问题链视角下GeoGebra在数学公式教学中的运用

【摘 要】问题链教学可以引导学生对数学问题进行有逻辑、深入的探索，问题与问题之间的关联也为学生进行思维上的探索提供空间。GeoGebra软件的使用能使公式可视化，利于学生通过观察与实际操作解决问题，进而提升对公式的认知。以问题链为载体设计教学环节，结合等比数列前n项和的教学案例，讨论GeoGebra软件在高中数学公式教学中的运用特点与教学策略。

【关键词】问题链教学；公式教学；GeoGebra；高中数学

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2022）91-0035-04

【作者简介】杨雪藜，南京市金陵中学河西分校（南京，210019）教师，一级教师。

“数学问题链教学试图以问題链为载体，驱动学生的数学思考，在问题解决的过程中实现数学再创造，在再创造过程中建构新知识、体验数学思想方法。”［1］指向数学核心素养的问题链教学的关键在于围绕数学核心素养的落实，确定高质量的主干问题及铺设序列化子问题。［2］

GeoGebra是适用于所有教育阶段的动态数学软件，它将几何、代数、表格、图形、统计和微积分汇集在一个易于使用的软件包中。教师通过合理运用GeoGebra动态演示组件，可以在高中数学的教学过程中根据学情进行个性化设计，将技术融入教学，帮助学生在短暂的课堂上以直观而生动的感受快速而准确地理解抽象的知识。

高中数学公式教学的知识内容抽象程度高、思维难度大，在教学中往往存在以下三个方面的困难：第一，公式推导枯燥、教学方式单一；第二，学生理解艰难、接受程度不足；第三，条件结论抽象、记忆方法较差。在此背景下，问题链的引入和GeoGebra软件的合理使用能够最大限度地将抽象的知识点转化为直观印象，帮助学生理解和记忆并进一步完成应用能力的提升。

一、问题链视角下GeoGebra在高中数学公式教学中的运用策略

等比数列是继等差数列之后学生学习的重要数列。在学习等差数列和等比数列的基本概念、递推公式、通项公式与等差数列前n项和之后，学生能识别和处理简单的等差数列的相关问题。但是学生在学习等比数列时比较困难：等比数列不容易通过实物进行具象化理解，在没有极限知识的情况下学生对等比数列收敛与发散的定义较难直接掌握和记忆，无穷多项和等于定值与直觉相悖使得理解公式难上加难。

在高中数学等比数列的相关内容中，公式推导是教学的重要组成部分。基于等差数列的相关知识，通过问题链的构建，可以引导学生在学习过程中由基础任务向难度任务进发。另外，教师适当运用技术手段，通过GeoGebra动态软件对等比数列求和进行可视化展示，推动问题链的构建，最终解决问题，帮助学生实现从知识到技能再到应用的能力飞跃。下面，笔者结合“等比数列前n项和”的教学案例，在数学问题链视角下，讨论GeoGebra软件辅助高中数学公式教学的策略。

1.情境化引入问题，提升课堂教学的生动性

问题1：请同学们回忆等比数列的定义，如何确定一个数列是等比数列呢？我们的身边哪些实际的物品可以组成一个等比数列？

问题2：存款和借款问题与等比数列有关。若一个人每个月都买入a元银行理财产品，每个月理财回报率固定为r，请同学们计算一下，如果像这样坚持理财n个月，一共可获得多少钱？请大家把计算表达式写出来。

【设计意图】问题1关联旧知识，在课堂伊始帮助学生回忆等比数列中任意相邻两项之比为定值这一知识点，同时用生活中常见的等比数列实例帮助学生快速进入学习状态。问题2从生活情境回归抽象问题，引出等比数列求和模型，引导学生列出一个求等比数列前n项和的算式。

2.参与式聚焦问题，强化概念理解的主动性

（1）发现特征，掌握计算方法

问题3：观察等比数列的求和算式Sn = a1+a1r+a1r2+…+a1rn-1，有什么特点？

问题4：回顾等差数列求和公式的推导过程。如何让等比数列求和表达式中这么多项变为有限的、容易计算的几项？

【设计意图】针对问题3，学生可能会从求和算式的项数、相邻两项的关系、任意一项公比的次数与项数之间的关系等多方面作答。在此基础上，教师帮助学生类比等差数列求和公式的推导过程，引导学生在等式左右两边同乘公比r，消掉中间项，为接下来讲授“错位相减”法作铺垫。

（2）应用公式，巩固新知

问题5：在等比数列｛an｝中，（1）已知a1= - 4，r= [12]，求S10的值；（2）已知a1= 1，ak= 243，r = 3，求Sk的值。

问题6： 在等比数列｛an｝中，已知S3 = [72]，S6=[632]，求an。

【设计意图】问题5和问题6安排学生独立或小组合作完成，目的是让学生发现解题的要点是确定数列的首项、项数和公比，从而根据公式列出含有未知数的方程，加强学生对等比数列求和公式的记忆和灵活应用，进一步强化方程思维在解题中的运用。

3.实践中延伸问题，深化公式应用的可视性

（1）分类讨论，实验探索

问题7：现在我们已经掌握了等比数列前n项和公式，请问各位同学思考，银行理财在赚钱和亏钱时，公比r有什么不同？能否把等比数列按公比的取值进行分类？下面，让我们通过实验来探究等比数列的增减性与公比之间的关系。

【实验一】实验过程：学生通过平板或电脑上的GeoGebra软件，打开提前设置好的GeoGebra动态演示文件，其中横坐标为项数、纵坐标为数列中的项对应的数值，公比设置为滑动条、首项为20，取等比数列前10项的点标在该坐标系中。学生观察等比数列中前10项值的趋势，然后拖动滑动条、改变公比的值，继续观察数列中前10项值的变化。（见图1）

结论：当公比| r |＞1时，数列中的项的绝对值随项数的增大而增大；当| r |＜1时，数列中的项的绝对值随项数的增大而减小，且越来越接近0。

【设计意图】问题7是对问题1的延伸和扩展，学生虽不需要学习数列增减性的准确定义，但也能够通过观察，判断图中各点的变化趋势。小组讨论时学生之间互相帮助，实验结束后总结出公比的大小决定了等比数列的变化趋势。教师在学生代表发言之后进行简单总结和分类，即可得到结论。

（2）形成概念，实验求证

问题8：对于等比数列而言，当公比满足| r |＜1且r ≠ 0时，称该数列是收敛的；反之，称数列是发散的。请同学们思考，收敛数列的项有什么特点？当项数比较大时，一个收敛数列的第n项与第（n+1）项的大小关系是什么？

猜想：根据实验一的结果，随项数的增大，收敛数列中项的绝对值不断减小。当项数比较大时，收敛数列中第（n+1）项和第n项都很小，小到非常接近0。

问题9：收敛数列无穷多项和的大小是否变化？

【实验二】实验过程：教师演示设置好的GeoGebra文件，由学生观察并进行小组讨论，通过拖动大直角三角形的顶点来改变[1r]的大小，观察图形的变化。（见图2）

结论：当数列收敛时，图中小直角三角形的底边长即为数列中每一项的值，大三角形底边长则是无数个小三角形底边长的和。也就是说，等比数列无穷多项的和等于大三角形的底边长。因此，收敛等比数列的無穷多项和是常数。

问题10：你能根据图形尝试推导这个和的表达式吗？收敛等比数列无穷多项和的大小与什么有关？

结论：由阴影三角形与大直角三角形相似，即可得到收敛等比数列的无穷项和公式S∞=[a1-r]，| r |＜1且r ≠ 0。因此，无穷项的和只与首项、公比的大小有关，与项数无关。

【设计意图】学生没有学习过极限的概念，如果直接从等比数列前n项和的公式出发，在| r |＜1的条件下，用r n→0来解释无穷项和公式与前n项和公式的差别，符号的陌生感会进一步挤压学生的学习兴趣和思考空间。通过直观图形的展示，学生既能找到相似三角形比的关系，又能观察到底边长与数列中前几项的对应关系，这样能在规避无穷与极限概念的同时，直接展示无穷项的几何意义、给出收敛数列无穷项和的直观解释；更重要的是，学生可以通过小组合作的方式自行推导无穷项和公式，其中的获得感和成就感非常有利于学生对公式的理解和记忆。

二、总结和讨论

问题链教学设计依据数学核心观念设置与之关联的高质量主干问题，围绕主干问题铺设利于学生思考与探究的序列化子问题。公式教学可以依托问题链教学设计，从问题情境出发，让学生在探究与合作中感知公式、在公式变形中应用公式。

在本文的教学案例中，学生从实际生活情境出发，在问题链教学的引导下，从等比数列前n项和公式的“错位相减”代数推导学习任务推进到收敛数列无穷项和公式几何证明的挑战任务上。通过GeoGebra的辅助教学手段，学生能在自主操作的情境下进入问题链，并与小组同伴进行实时沟通、分析和展示，既能实现公式的可视化、具象化，又能在分析与解决问题的过程中实现对数学公式的深度理解。

GeoGebra动态演示软件本身的“动态”特性能将具有一定跨度的主干问题串联起来，在问题链教学中驱动学生进行观察、比较、交流和思考，同时又通过图形在变化过程中展示出的逻辑关联给学生提供一定的提示与启发，帮助学生厘清数学内容的内在架构，达到对核心观念的理解与运用。教师也可以通过巧妙设计变量、几何代替代数等方法，对抽象的公式和概念进行可视化表达，增强学生的理解能力和接受程度。

需要特别指出的是，GeoGebra软件虽然比较容易上手操作，但是要想完成一个符合教学逻辑和操作步骤的动态演示文件，仍需要大量尝试、学习、思考和实践。但软件本身带来的广阔创意空间，在目前常见的所有数学软件中是较具优势的。

【参考文献】

［1］唐恒钧，张维忠.数学问题链教学的理论与实践［M］.上海：华东师范大学出版社，2021：43.

［2］丁福军，张维忠，唐恒钧.指向数学核心素养的问题链教学设计［J］.教育科学研究，2021（9）：62-66.

［3］钟志华，唐悦，凌皓岚.基于模式观的“等比数列的前n项和”教学设计［J］.数学教学通讯，2021（27）：13-17.