立体几何中最短距离的求解策略

2021-12-09 07:20马亚斌
中学生理科应试 2021年11期
关键词:棱长动点中点

马亚斌

立体几何中除证点线面的位置关系,还有较常见的就是角的度量问题,而求线段的长度是平面几何中必须要掌握的内容,但现在立体几何中出现频率比较高的题目是有几个动点和定点,求线段和的最小值.学生想当然地会建立坐标系,转化为求两点间距离来处理,“理想很丰满,现实很残酷”,求f(x)+g(x)的最小值难度更大,绝大部分是行不通的.因为命题人的用意不是考查学生是否会用坐标法,而是要求学生能对立体图形翻转折叠展开在脑海中有清晰的脉络,运用自如,其实对图形的空间想象力要求更高了.综观这类题在高考中或各级各类模拟考试中,对考生都是高难度的挑战.笔者谈点粗浅的解题方法,供读者参考.

一、展平图形用勾股定理

例1 (2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2,底

面周长为16,其三视图如图1所示,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  ).

A.217 B.25 C.3  D.2图1

解析 此题首先要解决的问题是知道直观图是什么,M、N的正确位置.由三视图可知,该几何体为如图2(a)所示的圆柱,该圆柱的高为2,底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图,如图2(b)所示,连接MN,则MS=2,SN=4,则从M到N的路径中,最短路径的长度为MS2+SN2=22+42=25.

图2

例2 正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为2,侧棱长为1,则动点从A沿表面移动到D1时的最短路程为.

解析 动点从A沿表面移动到D1的路径有无数条,最短路径只有一条,关键是侧面展开图有不同视角和方式,决定路程长短不一,具体有如下3种情况,可能有最短路径:

①从直观图中直接看出,从A到A1再到D1的路程为1+32;

②如图3所示,从A沿侧面到D1的路程为AD1=AD2+DD21=

(32)2+1=19;

图3           图4

③如图4所示,BD1=1+6,AB=2,所以AD1=BD21+AB2=9+26;

显然9+26<1+32<19,故动点从A沿表面移动到D1时的最短路程为9+26.

(例2升级版)如图5所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为BD1,BB1上的动点,则△C1PQ周长的最小值为(  ).

A.2153      B.4+22

C.4+832D.2133

图5           图6

解析 前面例题2容易因考虑不周,造成漏解,但此例因为P,Q是动点,至使学生不太容易想到从何处着手展开平面图,难度明显增加.连接B1D1,BC1,由图易得△C1PQ的三边分别在三棱锥

B-B1C1D1的三个侧面上,将三棱锥B-B1C1D1的侧面展开成平面图形,如图6所示,可得四边形BC1D1C1′为直角梯形,当C1′,P,Q,C1四点共线时,△C1PQ的周长最小,最小值为C1C1′=C1′D21+D1C21=4+22,即△C1PQ的周长的最小值为

4+22,故选B.当然此例还有一点很重要的就是利用图形的对称性,有C1P=DP=C1′P,否则图形展开后也很难将三角形三边集中在一个平面内,达到化曲为直的效果.

二、利用图形的对称性实现线段部分转移

例3 (2014年7月浙江省学考题25)如图7,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱A1D1,C1D1的中点,N为线段B1C的中点,若点P,M分别为线段D1B,EF上的动点,则PM+PN的最小值为(    ).

图7           圖8

A. 1  B. 324   C. 26+24  D. 3+12解析 因为N为面对角线段B1C的中点,所以点N其实就是面的中心,点P是体对角线上的动点,所以P到N的距离就可以等价转化为点P到底面ABCD的中心O的距离, 显然当动点M运动到EF中点时,PM最短,此时刚好P、M、O均在平面DBD1上,如图8所示,PM+PN的最小值为MO=324.

例4 如图9所示,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,点P,Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点,则△PEQ周长的最小值为(  ).

A.22 B.10 C.11 D.12

解析 如图10所示,取BC中点N,由图形的对称性,易知QE=QN,延长EC1至点M,使MC1=EC1,易证:PE=PM,连接PM,MN,且M,Q,N共线,则△PEQ的周长为PQ+PE+QE=PQ+PM+QN≥MN=10.此时P、Q恰好为MN与B1C1、B1C的交点,等号能成立.此例从表面看与例2升级版极为相似,但解题方法截然不同,这也告诫学生在今后解题中要注意.图9          图10

三、化折线为垂线段

例5 如图11所示,在棱长均为23的正四面体ABCD中,M为AC的中点,E为AB的中点,P是DM上的动点,Q是平面ECD上的动点,则AP+PQ的最小值是(  ).

A.3+112 B.3+2 C.543 D.23圖11          图12

解析 用化曲为直的观点看,只要将△ADM绕DM转动,转动到平面ADM与平面ECD垂直,再做点A到平面ECD的距离,此即为AP+PQ的最小值.此法思维量大,图形处理要求高,学生一般想不到,更难的是添辅助线及计算能力的要求高.为此笔者多画几幅图,如图12所示,易证平面DCE⊥平面ABC,过M做MH⊥CE,所以有MH⊥平面DCE图13,带动平面DAMH⊥平面DCE,这些都是线面垂直的性质与判定交替应用.由于直观图的影响,容易误解为点A、M、H三点共线,为此又画平面图13所示,由于图形比较规则,易求

DM=3,AM=3,MH=14AB=32,DH=DM2-MH2

=332,

又易知∠AMG=∠MDH,

所以GM=AMcos∠AMG=AMcos∠MDH=3×336=112,

所以AP+PQ的最小值等于AN=GM+MH=

3+112.

四、运用解析几何的方法辅助处理

图14

例6 如图14所示,在棱长为2的正四面体S-ABC中,动点P在侧面SAB上,PQ⊥底面ABC,垂足为Q,若PS=32

4PQ,则PC长度的最小值为.

解析 做PH⊥AB于点H,连接QH,则∠PHQ为二面角S-AB-C的平面角,设AB的中点为G,S在平面ABC内的射影为O′(O′为△ABC的中心),连接SG,GO′,SO′,则∠SGO′也是二面角S-AB-C的平面角,则sin∠PHQ=PQPH=

sin∠SGO′=SO′SG=223,所以PH=32

4PQ,所以PH=PS,所以点P的轨迹是侧面SAB内以AB为准线,以S为焦点的抛物线,SH的中点O是抛物线的顶点,O到C的距离就是PC的最小值,

在△SHC中,由余弦定理,得cos∠SHC=

(3)2+(3)2-222×3×3=13,在△PHC中,由余弦定理可知,PC2=(32)2+(3)2-2×32×3×13=114,所以PCmin=

112.

(收稿日期:2021-09-22)

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