明概念挖性质探本源——以一道三校联考函数试题的本源及其变式为例

广州市铁一中学(510600)何重飞

函数是贯穿高中数学课程的一条主线,函数试题作为综合考查学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等素养的重要载体, 是高考数学必考内容之一, 而函数性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)是历年高考考查的重中之重,其中利用函数单调性、奇偶性、对称性求范围等综合性问题更是高考的常客.在“一核四层四翼”新高考评价体系下,高考考查能力更考查素养,评价理念上也逐渐由传统的“知识立意、能力立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的综合评价转变,近几年高考考查函数性质这一考点的试题基本遵循“稳中有变、立足基础、突出能力、锐意求新”的命题指导思想,预计今后的命题将延续这一原则.

下面笔者以一道高三三校联考函数小压轴试题为例,谈谈该试题的设计思路、考查意图、解法探究及其本源和变式等,并就函数性质这一考点内容的复习备考给出几点思考和建议,希望可以得到同行们的批评指正.

一、试题及评析

题目(2021 届高三理科三校(广铁一中、广大附中、广外)期中联考第16 题)已知函数f(x)=ex+ex-1+若f(a)≥e++3,则a的取值范围是____.

评析这是一道题干给出具体函数解析式,求含参数的函数不等式中参数的取值范围问题,题干简洁明了,但内涵丰富,是一道难得考查能力更考查素养的好题.函数看似复杂,其实是由四个我们熟知的指数函数和一个常数相加组合而成, 其解析式结构清晰优美, 具有一定的对称性(需要挖掘).如果直接将参数a带入函数解析式再解题干所给的条件不等式将会得到一个超越不等式,求解的难度非常大,想必这也不是命题者的设计初衷.因此,解决这个问题应该另辟蹊径,仔细分析题干,观察函数构造特点,联想相关函数性质的定义, 从函数本身的性质出发, 找寻突破口, 回归本质,探究其本源.

解答解答本题之前,我们先来回顾函数(本文出现的函数都假定为连续的)的一个定义和性质:

定义设函数f(x)的定义域为I, 若对∀x ∈I, 都有f(a+x)=f(a-x)(或f(x)=f(2a-x)), 则称f(x)是以直线x=a为对称轴的轴对称函数, 反之, 若f(x)是以直线x=a为对称轴的轴对称函数, 则对∀x ∈I, 都有f(a+x)=f(a-x)(或f(x)=f(2a-x));特别的,当a=0时,f(x)为偶函数,此时直线x= 0(y轴)为函数f(x)的对称轴.

性质1设函数f(x)的定义域为I, 若f(x)是以直线x=a为对称轴的轴对称函数, 且函数f(x)在对称轴右侧定义域内单调递增(递减),则f(x1)≤f(x2)⇔|x1-a|≤|x2-a|(|x1-a|≥|x2-a|)(x1,x2∈I).

现在研究题干中函数f(x)的奇偶性、对称性及其单调性.由题意知函数f(x)的定义域为R,易知f(x)为非奇非偶函数,但注意到f(1-x)=e1-x+e-x++1=f(x), 故由定义知函数f(x)关于直线x=对称; 由于f′(x)=故当x≥时,f′(x)≥0,此时函数f(x)单调递增, 再由对称性知函数f(x)在上单调递减.观察到f(0)= e++3, 所以题干所给条件不等式等价于f(a)≥f(0), 故由函数性质知解得a的范围为(-∞,0]∪[1,+∞).

反思通过上述解答过程可以发现,本题考查内容较多,综合性较强,对考生能力及素养要求较高.上述解答过程中的“注意到”、“观察到”对于考生来讲是比较难的,这也是本题的难点所在,如何突破这一难点,挖掘出函数所具有的对称性质,考生除了要具备敏锐的观察力,熟悉函数的有关定义,还要在平时训练中善于总结函数的一些基本性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)及其数学表征形式.解答中的“注意到”并不是凭空想象出来的,而是通过分析函数的构造特点,发现其背后隐含的对称性质得到的.

二、试题本源探究及变式

1.问题再探究

我们从函数的自身结构知函数f(x)=+ 1, 若假设函数g(x)= ex+则函数f(x)=g(x)+g(x-1)+1,易知g(x)为R 上的偶函数,其对称轴为直线x=0(y轴),因为函数g(x-1)图像是由函数g(x)图像整体向右平移一个单位长度得到,故g(x-1)是以直线x= 1 为对称轴的轴对称函数.分析至此,我们自然会想,两个形状一样,对称轴不同的两个轴对称函数之和是否还为轴对称函数?

带着上述问题, 我们不妨假设存在实数m, 使得f(2m-x)=f(x).因为f(x)=g(x)+g(x-1)+1,且g(x)为偶函数,即有g(-x)=g(x),又f(2m-x)=g(2m-x)+g(2m-1-x)+1=f(x),可得(此方程无解), 或因此有f(1- x)=f(x), 故f(x)是以直线x=为对称轴的轴对称函数.

事实上,对于一般情形,笔者研究发现也有类似性质

性质2设g(x)为偶函数,则f(x)=g(x-a)+g(xb)+c(a,b,c ∈R)是以直线x=为对称轴的轴对称函数.

证明因为f(x)=g(x-a)+g(x-b)+c,g(x)为偶函数,故g(x-a)=g(a-x),g(x-b)=g(b-x),又因为f(a+b-x)=g(a+b-x-a)+g(a+b-x-b)+c=g(a-x)+g(b-x)+c=f(x),故由定义知f(x)是以直线为对称轴的轴对称函数.

2、试题的本源与变式

从近几年的高考试题来看,可以发现利用函数对称性求解含参不等式范围问题是一个高频考点,我们可以以本题为例开展变式题组教学,从本题的源头出发,通过变式让学生从中体会函数这一性质的本质,掌握这一考点的考查方式及其变化规律.

变式1题干简洁明了,直接了当考查利用函数单调性性质求范围问题.(注意定义域)

题1(母题1)已知f(x)是定义在I上且为单调递增(递减)的函数,则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(直接考查函数单调性性质)

变式2题干给出具体函数(能通过推理比如求导判断其单调性),先要判断函数单调性,再根据性质去求范围.

题组2(1)已知函数f(x)= lnx,则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(注意定义域)

(2)已知函数f(x)=则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(以分段函数形式考查函数单调性性质)

变式3题干中给出具体函数(有些是基本初等函数或其组合,可直接观察单调性,有些需求导来判断单调性),对条件不等式进行改造,使其一边为常数.(找到常数作为函数的象所对应的原象是关键)

题组3(1)已知函数f(x)=则满足f(1-2x)≤的x的取值范围是_____.(对应的函数的原象即f(-1)=是解题的关键)

(2)已知函数f(x)=xex,则满足f(3+2x)≥f(x2)的x的取值范围是____.(右边x2≥0 是隐含信息也是关键)

变式4题干给出抽象函数,给出一些可以推理判断函数单调性的性质命题或条件,再行求解范围.

题组4(1)已知函数f(x)的定义域为I,且对∀x ∈I,都有f′(x)≥0,则满足f(1-2x)≥f(x)的x的取值范围是____.

(2)已知函数f(x)的定义域为I, 对∀x1,x2∈I且x1/=x2,都有＜0(＞0)(或(x1-x2)(f(x1)-f(x2))＜0(＞0)),则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.

(3)已知函数f(x)的定义域为I(a,b ∈I且a ＜b),且f(a)＜ f(b), 若对∀x1,x2∈ I且x1/=x2, 都有f(x1)/=f(x2), 则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(题干中给出单调性等价命题)

变式5题干中函数增加对称轴属性(定义、性质或具体函数本身具有对称轴),结合单调性再求范围.

题组5(1)(母题2)已知f(x)是定义域为I的偶函数, 且在y轴右侧定义域内单调递增(递减), 则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.

(2)已知函数f(x)的定义域为I, 若对∀x ∈ I, 都有f(a+x)=f(a - x)( 或f(x)=f(2a - x)), 且函数f(x)在数轴点a右侧定义域内单调递增(递减), 则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.

(3)已知函数f(x)的定义域为I,若f(x+a)是偶函数,且函数f(x)在数轴点a右侧定义域内单调递增(递减),则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(函数f(x)图像关于x=a对称)

(4)已知函数f(x)= ex++x2+a, 则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(函数f(x)为偶函数且求导易知函数在y轴左侧递减,右侧递增.)

(5)已知函数f(x)= ln(1+|x-1|)-则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(设函数g(x)=ln(1+|x|)-易知函数g(x)为偶函数且函数在y轴右侧递增,且f(x)=g(x-1),所以直线x= 1 是函数f(x)对称轴,在对称轴左侧递减右侧递增)

(6)已知函数f(x)= ex-2++(x-1)2+1, 则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(设函数g(x)=ex-1++x2+1,易知函数g(x)为偶函数且函数在y轴右侧递增,且f(x)=g(x+1),所以直线x=-1 是函数f(x)对称轴,在对称轴左侧递减右侧递增)

(7)已知函数f(x)=ax2-2ax+b(a/=0)无最小值,则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(题干隐含抛物线开口向下,在对称轴左侧递增右侧递减)

(8)已知函数f(x)=g(x-2a)+g(x-2b)+c的定义域为I,且g(x)为偶函数,若函数f(x)在数轴点a+b右侧定义域内单调递增(递减),则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(性质2 的应用)

(9)已知函数f(x)= 2x2-2x+|x|+|x-1|+3, 则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(整理可得函数f(x)= (x2+|x|)+ ((x-1)2+|x-1|)+ 2 =g(x)+g(x -1)+ 2, 其中g(x)=x2+|x|, 利用性质2求解)

(10)(本文开篇讨论的原题)已知函数f(x)= ex+ex-1+e-x+e1-x+1,则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.

变式6利用两个形状一样,对称轴(对称中心)不同的两个函数之积构成的新函数所具有的对称轴属性(性质的证明留给感兴趣的读者),结合单调性求解范围.

题组6(1)已知函数f(x)=k·g(x-2a)·g(x-2b)+t的定义域为I, 且g(x)为偶函数(奇函数), 若函数f(x)在数轴点a+b右侧定义域内单调递增(递减), 则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.

(2)已知函数f(x)=2x4-4x3+6x2-4x+5,则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(分析整理可得函数f(x)=2(x2+1)[(x-1)2+1]+1=2·g(x)·g(x-1)+1,其中g(x)=x2+1 为偶函数且满足(1)中的函数构造,故其对称轴为直线x=

(3)已知函数f(x)= 2(ex -e-x)(ex-1-e1-x)+ 1,则满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围是____.(设g(x)=ex-e-x,知其为奇函数,则f(x)=2g(x)·g(x-1)+1且其对称轴为x=

变式7题干中增加函数对称中心属性,改变题设中的条件不等式,再利用函数单调性求范围问题.

题组7(1)已知f(x)是定义域为I,对称中心为(a,b)的中心对称函数(或对∀x ∈I,都有f(a+x)+f(a-x)=2b(或f(2a-x)+f(x)= 2b)),且在数轴点a右侧定义域内单调递增(递减),则满足f(t2)+f(2t)＜2b(＞2b)的t的取值范围是____.(这一重要性质的证明留给感兴趣的读者)

(2)已知函数f(x)=+x+ 1, 则满足f(a2)+f(a)≤2 的a的取值范围是____.(注意定义域,易知(0,1)是函数f(x)的对称中心, 且求导可知函数在(0,1)单增.)

(3)已知函数f(x)=+2x+1,则满足f(a2)+f(2a)≥3 的a的取值范围是____.(易知(0,是函数f(x)的对称中心,求导可知函数在(0,+∞)单增.)

变式8考查的本质一致,引进参数,通过推理分析求参数范围,或者改变提问方式.

题组8(1)已知函数f(x)=(a ＞0 且a /= 1), 若不等式f(ax2+bx+c)＞0 的解集为(1,2), 且b ∈(-5,1),则a的取值范围是____.

(2)已知函数f(x)=ln(3x++1,若对m ＞0,都有f(a)≤m+-5,则a的取值范围是____.

(3)已知函数f(x)= 21-|1-x|+1,若a=f(20.3),b=f(lg 2),c=f(log0.53),则a,b,c的大小关系是____.

三、教学启示及备考建议

1、熟读课标、研究高考、把握方向

课程标准是服务教学,指导教学的纲领性文件,熟读课标是一线教师的基本要求,我们需明确课标中对函数教学的内容和要求.在“一核四层四翼”新高考评价体系下,要认真研究高考,做真题、研真题、用真题,历年高考真题为我们提供了高考考查的内容、范围、力度和要求,研究真题我们才能明确考试方向,掌握命题规律,才能有的放矢,把握备考方向,提高备考效率.

2、回归教材、重视概念、注重基础高考命题源于教材又高于教材,许多高考试题的原型就是教材例习题的改编,因此教师们在这一考点的备考复习教学中须立足教材,吃透课本中的典型例习题,落实基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验.《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出:“高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.”数学概念是数学的本质,无概念则无规则可言,对于相对抽象的函数及其性质,概念更是至关重要.备考时应该着重强调函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)的基本概念及其数学表征形式的推理论证,引导学生掌握奇偶函数以及对称函数的一些基本构造原理,加强学生对这一考点基础知识的训练.解题教学时,应该引导学生回顾概念的基础上对题目信息进行加工整理和挖掘,重视解决这一类问题经常用到的数形结合、转化与划归、函数与方程等数学思想方法的应用,培养学生分析问题和解决问题的能力.

3、精选例题、变式训练、提高效率在复习备考中,各类试题试卷非常多,教师们应该在明确考纲、熟悉高考真题的基础上,依纲精心选择适合本班学生的、恰当的、质量高的试题试卷让学生加以学习与训练,避开偏题和怪题,提高备考效率.函数试题综合性强,解法灵活,抽象思维要求较高,在备考教学中适当开展“追根溯源、变式训练、题组教学”可有效的揭示解题规律,提高学生数学抽象素养,培养学生思维的灵活性和创造性,从而达到复习的目的和效果.