全区开展课堂展示活动，笔者有幸听到了一节初二年级的数学习题课——勾股定理的运用.授课教师采用“过程重建”的教学方式，带领学生重新回顾问题解决、寻找解题思路、分析解法特点、揭示问题本质.笔者把课堂实录和学习心得整理如下，与同仁一起分享.

图1

1 原题呈现

例1如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，阴影部分的面积为

( )

A.4 B.4π C.8π D.8

2 课堂实录

师(PPT展示)：同学们，今天这节课我们主要来评价昨天作业中的一道练习题，首先请同学来回顾一下当时的做法.

生1：我的想法是先求出这个图形的整体面积，然后再用整体的面积减去以AB为直径的半圆面积即可得到阴影部分的面积.

师：你如何求得图形的整体面积？

生1：该图形可看成是以AC为直径的半圆、以BC为直径的半圆和Rt△ABC共同组成的整体，组成这个整体的3个特殊图形面积都可以直接使用公式求得.

师：你是如何想到这种解决方法的？

生1：本题是求一个不规则图形的面积.因此，在我的脑海里闪现的就是“割补法”，运用此法可将本题中的不规则图形转化为常见图形.在这个思路指引下，我迅速找到了两个半圆及一个直角三角形，随后又发现了一个“隐藏”的半圆，最后验证了刚才的想法.

师：从生1的表述中可以提炼出几个关键词：“闪现”“思路指引”“找到”“验证”等，通过这些词语的连接，使得思路“清清楚楚一条线，明明白白一整片”！其实，许多时候当我们判定一个问题是熟悉的题型时，就可以学习这种处理思路.那么，听完生1的想法，还有其他解题思路或补充吗？

生2：我认为阴影部分的面积等于Rt△ABC的面积.

师：请具体介绍一下你的思路.

生2：以AC为直径的半圆面积为

以BC为直径的半圆面积为

以AB为直径的半圆面积为

且△ABC是直角三角形，由勾股定理可得

AC2+BC2=AB2,

故

S1+S2=S3,

如此就可以得到我的判断.

师：你是怎么想到的？

生2：我当时看到了图形当中出现了直角三角形，就抱着试试看的想法，结果就成了.

启示1重建认知，梳理思路.

在教师的“设计”下，学生通过重建自己的认知，梳理自己的思路，既完善了自己的认知不足，也为其他学生提供了成功的案例，是一举两得的必要的过程.

师：好！尝试也不失为一种选择，尝试也需要一定的数学积累.接下来，请同学们对比分析一下这两种方法，说出你欣赏的方法及理由.

生3：我认为生1的方法好，因为它是我们解决这类问题(不规则图形、组合图形等)的常用和熟悉的方法.

师：是的，我们在平时的解题过程中，遇见熟悉的问题时经常会用到“模式识别”，它是我们打开解决一类问题大门的一把钥匙(通性通法).其他同学也来说说看法吧！

生4：我欣赏生2的灵感与精神，他能敏锐地抓住图中的关键图形——直角三角形，并运用我们最近所学的知识，迅速而简洁地完成对问题的作答.

师：你的表达也很有条理！同学们，你所遇见的，并不一定都是你所熟悉的.生2就为我们树立了一个大胆尝试的榜样.

启示2对比解法，分析特点.

学生通过批判性地对比解法，可以更加深刻地认识不同解法的特点，开阔自己的思维，以人之长补己之短.

师：从熟悉的程度来看，我相信绝大多数同学也赞同生3的观点.那么，生4所欣赏的“灵感”，是否只是一种敢闯敢做的“精神”而无凭无据呢？接下来，请同学们仔细回想一下，我们在哪里见过这样的图形？

(全体学生陷入沉默中.)

师：大家能否指出生4所提到的“运用了最近所学的知识”，究竟是什么知识呢？

生5：勾股定理.

师：好！那么，在学习勾股定理时，有让你印象深刻的图形吗？

图2

生5：毕达哥拉斯树.

(教师用PPT展示，如图2.)

师：请同学们对比图1和图2，找出它们的不同之处与相同之处.

生6：两幅图的相同之处，都包含一个直角三角形；不同之处，一个是直角三角形与2个半圆组成，而另一个是3个正方形与一个直角三角形组成.

生7：我觉得题目中的图形是3个半圆与一个直角三角形组成的，分别是以AC为直径的半圆，以BC为直径的半圆和以AB为直径的半圆.

师：很好！你也找到了这个“隐藏”的半圆.请同学们继续寻找.

生8：老师，可以把这个“隐藏”的半圆沿着AB翻转180°到AB的下方来.

(教师在PPT上画出了草图，如图3.)

图3

师：很妙！你的“翻转”让生2的方法更加通俗易懂了.

生9：老师，这样一来，图1和图2就“长得很像”了.

师：哦！怎么解释？

生9：图1由一个直角三角形与分别以该三角形3条边为直径的3个半圆组成(按生7的方法可等价变成)；图2由一个直角三角形与分别以该三角形的3条边为边的3个正方形组成.

师：没错，的确如此！

生10：我认为它们是“一样的”，图1由圆的面积公式可得

化简得

AC2+BC2=AB2.

图2由正方形的面积公式对应也可以得到

AC2+BC2=AB2.

图4

师：非常好！大家觉得这两幅图的关键部分是什么？

生11：图形中的直角三角形.

师：嗯！两幅图都是通过直角三角形的3条边为“纽带”生长出来的(也成为熟悉的结构).如果把3个半圆或者3个正方形改成分别以直角三角形的3条边为边的3个等边三角形(如图4)，也可以得到相似的问题，这个我们在下一章节(无理数)学习时再体会……

启示3深化思维，揭示本质.

教师在分析完解法特点后，没有选择结束本题的讲解，而是带领学生“穷追”自己解法的本质，既是对生2的大胆尝试给出有力解释，也是为了让学生树立正确地、科学地探索陌生事物的态度，同时也是为了让学生学会“用数学的眼光观察世界”，更是为了培养学生思维的深刻化与精确化.

3 几点思考

《义务教育数学课程标准(2011年版)》与《普通高中数学课程标准(2017年版)》都明确提出要发展学生的数学思维能力.而学生数学思维能力的外在表现就是数学思维品质.如何培养学生的数学思维品质呢？教学实践经验表明，学生在进行充分思考的基础上，在教师的带领下，重建认知过程、重建解法过程、重建思维过程，可以激发他们的学习热情，打开解决问题的思路，培养正确的解题思想，帮助他们养成对自己的解题过程进行反思的习惯，促使他们深度参与学习过程，逐步提升他们的自我评价能力，进而提高他们的数学思维品质.

3.1 重建认知过程，寻找解决问题的思路，使思维更具逻辑性和条理性

数学是一门思维性、逻辑性和连贯性很强的学科.通常情况下，数学知识的生成过程应符合由特殊到一般、由具体到抽象、由感性到理性的认知规律，这体现了数学思维逻辑的严密性[1].如果学生在解答一些陌生的数学习题之后就此终止,不对解题思路进行反思、回顾，就会使解题停留在经验水平或者“尝试错误”的层面上，缺乏逻辑性和连贯性，难以举一反三，事倍功半.相反，本节课教师在学生已完成的习题基础上，带领学生重建对问题的认知，引导学生对自己的思路进行重新梳理，了解自己研究的是什么，又是如何进行研究的，有怎样的成功经验或失败教训，这必然会促使学生的思维再一次在更高的层次上去经历抽象、概括的过程，从而促使学生的思维进入到理性认识阶段，达到对问题的理性认识.同时，教师在学生进行思路梳理的过程中，可以更好地把握学生的解题经验、知识储备和学习情感，可以更好地以学定教，设置追问，促使学生的认知层层深入，思维拾级而上，在长期的潜移默化中，逐渐培养学生的思维更具逻辑性和条理性，为学生进一步学习提供良好的思维品质.

3.2 重建解法过程，分析解决方法的特点，使思维更具灵活性和批判性

学生在解题时往往满足于做出题目，而对自己的解题方法的特点很少加以评价，作业中经常出现解题过程起点单一、思路狭窄、解法陈旧、解题过程繁琐等不足，这是学生的思维过程缺乏灵活性、批判性的具体表现，也是学生的思维创造性水平不高的表现.无论学生解题是否成功、解法是否巧妙，都必定动过一番脑筋，有了具体的解题经验，就容易开展积极的思维活动[2].在进行课堂“过程重建”时，教师要充分利用这些经验，引导学生对各种解决方法进行科学评价，努力寻找解决问题的最佳方案，帮助学生将经验上升为科学方法，把思维由个别推向一般，将解题提高到数学基本思想的熏陶、数学基本方法训练的层次上来.通过对解法过程的重建，不仅可以开阔学生的思路，使学生的思维逐渐从不同的角度与方面起步思考、分析和解决问题，而且可以助力学生从点状碎片化思维发展到整体系统化思维，以促使学生形成一个系统性强、着眼于相互联系的数学认知结构，促使学生的数学思维在回顾、整理、提炼中更具灵活性和批判性.

3.3 重建思维过程，揭示解决问题的本质，使思维更具精确性和深刻性

我们知道，由于学生的认知水平、知识储备、思维能力等因素的限制，他们在解决问题时经常带有“尝试错误”的倾向，不善于预见事物的发展；在解答问题之后，往往不善于概括归类，不善于抓住事物的本质和规律，缺乏对解题过程的反思，忽略对自己的思维过程进行提炼、概括，为解题而解题.那么，即使成功地解决了问题，也不知道解决问题的本质所在，难以产生迁移，因而使解题质量不高，效益不大.当生2运用“灵感”成功地解决了问题但又不知道其根本原因时，教师通过带领学生回顾、整理解题的思维过程，帮助他们重新剖析问题的实质，启发他们进行联想，寻找相关问题之间的内在联系，探索这类问题的一般规律.本节课的后半程进度明显加快，这是问题本质被揭示后的自然生成，是学生的思维不断深刻化、精确化的外在体现，也是助力学生生命成长的内驱力[3].长期在这样的教学熏陶下，学生必能为其进入高中阶段的数学学习打好基础，打通初高中思维衔接的通道.

4 结束语

南京师范大学附属中学葛军校长在2021秋季开学发言时提到：“从一个问题出发并进行多个角度地思考与认识，由此融合起来，一通百通，形成了对事物本质化的认识，并且易于产生新问题、新发现、新发明，生生不息，活跃了思维，提升了自己综合认识与处理问题的能力.”

在中学阶段，学生思维正处于发展的关键期.在这个时期，学习知识固然重要，但学会思考，尤其是深度思考更为重要.要达到深度思考，教师可运用“过程重建”的教学形式，通过对一道题或一个材料做深入研究，挖掘其内在的学习线索和数学本质，基于学情，自然、合理、有序地组织学生进行相关的数学探究活动[4]，利用数学知识的发生与发展过程来激发学生的认知矛盾，引起学生的认知不平衡，从而激发学生的求知欲，促进知识的自然生长和教学资源的生成，引发学生的思维碰撞和深层思考，让学生透过结构、思路、方法、本质等这些隐性内容，感觉“不在书里，就在书里”[5]，以达成多维目标的过程.学生在“过程重建”的有效引领下，经历对问题的深度理解、过程的精致评判、方法的灵活运用等学习活动，这是一种指向问题本质的数学思维活动.数学本就是以思维见长的学科，数学的学习能启迪、培养、发展学生的思维；能够集中、加速和强化人们的注意力和思考力；能够让学生直觉地感到思维的重要性.而将“过程重建”植入课堂，则是助力数学思维培养并生根开花的有效教学方式.数学的学科特殊性决定了其在培养学生思维品质上的独到之处.