题组统整，结构建模，渗透方程思想

徐英姿 沈建明

［摘 要］关于“分数除法”单元中的问题解决，教材沿用了分数乘法的数量模型，运用方程的思路来解决实际问题，但是却用算术思维来解决“分数工程问题”。基于教学的单元整体性考虑，教学“分数除法”时沟通新旧知识，通过题组来渗透方程思想，以构建更加完整的数学知识结构。

［关键词］整体教学；方程思想；分数工程问题

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2022）35-0041-03

人教版教材六年级上册的“分数除法”单元最后的工程问题，是人教版教材新增的一类实际问题，它是对过去简单的工程问题的拓展，主要是让学生经历分数的抽象表达，把以前的数量逻辑与现在的分率表达进行类比统整，从而丰富对分数意义的理解。在“分数除法”单元中，关于“分数除法解决问题”的相关内容——例4、例5、例6，均为先找出顺向的乘法数量关系，再运用方程的方法来解决问题。但是，对于本单元中的工程问题，教材则采用算术方法来解决。从单元统整的角度考虑，是否可以采用顺向的结构化思维，运用方程的模型来解决分数工程问题，让学生建立更加完整的认知结构？带着这样的思考，笔者进行了教学探究。

一、题组比较，丰富数率结构

之前的教材并没有单独编排整数的工程问题。四年级上册“三位数乘两位数”单元的有关单价、数量和总价以及速度、时间和路程的问题，都是从“每份数×份数=总数”这一数量关系中衍生出来的，因此，明确具体问题的具体的量还是非常有必要的。教师可在教学引入阶段可让学生联系新旧知识，进一步明确“工作效率×工作时间=工作总量”这一数量关系，同时，通过题组帮助学生构建数量关系模型，为后面的解决问题做好铺垫。

1.新旧联系，拓展模型结构

笔者开门见山，直接出示课题“工程问题”，让学生回顾已学知识。

出示题组的第1题：（1）修一条公路，甲队每天修3千米，乙队每天修2千米，两队合修，7.2天修完，                    ？请提出问题并列式解答。

學生基本上都提出问题“这条路全长多少千米”，并列出“（3+2）×7.2=36（千米）”。笔者追问：“这里的‘3是什么？这里的‘2呢？‘7.2又是什么？”同时结合学生的回答板书：

笔者提问：“还可以怎么算呢？”学生都能列出“3×7.2+2×7.2=36（千米）”。笔者板书：

通过提问和交流，学生复习了简单的含有工作效率、工作时间和工作总量的实际问题，明确“同时进行的问题，只要知道各自的工作效率和工作时间，就有两种思路求出工作总量”，从而拓展了最基本的数量关系模型。

2.把握结构，乘除思路融合

出示题组的第2题：（2）修一条长36千米的公路，甲队每天修3千米，乙队每天修2千米，两队合修，            ？这道题是“已知工作总量和工作效率，求工作时间”的问题，学生通常喜欢用算术方法解决。对此，笔者有意引导学生先根据板书中的数量关系来找已知量：“这里已经知道了什么？”根据学生回答，笔者在数量关系式对应的量上打钩，并提问：“要我们求什么？可以怎么求？”同时板书：

解决同一个问题有多种思路，但万变不离其宗的就是数量关系的结构。学生通过观察，就能发现用方程方法与用算术方法解题的共同点。

比较后，学生体会到运用乘法的数量关系式列式是顺向的思维，符合题目的叙述顺序，而依据关系式，用分数除法解决是逆向思维，但不管用哪种方法，都需要根据数量关系结构来列式（如图1）。至此，学生认识到数量关系结构的作用。

3.数形结合，联系数率变化

工程问题放在“分数除法”这一单元，与之前最大的区别就是数的不一样。从具体的数量到抽象的分率，数学能力较弱的学生肯定在理解上有困难。笔者运用画线段图、列表格等几何直观的方法，帮助学生进行思考与表达。

出示题组的第3题：（3）修一条公路，如果甲队单独修，12天修完；如果乙队单独修，18天修完。两队合修，几天修完？

如果是一开始直接给出这道题，由于没了路程数，学生原有认知经验不足，会认为题目信息不足；以题组的形式引出，则为部分学生提供了思路上的借鉴。教师可通过提示“能不能假设公路的总长度”，帮助学生自主获得用假设法解决问题的思路。

学生独立完成后，教师通过学生的回答完善表格（如表1）。

有的学生把“要修的路”假设为某一个具体的数量，有的学生把“要修的路”长度抽象成“1”，都能算出7.2天，而这仅仅是完成了本题的一半，更关键的是理解“为什么假设的总路长不同，最后算出来的总天数却不变”。对于这样的问题，学生无法用话语清楚表达。于是笔者用原始长度一样且可变长或变短的三条松紧带，分别演示了甲队修路情况、乙队修路情况以及两队合修情况（如图2）。这样的演示形象又直观地体现出，虽然要修的路的长度在假设的过程中不断变化，但是甲队和乙队每天修的长度占总路长的比率却没有变化。学生真正体会到：无论“要修的路”长多少，两队合修的天数都一样；把“要修的路”假设为“1”是最为简便的。

以上设计是对已学的数量关系模型进行了拓展，引导学生从对具体量的理解延伸至用分率表达。同时，这也承接了本单元的一个编排思路：顺向建构数量结构模型，采用乘法或方程法来解决实际问题。

二、结构变式，体会方程优点

1.从“同时”到“分开”，合理选择模型

在用分数除法解决问题时，有的学生一直采用算术方法逆向列式。虽然这样的方法也有优点，但是从顺向思维结构化的角度来看，运用方程方法更容易统整乘法与除法问题的解决方法，便于厘清数量关系。

出示变式题1：修一条公路，如果甲队单独修，12天修完；如果乙隊单独修，18天修完。现在甲队先修了4天，余下的工作由乙队继续完成。乙队要几天才能修完？

在列数量关系式时，学生发现不能用“（工作效率甲+工作效率乙）×工作时间=工作总量”这一公式，因为变式题1改变了之前“两人合作，同时进行”的条件，使得各自的工作时间不一样了，反而是“工作效率甲×工作时间甲+工作效率乙×工作时间乙=工作总量”这一结构更适合本题。

笔者让学生先说甲队的工作效率和乙队的工作效率各是多少，再说“已知哪几个量，要求哪个量”。学生很自然地将已知数据代入“工作效率甲×工作时间甲+工作效率乙×工作时间乙=工作总量”中，列出了方程[112×4+118×x=1]。

也有学生列式为（1- [112]×4）÷[18]，但是通过比较，更多的学生选择了用方程来解答问题。

从“同时”到“分开”的过程，需要学生合理选择模型。这就是本课伊始同时出示两种不同模型结构的意图。模型本身没有优劣之分，只有合适与不合适，学生需要根据具体问题来具体分析和运用。

2.从“分开”到“先单后合”，完善模型认识

在经历了对数量模型的合理选择后，笔者对数量模型进行了组合，以完善学生对模型的认识。

出示变式题2：修一条公路，如果甲队单独修，12天修完；如果乙队单独修，18天修完。现在甲队先修了4天，余下的工作由甲队和乙队继续合作完成，还要几天才能修完？

考虑到学生能力的不同，笔者引导学生建立总量模型“甲先修的工作量+甲、乙合修的工作量=工作总量”：“甲先修的工作量怎么求？甲、乙合修的工作量又怎么表示？”很多学生都能运用代数的思维列出方程：

通过情境的层层深入，学生经历了方程模型的建立与巩固的过程，渐渐接受方程这一代数思维。

3.从“整体”到“部分”，丰富数率表达

出示变式题3：修一条公路，如果甲队单独修，12天修完；如果乙队单独修，18天修完。两队合修，几天修完全长的[13]？

因为有了前面的铺垫，所以学生解答本题时基本上都没有问题：

为什么要在这个位置放变式题3？从设计的角度看，前面总量都是单位“1”，学生容易形成思维定式；现在把总量从“1”变成“[13]”，虽然仅仅是数据上的改变，却有利于学生深入理解数量关系。

比起算术方法，方程思想更具有实操性，对于稍难的题目，方程的优势更明显，更容易被大部分学生接受，学生会渐渐喜欢用总量模型的方程思想解题。

三、情境变换，统一方程结构

分数工程问题之所以是分数除法解决问题中最为抽象的一类，主要是需要把总量抽象成“1”，并用相应的分率来表示。因此，有必要重现包含“单价”和“速度”数量关系的题目，变换一下情境，促进学生对方程结构与数率关系统一的认识。

1.变化内容场景，提炼结构原型

出示两道题目，让学生二选一：

（1）甲车从A城市到B城市要行驶2小时，乙车从B城市到A城市要行驶3小时。两车同时分别从A城市和B城市出发，几小时后相遇？

（2）一定数量的钱，如果只买A商品可以买2千克，如果只买B商品可以买3千克。如果这些钱同时买A和B，金额一样多，可以各买多少千克？

虽然这里的数量关系与工程问题一致，但很多学生却没了思路。笔者让学优生进行讲解：

通过不同情境下的问题比较，学生较好感知了“（[1a] + [1b]）x=1”的解决问题模型，对方程总量结构原型有了完整的认识。

2.数率综合比较，灵活数量表达

出示一道综合题：一共有320棵树，如果一队单独种，需要8天;如果二队单独种，需要10天。现在两队合种，5天能种完吗？

有不少学生列式为：（320÷8+320÷10）×5=360（棵），360>300（棵）。

笔者提问：“这样做可以吗？”马上有学生表示可以，并迅速给出了另一种方法：（[18] + [110] ）×5= [98] [>]1。

通过比较，学生发现：“320棵”只是具体的某一个数量，这里不管是哪个具体数量，都可以用单位“1”来表示后再解答。这样一来，抽象的单位“1”有了具体数量的支撑，学生进一步认清了数率之间的联系，丰富了表达数量的方式。

总之，对“分数工程问题”的教学，重点要放在把握与理解数量关系结构的动态上，渗透方程思想，沟通相关数量关系的相同点与不同点，让学生运用一种顺向的结构化思维，构建完整的分数乘除法问题解决策略体系。

（责编 金 铃）