引领学生解读直线参数方程中t的几何意义

张丽娜

教师在教学过程中不仅要给予学生知识点的灌输，还要及时了解学情，分析学生易错点，引导学生学会分析失误点，明确是知识点掌握的不清楚还是运算上的失误.

直线的参数方程是高考选修题常考的知识点，利用直线参数方程中参数的几何意义求有关的弦长、面积、最值等问题是考查的重点.而学生在用直线参数方程中参数的几何意义解决有关问题时，由于对参数方程中参数的几何意义理解不透彻，出现一些常见错误.本文以直线的参数方程知识点为例，归纳学生常出错的题目，进而明确问题考查的本质.

知识点重现 经过点P（x0，y0）、倾斜角是α的直线的参数方程为x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数）

其中点M（x，y）为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到点M的位移，可以用有向线段PM的数量来表示.

一、理解参数t的几何意义

教师引导学生回顾知识点的同时，要告诉学生这个知识点是怎么推导出来的，帮助学生理解与记忆知识点，让学生知其一更要知其二.对知识点的复习不能仅仅停留在知识点的本身，更要通过例题习题的练习进行巩固与思考.

例1 已知直线l过点P（1，2），且它的倾斜角θ=135°.

（1）写出直线l的参数方程;

（2）求直线l与直线y=x的交点坐标.

解 （1）由直线l过点P（1，2），且它的倾斜角θ=135°，所以它的参数方程可以写成

x=1+tcos135°y=2+tsin135°（t为参数），即x=1-22ty=2+22t（t为参数）;

（2）把x=1-22ty=2+22t代入y=x，

得1-22t=2+22t，即t=-22，

把t=-22代入x=1-22ty=2+22t得到两条直线的交点为（32，32）（如图1所示）.

圖1

学生反思 第（2）问中由直线的参数方程求两条直线的交点坐标，t=-22表明P到M的位移是-22，P到M的距离为PM=22.

变式 如果将本题过点P（1，2）的直线l的参数方程写成如下形式x=1-ty=2+t（t为参数），直线l与直线y=x交点为M，求PM.

错解 把x=1-ty=2+t代入y=x，得1-t=2+t，即t=-12，所以t=PM=12.

错因 对于直线参数方程中t的几何意义理解不透彻，仔细观察直线l的参数方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数），关于x的式子中t的系数为直线倾斜角的余弦值，关于y的式子中t的系数为直线倾斜角的正弦值（由直线倾斜角的范围可知，sinα≥0），也就是说，当直线的参数方程表示成满足此种形式的式子时，参数t表示从P（x0，y0）到直线上任一点M（x，y）的位移，也即是有向线段PM的数量，此时t=PM.

即若直线l的参数方程为如下形式：x=x0+nty=y0+mt（t为参数;n，m为常数）

当n，m满足n2+m2=1且m≥0时，该参数方程中的t才具备上述几何意义.

正解 将直线l的参数方程x=1-ty=2+t变换为x=1-22ty=2+22t，代入y=x，得1-22t=2+22t，即t=-22，t=PM=22.

二、有关知识点

教师应引领学生对所学的知识点做进一步力所能及的推广，培养学生应用知识分析问题的能力.解题后，教师应引导学生从题目中总结出来新的方法、技巧和结论性的东西.

例2 设直线x=2+ty=4-t，与抛物线y2=4x交于相异两点M，N，A（2，4）.

（1）求M，N到点A的距离之和;

（2）求MN;

（3）求M，N的中点K，KA.

解 首先将直线参数方程x=2+ty=4-t变换为x=2-22ty=4+22t，代入y2=4x得t2+122t+16=0，设M，N对应的参数为t1，t2，则有t1+t2=-122t1·t2=16，可知t1<0，t2<0.

MA+NA=t1+t2=t1+t2=122

MN=t1-t2=（t1-t2）2

=（t1+t2）2-4t1t2=414

（3）设K对应的参数为t0，则t0=t1+t22=-62，x=

2-22·（-62）=8，

y=4+22·（-62）=-2，所以K（8，-2），KA=t0=62.

学生反思 已知条件中直线的参数方程t与标准形式下的直线的参数t的含义是不一样的，需要进行转化标准形式下的直线的参数方程，注意直线的两个参数方程中参数的不同.

提升 经过点P（x0，y0）、倾斜角是α的直线的参数方程为

x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数），若点M，N在直线上，对应的参数为t1，t2，则

（1）线段MN长度MN=t1-t2.

设M，N的中点为K，则K对应的参数t0=t1+t22，KP=t0.

（3）若定点P（x0，y0）恰是弦MN的中点，则有t1+t2=0.

三、变式巩固

课堂上获得的知识是有限的，需要在多次做题中进行自我“揭短”，从新的层次、新的角度看到自己的不足，这体现了学生进行自我剖析、自我批判的勇气.我国著名心理学家林崇德教授认为，一个学习好的学生，应该是善于反思的学生.

例3 （2021全国高考仿真模拟卷）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x24+y2=1，直线l的参数方程为x=2+ty=2-t，（t为参数），以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.

（1）写出曲线C的参数方程及直线l的极坐标方程;

（2）若直线l上的点A、B对应的参数分别为t，t+22，点Q在曲线C上，求△QAB面积的取值范围.

解 （1）略.

（2）法一 直线l的参数方程变形为x=2-22（-2t）y=2+22（-2t）（t为参数），令t′=-2t，直线l的参数方程为x=2-22t′y=2+22t′（t′为参数），A、B对应的参数分别为t′A=-2t，t′B=-2（t+22），AB=t′A-t′B=（-2t）-（-2（t+22））=4.

法二 A（2+t，2-t），B（2+t+22，2-t-22），AB=（22）2+（-22）2=4.

设Q（2cosθ，sinθ），直线l的直角坐标方程为x+y-4=0，点Q到直线l的距离d=2cosθ+sinθ-42=|4-5sin（θ+）|2，

4-52

≤d≤4+52，故△QAB面积的取值范围是42-10，42+10.

学生反思 第一问容易解决，第二问的求解中要先计算AB的长度，大部分学生是这样计算的AB=t-（t+22）=22，这是没有彻底理解t的几何意义，此时需要对参数方程进行转化.求曲线上的点到直线的距离，可将曲线方程转化为参数方程，借助三角函数求距离的最值问题.

本文主要讲述直线参数方程中参数t的几何意义，通过对知识点的再现及常见误区的展示，让学生深刻理解直线参数方程中参数的几何意义.

本文中的题后反思不仅是教师教学过程中对学生学习行为的反思，更要体现到学生解题后的反思，找到错误的根源，从根源上解决问题，不断对知识点本身或从数学思想方法的角度进行提升，是十分有利于学生核心素养的发展的.

基金项目：本文系阜阳市教育科学规划课题“核心素养下高中数学教学中学生反思能力有效性实践的研究”（编号：FJK043的阶段性研究成果.

（收稿日期：2021-09-14）