精创模型建构策略 强化模型意识培养

蒋小芬

［摘 要］数学教学应当注重数学模型的建构。通过“精选问题，挖掘建模素材”“紧扣思维，推进建模进程”“与‘实俱进，延伸模型实践”三个途径，帮助学生掌握建构数学模型的方法，从而强化学生模型意识的培养，使学生养成以数学视角看待现实问题的习惯。

［关键词］模型建构；模型意识；建构策略

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2022）35-0011-03

小学生的数学学习要着重关注模型意识，而经历模型建构的过程才能强化模型意识的培养。

模型建构可以从学生熟悉的生活和已有的经验出发，引导他们将实际问题初步抽象成数学模型并加以解释与运用。经历模型建构过程，学生将感悟数学与现实世界的密切联系，学会用数学的眼光观察世界；针对或参照某种事物系统的特征或数量依存关系，进行分析、抽象、简化，提炼数学本质特征，学会用数学的思维思考世界；学会用数学的语言，以及采用多种形式的数学语言描述世界。

一、模型建构的现状

目前，学生对模型建构存在习得性问题。笔者在实际教学中收集了学生在应用模型时出现的问题，并从四个知识领域进行分析归类（如表1）。

二、数学模型建构的有效策略

如何结合学生学习的难点与困惑，让学生有效地体验模型建构、增强模型意识？如何促进学生对数学模型的深度理解？笔者从以下方面进行了有效的尝试与实践。

1.精选问题，挖掘建模素材

（1）生活化+冲突化，唤醒建模意识

生活背景是数学建模的基础，用数学的眼光观察生活情境并发现和提出问题是数学建模的起点。因此，教师可以从学生熟悉的生活背景中甄选素材作为基本内容，让学生激活并提取数学模型的逻辑雏形，在真实情境中揭示数学本质。选择思维冲突化的问题情境，更能激发学生的思考欲望，使学生主动求变、求通，充分激发学生的主观能动性，以此唤醒学生的模型意识。

【案例】减法的性质

学生学习减法的性质a-（b+c）=a-b-c和a-（b-c）=a-b+c时会产生这样的认知冲突：为什么去掉括号后加减运算就变了呢？教师可借用以下生活实例唤醒学生的模型意识（如表2）。

通过具体实例唤醒学生的建模意识，并使学生在认知冲突中比较两个模型，学生原先的认知失衡便会转变为认知平衡。

（2）直观性+类比性，助推建模体验

数学模型的建构需要数学活动作为载体，所以教师要给学生提供直观性、结构性、类比性、全方位的材料，助推建模活动，增强学生的建模体验。

【案例】相交与平行

笔者收集学生绘制的两条直线的关系图，有五种情况（如图1）。

学生先分小组讨论直线的位置关系，再记录分类理由，最后全班聚焦到一个问题上：①号作品中的两条直线究竟有没有相交？学生纷纷阐述观点“不相交，因为没有‘交。”“会相交，因为直线是可以无限延长的，当延长到一定程度后这两条直线就会相交。”学生动手展示延长直线的过程，证明①号作品中的两条直线最后会相交。

①号作品利用看似没有交点的两条直线引发学生的讨论，使学生经历“推测—讨论—动手验证”的过程，并由此进入深度学习的状态，增强了模型建构的体验。

2.紧扣思维，推进建模进程

（1）聚类中抽象，模型螺旋成形

数学模型并非针对单个数学现象或者数学特征，其本质上具有典型的“类”的特征。因此，教师要为学生呈现丰富的表象，将概念简单化、整体化，促进模型的建构。

【案例】正比例

笔者汇聚“差不变”“乘积不变”“比值不变”三类变量实例，通过抽象、概括、辨析来引领学生认识正比例的概念，将建构正比例概念模型分成了三个层次。（如图2）

第一个层次的认识是“变量”，即能在以上三类变量的具体情境中，体会两个变量存在联系。第二个层次是认识正比例中两个变量的变化方向：一个量增大另一个量也随之增大。第三个层次是最终认知节点：两个变量变化方向一致的同时，扩大或缩小的倍数也一样，即两个变量的比值不变，从而抽象出正比例的概念。

通过三类不同的变量类型，学生经历了“相关联—变化方向—比值一定”的抽象过程，最终顺理成章地建构正比例的概念。这也为后续反比例概念的教学奠定抽象、比较、符号化等建模基础。

（2）思辨中提炼，完善模型建构

課堂教学只有考虑学生的立场和整体视角，以及学生的学习难点、困惑点，才能更有效地帮助学生在思辨异同的过程中提炼本质特征，提高建模意识，逐渐完善模型的建构。

【案例】“平行”的概念教学

a.                        b.                         c.

教师出示以上三个正方体，并提出以下问题。

①正方体a，同一个平面上的直线：

问题：任选一个面，你能找到两条互相平行的直线吗？

②正方体b，异面的直线：

问题：观察[l1]，[l2]，这两条直线，它们互相平行吗？为什么？

③正方体c，看似异面实则共面的直线：

问题：[l3]，[l4]，这两条直线互相平行吗？这两条直线所在的面隐藏在哪里？

最后展示平移直线，动态生成第三个平面：

此案例中，学生充分经历同一个平面、异面的两条直线位置关系的辨析过程。在同一个平面上，不相交的两条直线互相平行；在异面上，不相交的两条直线有时平行，有时不平行，如果直线[l3]经过平移可以与直线[l4]完全重合，那么平移[l3]所扫过的区域就是这两条直线共属的平面。在对看似异面实则共面的直线的辨析过程中，学生实现了深度思考，逐渐完善“在同一个平面内，两条永不相交的直线互相平行”的数学模型。

3.与“实”俱进，延伸模型实践

（1）结合实践经验，引导建模应用

学生建立数学模型后，最终要在生活实际中验证数学模型的可行性，并应用数学模型去解决实际问题。

【案例】圆柱的表面积

问题：有一种圆柱形的茶叶罐，要对其进行包装，为了尽可能地避免浪费，应该选择怎样的包装方式？

问题：给一根底面周长为3.14平方分米、高为3.8米的柱子刷油漆，每平方米要刷0.7千克油漆，共需要多少油漆？

问题：制作100个烟囱需要多少平方米的铁皮？

学习了圆柱的表面积后，学生已经建立了丰富的表象，并初步建立了模型。为了实现更深刻的认知，教师可引入生活实际问题，强化学生的应用意识，帮助学生积累数学应用的经验，使学生加深对数学模型的理解，体会数学模型的价值。

（2）积累数学化经验，养成建模习慣

建构数学模型需要学生将问题数学化，用文字、图形或者符号表达数量关系和一般性特征，形成建模的习惯。比如，在解答图2中的“乐乐和爸爸的年龄”等问题时，学生能主动地用简单的符号来表达不同的关系（如表3）。

学生运用数学语言表达数量关系，不但能养成用数学眼光看待问题的习惯，而且能在知识的梳理、反思学习中领会模型思想，不仅有效地解决了问题，还为后续学习打下了坚实的基础，形成了良好的数学核心素养。

（3）渗透模型意识，延伸数学思维

学生在经历建构模型的过程中不仅要掌握建模方法，还要主动追溯问题的核心和本质，从形式上、方法上、思想上去延伸数学思维。

针对圆柱的表面积问题，教师可出示延伸数学思维的问题串，以引发学生对数学知识本质的思考：回顾一下，我们已经掌握了哪些图形的表面积计算方法？你能画出这些图形的侧面展开图吗？能用公式表示这些图形的侧面积的计算方法吗？它们之间是否存在相同点？

将学生思维局限于课堂并不能真正起到培养学生模型意识的作用，所以教师可以将学生思维延伸到课外，引导学生提炼数学问题，组建项目化学习小组，关注自主学习过程，如此才能达到持续探究的目的。

值得注意的是，模型意识的培养也应做到以生为本。教师长期坚持强化学生数学模型意识的培养，使学生逐渐学会用数学的眼光去看待问题、分析问题，感受现实生活中蕴含着的大量数学知识，并能运用数学知识将生活问题抽象、建构成数学模型，从而能从解决一个数学问题到解决一类数学问题，再到解决一般现实问题，形成模型观念。

（责编 吴美玲）