重视由数想形 发展数学素养

谢俊峰

摘  要：苏科版《义务教育教科书·数学》八年级下册“反比例函数的图象与性质”一课在操作画图前安排了一个由数想形的“思考”环节，由于对教材的理解粗浅、教学目标的制定存在偏差、素养落实缺位等原因，这一环节常常被教师所忽略. 基于由数想形的课堂教学实践，说明由数想形有利于发展学生的直观想象素养，有利于培养学生的代数推理能力，有利于为高中函数学习奠定方法基础.

关键词：由数想形;直观想象;数形结合;代数推理

一、缘起

笔者作为评委参加了一次乡村初中数学教师的无生课堂教学比赛，课题为苏科版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下统称“教材”）的“反比例函数的图象与性质”. 教材中提供了一个思考活动，内容如下.

思考：根据反比例函数表达式[y=6x，] 可以描述这个函数的图象具有的一些特征. 试回答下列问题.

（1）[x，y]的值可以为0吗？

这个函数的图象与[x轴、y]轴有交点吗？

（2）[x，y]所取值的符号有什么关系？

这个函数的图象会在哪几个象限？

（3）当[x>0]时，随着[x]的增大（减小），[y]怎样变化？当[x<0]时，随着[x]的增大（减小），[y]怎样变化？

这个函数的图象与[x]轴、[y]轴的位置关系有什么特征？

参加比赛的10位教师中，有4位教师忽略了教材中的这部分内容，直接通过列表、描点、连线画出函数的图象;有3位教师是先画图，再来进行提问，让学生回答上述问题;有2位教师简单分析，一带而过，然后画图;仅有1位教师对此内容进行了一定的分析，并提到了“由数想形”这个名词.

笔者翻阅了教师用书中关于本节课的内容，其中提到，由于反比例函数的图象是曲线型的，又分为两支，对此学生第一次接触有一定的难度，因此需要分多个层次来探究：（1）由数想形;（2）描点画图;（3）计算机辅助. 上面的思考活动，实际上就是第一个层次，即由数想形. 笔者不禁思考：为什么参赛的大部分教师会忽视这个环节？或是调整教学顺序？这个环节到底需不需要？它的教学价值体现在哪里？如果需要，在教学中应该如何进行这个环节的教学呢？

二、“由数想形”缺失的理性分析

1. 教材理解的粗浅

一方面，之前版本的教材在探究反比例函数图象时，采用的是通过列表、描点、连线步骤直接画图，在现行版本的教材中，增加了“思考”环节，也就是由数想形，教材的变化并没有引起教师的足够重视. 另一方面，当前很多学校使用学案、教学案，或者使用课件等进行课堂教学，教师一案在手，教材基本闲置一边. 在备课环节，教师没有认真阅读教材，并分析教材的编写意图. 例如，本节课设计“由数想形”环节的作用是什么？为什么这样设计？教师没有认真思考，因此在教学中就会一带而过. 在平时的教学中不注重阅读、理解教材，在比赛中不重视教材也就可以理解了.

2. 目标制定的偏差

教学目标的定位是教学的基础，它明确了学生学习的具体任务，既使得教学活动有了清晰的方向，又使教学测评有了显性的标准. 明确教学目标是教学质量的保证，它是教学活动的出发点和归宿点. 本节课中，参加教师全部将教学重点定位于探求反比例函数的性质上，其中有6位教师在本节课中归纳总结了反比例函数的性质，甚至有教师设计了利用性质来解题. 因此，在复习了一次函数的画图步骤后，直接进入反比例函数的画图环节，“由数想形”环节则被忽视或简化了. 但是，本节课的教学目标是画出反比例函数的图象，总结归纳反比例函数的性质其实是下一节课的内容.

3. 素养落实的缺位

从“双基”到“四基”，从三维目标到核心素养，教育概念在不断地发展. 但在实际课堂教学中，教师重知识传授、轻学生能力和素养提升的现象仍然屡见不鲜. 教师在备课时，关注较多的仍然是学生知识的学习、题目的训练，而对知识习得背后蕴涵的数学思想方法则关注较少，对学生核心素养的提升则关注更少. 核心素养水平的达成不是一蹴而就的，而是渗透在每个单元、每个课时、每个环节的教学中. 因此，要思考核心素养在课堂教学中的孕育点和生长点. “由数想形”环节涉及直观想象、逻辑推理等素养，如果教师在日常教学中不加以关注，那么学生核心素养的发展就是空中楼阁、镜花水月.

三、“由数想形”课堂教学实践

基于以上分析，笔者在执教这节课时，对于“由数想形”这个环节进行了如下教学设计.

问题1：同学们，上节课我们学习了反比例函数的定义，类比一次函数的学习过程，你认为我们接下来要研究什么呢？

【设计意图】通过引导学生回忆一次函数的学习过程，发展学生类比的数学思想，帮助学生形成函数研究的一般思路和方法，即“定义—图象—性质—应用”.

现实教学反馈：学生回答还要研究函数的图象及性质，进而学习函数的应用. 教师板书课题：反比例函数的图形和性质（1）.

问题2：画函数图象的一般步骤是什么？对于一个陌生的函数，在画图象之前，我们要思考函数的一般特征是什么？该从哪些方面来思考？

【设计意图】学生熟悉一次函数的图象，但是反比例函数的图象与一次函数的图象有所不同，所以讓学生由函数表达式精确找出图象的特征，引入了“由数想形”.

现实教学反馈：学生能够很快回忆起画一次函数图象的步骤，即“列表—描点—连线”. 在教师的追问下，学生知道函数图象与函数解析式是紧密联系的，要画图象，可以先从研究函数的解析式着手.

问题3：我们先看反比例函数[y=6x，] 对于函数，我们首先要思考自变量与函数的取值范围. 自变量x的取值范围是什么？函数值[y]的取值范围是什么？

【设计意图】引导学生观察函数的解析式，让学生知道，要研究函数，先要研究自变量与函数值的取值范围. 同时，由自变量与函数的取值范围，过渡到在平面直角坐标系中体现图象，初步建立解析式与图象之间的联系.

现实教学反馈：自变量[x]在分母上，所以[x≠0，] 同样[y≠0].

追问：[x≠0，y≠0]在图象上怎么体现？

有些学生认为图象不经过坐标原点，有些学生考虑到[x]轴上点的纵坐标等于0，[y]轴上点的横坐标等于0，所以这个函数的图象与[x]轴、[y]轴没有交点. 通过小组合作，学生能够自行解决这个问题.

教师板书下述内容.

反比例函数：[y=6x.]

自变量、函数值：[x≠0，y≠0.]

坐标：[x，y.]

图象：与[x]轴、[y]轴没有交点.

问题4：学习一次函数图象时，我们知道图象所经过的象限与[k和b]的符号有关，观察反比例函数[y=6x]的表达式，你认为[k=6]与自变量[x]和函数值[y]的符号有什么关系？在图象上怎么体现？

【设计意图】通过进一步类比，引导学生思考[k]的取值与[x，y]的符号的关系，再次帮助学生建立函数解析式与图象之间的联系.

现实教学反馈：反比例函数[y=6x]的表达式可以写为[xy=6.] 学生很快得出[x，y]取值的符号是相同的，并能得到图象分布在第一、三象限. 教师进一步追问[k=-6]时的图象分布情况. 并整理内容如表1所示.

问题5：结合上面的分析，思考反比例函数[y=6x]的图象是一支还是两支？

【设计意图】考虑图象所在的象限，对反比例函数图象有初步的感知，知道反比例函数的图象与一次函数的图象是不同的.

现实教学反馈：学生回答反比例函数[y=6x]的图象在第一、三象限，且与[x]轴、[y]轴没有交点，应该是两支，不是连续的.

问题6：在一次函数图象与性质的学习中，我们还研究了函数的增减性，反比例函数的增减性如何呢？以[y=6x]为例，刚才分析了反比例函数的图象是两支，我们分为[x>0]和[x<0]两种情形. 当[x>0]时，随着[x]的增大（减小），[y]怎样变化？当[x<0]时，随着[x]的增大（减小），[y]怎样变化？它的增减性在图象上是如何体现的呢？

【设计意图】第三次类比一次函数的学习，让学生知道函数的增减性是函数研究的重要方面. 同时，在增减性的学习中，让学生感知合情推理与演绎推理是数学学习的两种重要推理方法，着重培养学生代数推理的能力.

现实教学反馈：学生首先取特殊值代入，如当[x]取[1，2，3]时，对应的[y]值分别为[6，3，2;] 当[x]取[-3，-2，][-1]时，对应的[y值分别为-2，-3，-6.] 得到结论.

追问1：能否通过数学推理的方法来验证这个结论？

学生通过小组合作解决问题，部分小组考虑到设[Ax1，y1，Bx2，y2]在反比例函数图象上，当[x1>x2>0]时，[y1-y2=6x1-6x2=6x2-x1x1x2<0，] 即[y1<y2.] 因此，当[x>0]时，[y]随[x]的增大而减小;[y]随[x]的减小而增大. 同理可得，当[x<0]时，[y]随[x]的增大而减小;[y]随[x]的减小而增大.

追问2：反比例函数的增减性在图象上如何体现？

学生回答：在第一、三象限内，从左向右看函数[y=6x]的图象是下降的.

师生整理内容如表2所示.

问题7：反比例函数的图象在第一、三象限，且从左向右看是下降的，它可能是两条直线吗？

【设计意图】再次帮助学生感知反比例函数的图象，为画图象打下基础.

现实教学反馈：学生思考得到两支图象不可能是直线，并且在每个象限内从左向右看是下降的，有可能是两条曲线.

问题8：下面我们通过“列表、描点、连线”来精确画出反比例函数的图象. 大家在脑中想象的图象与实际图象是不是一致的？

四、基于“由数想形”的教学思考

1. 在“由数想形”的过程中，发展学生的直观想象素养

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式，特别是图形，理解和解决数学问题的素养. 数形结合是直观想象素養的主要表现之一. 在实际教学中，学生对于数形结合的应用往往不够灵活，不能够建立数学对象之间的联系. 究其原因，是因为学生未能建立数与形之间的有效连接，未能形成数与形的思维链. 例如，本节课教师如果直接通过列表、描点、连线让学生画出反比例函数的图象，或者单纯地将三个问题抛给学生，看似通过解析式画出了函数图象，建立了数与形的联系，但实际上数还是数，形还是形，并没有建立数与形本质上的关联，学生学习新的函数又是一头雾水. 对数学问题只有浅层理解，无法形成数学方法.

在教学实践中，笔者紧紧抓住了解析式、自变量与函数值、坐标、图象之间的关联，由解析式逐渐过渡到函数图象，并通过自变量与函数的取值范围、自变量与函数的取值符号，以及函数的增减性三个问题不断进行强化，帮助学生在脑中形成清晰的数与形的联系，今后学生再看到解析式时，就能够很快想到它对应的图形，要解决函数问题时，不仅可以通过函数解析式进行解决，也可以通过函数图象来解决，这样才能真正建立数与形的关联，有效发展学生的直观想象素养.

2. 在“由数想形”的过程中，培养学生代数推理的关键能力

说到推理，大家的第一反应就是常说的几何推理，初中数学对于形式化的几何推理强调较多，认为代数推理更多的是在高中数学教学中得到体现. 几何推理主要关注图形位置与数量关系的转化，具有直观性，而代数推理则侧重数与式的变化，具有一定的抽象性，学生往往不感兴趣，大家对代数推理的重视程度不够，更多停留在代数运算层面.《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了利用数量关系和符号进行推理教学的要求，教材中也提供了这样的素材. 例如，本节课中“由数想形”的环节，教师引导学生由反比例函数的解析式思考自变量与函数取值范围，自变量与函数值的符号问题，这些过程包含了代数推理. 特别是在函数增减性讨论的问题中，先是学生通过合情推理得到了结论，然后教师引导学生通过演绎推理来进行验证. 在教学实践中，学生很容易想到用特殊值来判定增减性，对于用代数推理方法进行验证出现了困难，但这样的过程恰好是培养和发展学生代数推理能力的大好时机. 如果教师在教学中因为学生的学习障碍而忽视这些环节，学生的代数推理能力就不会得到提升. 初中阶段没有加强这方面的训练，到了对代数推理要求较高的高中阶段，学生就会出现学习上的障碍. 思维的发展是一个长期的过程，我们要抓住恰当的时机，选取合适的素材进行代数推理教学，将代数推理提升到应有的高度，并落实在日常教学之中.

3. 在“由数想形”的过程中，奠定高中函数图象研究方法的基础

学生经过前面的学习已经掌握了如何画一次函数的图象，并总结了列表、描点、连线的画图步骤. 在反比例函数图象的研究过程中，如果我们让学生再一次经历用列表、描点、连线的方法来画出函数图象，这只是技术层面的一般重复，但不同的函数在具体操作环节上有许多细节上的区别. 例如，在“列表”环节，就涉及自变量的取值问题. 在连线环节，问题就更多了. 如果让学生自己去操作，则会错误百出，而如果教师直接示范，学生虽然能够画出图象，但在以后画其他函数图象时，仍然无法操作. 反之，如果让学生在画图前对函数图象有一个大致的感知，然后再通过列表、描点、连线把图象精致地画出来，最后让学生对比其与预测的大致图象的“一致性”，让学生体验成功和快乐. 这种“大致—精致—一致”的研究函数图象的过程，也是后续研究其他函数图象的过程. 学好反比例函数图象的画法，将会为学生高中阶段的函数图象研究奠定坚实的方法基础.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]钱德春. 关于初中代数推理的理解与教学思考（续）[J]. 中学数学教学参考（中旬），2020（5）：23-25.

[3]卜以楼.大致  精致  一致：“反比例函数的图象”教学分析及思考[J].中学数学教学参考（中旬），2014（6）：6-8.