一道解析几何选择题的多维度思考

刘许友

在高三数学解题教学过程中，教师经常提倡学生进行一题多解，鼓励学生用发散思维解题，从多维度、多渠道思考问题.这不仅能激励学生的学习兴趣，调整学生学习的参与度，而且有利于培养学生独立的数学解题能力，开阔他们的思维，提高学生知识之间的联系与应用.在近期的一次课堂教学中，以一道模考中出现的圆锥曲线压轴题为例，启发学生多角度思考问题，达到了良好的课堂效果.

试题呈现：

已知椭圆C：x29+y2=1的左、右顶点分别为A、B，点P为C上一点（不在坐标轴上），直线AP与直线y=-3交于点C，直线BP与直线y=-3交于点D，设直线AP的斜率为k，则满足CD=36的k的所有值的和为（  ）.

A.-49 B.-94 C.49 D.94

寻找常规思路：设出点P坐标，可以很容易写出AP、BP方程，继而求出与直线y=-3的交点C、D的横坐标，代入CD=36中探求斜率k满足的关系，继而求解.

解法一 设P（x0，y0），则直线PA方程为：

y=y0x0+3（x+3），它与直线y=-3的交点横坐标

xc=-3x0-3y0-9y0，同理PB方程为：y=y0x0-3（x-3），它与直线y=-3的交点横坐标xD=-3x0+3y0+9y0，由CD=36可得：CD=xC-xD=6+18y0=36，解得：y0=35或-37，此时点P对应四个坐标：P1（125，35），P2（-125，35），P3（6107，-37），P4（-6107，-37）.从而由k=y0x0+3得到四个k值：k1=19，k2=1，k3=-1210+7，

k4=1210-7.，故满足条件的所有值之和为k1+k2+k3+k4=-49.

此种解法属于通法，直接找到点P，求出斜率.思维量不大，但运算稍显麻烦.换种思维：已知直线PA斜率，要根据CD长度建立等式寻找k值，关键是找到PA、PB斜率之间的关系.我们能不能发现PA、PB斜率之间的关系呢？

解法二 设P（x0，y0），则kPA.kPB=y02x02-9=1-x029x02-9=-19.因为kPA=k，所以kPB=-19k，直线AP的方程为y=k（x+3），则C的横坐标xC=-3k-3，直线BP的方程为：y=-19k（x-3），则xD=27k+3.所以CD=xC-xD=27k+3k+6=36，整理得：9k2+14k+1=0或9k2-10k+1=0.易知满足CD=36的k值共有4个，根据韦达定理可得这4个k值之和为-49.

这种解法不用解出k值，过程简单.但思维的关键是要找到PA、PB斜率之间的关系.学生在做题时不一定能发现.但换一种想法，如果利用坐标变换将椭圆变换成圆，则A、B两点为圆直径兩端点，P为圆上一点，这样的话，是不是就很容易发现PA⊥PB，kPA.kPB=-1.

解法三 利用坐标变换x′=13xy′=y，可将椭圆方程变换为：x′2+y′2=1.在该变换下A（-1，0），B（1，0）.设kPA=k′，由PA⊥PB，得kPA.kPB=-1.设P（x0，y0），则PA方程为y′=k′（x′+1），与直线y′=-3的交点C的横坐标xC′=-3k′-1.此时PB方程为y′=-1k′（x′-1），xD′=3k′+1.因为xC-xD=36，即3xC′-3xD′=36.所以3k′+3k′+2=12.整理得：3k′2-10k′+3=0或3k′2+14k′+3=0. 同算法一可知所有k′的和为-43，易知k=13k′，故所有k值之和为-49.

在这种变换下很容易发现PA、PB斜率之间的关系，求解也就变得简单.但这种解法的难点在于要清楚在这种仿射变换下对应量之间的关系，哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化.

数形结合思想是解决解析几何问题的重要思想方法.固有的思维是用“数”来解决“形”的问题，其实有些题型用“形”来解决更方便、更直观.回到图形当中，发现AB∥CD，AB、CD的长度已知，很容易想到了数形结合的方法.

解法四 （1）当点P位于x轴上方时，如图1所示，因为AB∥CD，所以ABCD=yPyP+3=16，解得：

yP=35，从而xP=±125.此时直线AP对应两个斜率值：k1=19，k2=1.

图1

（2）当点P位于x轴下方时，如图2所示，ABCD=yP3-yP=16，解得：yP=-37.从而xP=

±6107，此时直线AP斜率对应两个k3=

-1210+7，k4=1210-7.故所有k值之和为-49.

图2

笔者认为，要使学生学好数学，一定要提高学生的学习兴趣与数学思维能力.在解题教学过程中，教师如果能根据试题特点，选择不同的解题方法和技巧，采用“一题多解或一题多变”的方法，常常会使学生达到耳目一新的感觉，可以使学生更积极主动地参与到课堂中去，培养了学生的信心，提高了他们解题的动力.

（收稿日期：2021-01-12）