利用数学史促进数学概念建构教学的实践与思考

薛莺

摘  要：数学史在数学概念建构教学中具有重要价值. 现实教学中，利用数学史促进数学概念建构常常表现为附加式教学，教学效果一般. 文章以融入式、拓展式和解读式分别阐述了代数、几何和概率三个领域的数学概念建构教学，指出了数学史在数学概念建构教学中的重要价值和作用.

关键词：数学史;概念学习;教学策略

一、问题的提出

數学史中蕴含数学概念的形成、数学思想的来历、数学方法的应用、数学定理和公式的审美内涵、数学家的思维方法和科学与人文精神等元素. 从数学概念的建构过程来看，数学史不仅能再现数学概念诞生的背景及其发展、完善的过程，帮助学生建构数学概念、理解数学概念，而且能改变学生的数学观，丰富学生的知识储备，培养学生坚持真理、不懈探究、提出问题和追求创新的学习品质，从而提升他们的数学素养. 因此，加强运用数学史促进学生数学概念建构的教学研究尤为重要. 在教学中，很多一线教师将数学史融入数学概念教学时简单化、形式化，表现为故事讲述、材料阅读和视频观看等附加式的教学方式，教学效果一般. 下面，笔者就结合自己的教学实践，从数与代数、图形与几何、概率与统计三个初中数学的重要板块，来谈一谈自己在多元数学史形式下数学概念教学中的一些做法，以及理解.

二、数学史关照下的概念建构教学案例展示和效能分析

美国著名数学家和数学史家克莱因认为，数学史是数学教学的指南. 数学的根源深扎在过去，如果我们不去追溯古今数学思维的演变及进化，不了解一些数学史，就难以理解数学何以成为现在的样子，只会片面地认为数学就是单纯的知识和技巧的堆砌，是单纯的逻辑推导的一个完整体系.

1. 以融入式解读历史事实，感知代数概念的本质

一般概念的形成是从感知到认知再到同化的过程. 因此，在代数概念教学中，教师可以在把握学生现有认知结构状况的基础上，巧妙借助解读数学史，实现代数概念从感知到认知再到同化的过程，从而有助于学生更好地建构代数概念.

案例1：无理数概念的引入.

（1）自主探究，引发认知冲突.

情境问题：利用两个如图1所示的边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，得到了如图2所示的大正方形.

① 设大正方形的边长为[a]，则[a]满足什么条件？

② [a]有可能是整数吗？说说你的理由.

③ [a]有可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流.

师生活动：教师鼓励学生进行充分的思考、交流，并适时给予引导，探讨得到：因为[12=1，22=4，][22=4，32=9，]…随着正整数的增大，其平方数越来越大，所以a不可能是整数;因为[122=14， 232=49，][342=916，…]其结果都为分数，所以[a]不可能是分数. 由此得出结论：在等式[a2=2]中，[a]既不是整数，也不是分数，所以[a]不是有理数.

（2）融入历史，了解知识成因.

师生活动：首先，教师简要介绍数学史：古希腊伟大的数学家希帕索斯发现“另类数”的存在，推动数学向前发展了一大步，由此引发了数学史上的第一次危机，以及“无理数”名字的由来. 其次，为学生介绍无理数和第一次数学危机的相关内容，推荐学生阅读《数学悖论与三次数学危机》等书籍，让学生在课后阅读相关数学史内容. 最后，根据以上的探究和教师介绍的数学史，让学生给无理数下定义.

（3）对比辨析，明确概念本质.

师生活动：首先，教师引出无理数的概念，以及相关历史典故——希帕索斯发现有些数无法表示成两个整数之比，这就是我们今天要学习的无理数. 教材中也给出了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 其次，引导学生对比、辨析今天研究的数与希帕索斯发现的“另类数”的区别. 学生进行辨析说明，得出结论：有理数都可以表示成分数形式，最终都可以表示成有限小数或者是无限循环小数，因此无限不循环小数就不是有理数，我们称之为“无理数”. 最后，教师点明概念本质——在无理数定义中要注意“无限”“不循环”“小数”三者缺一不可. [2，π]都是无理数.

【分析与感悟】对学生来说，无理数是一个抽象而又全新的概念. 虽然新概念容易激发学生的求知欲，但是如果教师不加以理解地强行灌输，教学效果可想而知. 在上述教学过程中，教师将历史典故融入教学，让学生经历无理数概念的形成过程，从而让学生更好地理解无理数概念的本质. 而介绍历史典故的重点在于将其融入教学，通过历史典故要解决以下三个问题. 首先，在教师的引导下，让学生合理地重走数学家发现概念的历史过程是使学生感受引入无理数必要性的重要途径. 了解历史只是让学生认识到人类早就对无理数产生了认知冲突. 其次，要讲清无理数的特点，而不是简单地给出一个概念，要为接下来对无理数概念的辨析做好有效的铺垫. 最后，不是简单说明[2]不是有理数就结束了，而是要求学生会使用类似的探究方法，来说明[π， 2]等都是无理数，从而培养学生的数学素养.

2. 以拓展式挖掘历史资料，体会几何概念的内涵

几何学有着悠久的历史和丰富的文化内涵，它是数学发展史中一颗璀璨的明珠，充满着无限的魅力. 几何学有其自身的特点，它不仅涉及数，更涉及形. 因此，在几何概念教学中，教师往往可以借助进一步挖掘数学史，在培养学生直观思维的同时，让学生体验从无意识几何到实验几何再到推理几何的演变过程，从而理清空间和图形知识发展的脉络.

案例2：平行概念的引入.

（1）图片引入.

师生活动：教师出示三张生活中的图片（电梯、火车、黑板，图略），让学生自主观察，接着教师引导学生观察电梯两侧的扶手、火车的轨道、黑板的上下边框和左右边框，学生自然得出平行.

（2）文化渗透.

师生活动：首先，教师介绍有关平行概念的数学史：在漫长的平行理论的逻辑发展过程中，由于没有平行的概念曾给古代希腊人的工作和生活带来了很大的麻烦. 直到数学家欧几里得给出了平行的明确概念，人们对平行才有了更全面地认识和深入地了解.

其次，教师让学生结合自己的认知给平行线下定义，师生共同进行完善. 展示欧几里得对平行线的定义. 从而通过设置认知冲突，帮助学生了解平行的前世今生，进而探究平行概念的文化内涵.

最后，教师简要介绍数学家欧几里得对数学发展做出巨大贡献，著名的平行公理发现过程中所遇到的困难，以及兰伯特的《平行线理论》《几何学基本原理》使平行公理得到普及.

（3）符号演变.

师生活动：教师简要介绍平行线符号的演变过程，1685年英国人卡斯韦尔才最终确定了现在我们用的平行符号，即用“∥”來表示平行，学生讨论使用符号的优势.

【分析与感悟】在这一教学过程中，教师没有照搬教材内容，而是选择合理挖掘历史资料，进行加工和演绎，使得平行概念的引入处处渗透着数学史的味道，学生也更容易理解和接受. 在介绍发现平行线的背景时，教师展现了一段波澜壮阔的历史长河，让学生对“平行”概念的发现背景有了更深刻地理解;在定义平行时，再一次展现了数学家的伟大，以及几何学发展的艰辛和不易. 在整个教学过程中，教师从学生已有的认知出发，引导学生从生活中感知，经历平行概念不断完善的过程，再通过对数学史的挖掘，使学生了解平行概念的确定是几代数学家不断奋斗的成果. 这种先从静态的生活图片观察，再上升至动态的认知建构演绎，也体现了数学研究的一般方法. 同时，数学史的融入，让学生感受到了在历史中不同文化对数学的贡献，不仅有助于数学知识的学习，也是对学生的一种文化熏陶.

3. 以解读式介绍历史典故，拓展概率概念的外延

概率统计知识的应用十分广泛，与日常生活、科学研究、生产活动都有着紧密的联系. 在概率统计的概念教学中，教师适时给学生介绍一些数学史既可以让学生从这些历史典故中了解概率统计知识与方法产生的历史背景，体会其中的数学思想和方法，又可以帮助学生理解数学知识之间的联系，丰富学生的知识面，拓宽学生的视野.

案例3：概率概念的引入.

（1）生活情境引入.

师生活动：教师给学生一枚硬币，让学生抛掷，学生顺利得到只有正面朝上和反面朝上两种可能性.

教师抛出问题：这两种可能性哪个更大一些？学生进行思考，教师引导学生发现事件发生的可能性不同. 从而自然引出事件发生的概率的定义.

（2）历史典故介绍.

师生活动：教师展示历史典故——梅雷问题. 十七世纪中叶，法国有一位公子梅雷和一位贵族玩了一个游戏，他们各自拿出32枚金币，双方约定：抛1枚金币，正面朝上，梅雷得1分，反面朝上，贵族得1分，先积满10分者赢得全部64枚金币. 玩了一段时间后，梅雷得8分，贵族得7分. 这时梅雷接到通知，要他马上陪国王接见外宾，游戏只好中断. 现在应该怎样分配这64枚金币才算公平合理？梅雷为了这个问题很是苦恼.

首先，教师让学生进行思考、交流，部分学生认为，后面的游戏没有实际进行，结果随机，所以结果无法预料.

其次，教师引导学生结合之前抛硬币的体验，尝试列出后续输赢的如下7种可能情况.

情况1：连玩两局都是梅雷赢，游戏结束，梅雷获胜.

情况2：连玩两局梅雷一赢一输（一输一赢），再玩一局梅雷赢，游戏结束，梅雷获胜.

情况3：连玩两局梅雷一赢一输（一输一赢），再玩一局梅雷输，再玩一局梅雷赢，游戏结束，梅雷获胜.

情况4：连玩两局梅雷一赢一输（一输一赢），再玩一局梅雷输，再玩一局梅雷输，游戏结束，贵族获胜.

情况5：连玩两局都是梅雷输，再玩一局梅雷输，游戏结束，贵族获胜.

情况6：连玩两局都是梅雷输，再玩一局梅雷赢，再玩一局梅雷赢，游戏结束，梅雷获胜.

情况7：连玩两局都是梅雷输，再玩一局梅雷赢，再玩一局梅雷输，游戏结束，贵族获胜.

最后，教师告知学生，根据上述初步的分析，我们可以发现梅雷和贵族获胜的可能性是不一样的，而当时法国著名的数学家与物理学家帕斯卡和法国数学家费马通过共同探讨研究，才使问题得到彻底的解决，并引导学生课后去查阅“梅雷问题”的相关资料，了解分配方案.

（3）生活运用拓展.

师生活动：首先，教师结合上述情境，适时对学生进行引导，其实，游戏中有许多值得我们研究的数学知识，而且这些知识我们在生活中经常遇到并应用，因此产生了数学另外一个重要分支——概率.

接着，教师进行知识拓展——其实生活中这类问题很多，如保险金等，为了解决这类问题，人们对不确定的现象进行了大量的研究，从而推动了概率论的发展.

【分析与感悟】通过引入抛硬币的生活情境，学生对概率的概念特征有所了解，这也凸显了概率具有可计算性的优势. 但是学生对概率的概念仅处于了解的浅层次认知上，要想加深学生对概率概念的理解，就必须将概率概念的学习和生活现象有机联系起来，让学生体会到概率的实用性，以及数学知识之间广泛的关联性. 同时，拓展概率的研究对象向现实生活延伸，使得对概率的研究更具有普遍性. 这样的教学不仅可以让概率的概念自然地孕育而生，也有助于学生对概率概念的外延产生更加科学和合理的理解.

三、概念建构中数学史料的教学价值

列宁曾说，一种科学的历史是那门科学最宝贵的一部分，科学只能给我们知识，而历史却能给我们以智慧. 数学的发展历史是人类理想和智慧的体现，反映了人类从粗浅走向智慧、从蒙昧走向文明、从不完善走向完善的历程. 笔者将从以下三方面谈一谈将数学史渗透到数学概念建构教学的作用.

1. 基于数学史中的概念建构教学，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探索精神

数学既是创造的，也是发现的，大到这门学科本身，小到一个个定义、定理、数学符号，它们总是在一定的文化历史背景下出于某一种思考而产生、发展起来的. 案例1中无理数的发现，是数学史上第一次数学危机，让学生认识到不仅是他们会有犯错的时候，原来数学家也会. 不惧怕数学，从错误中寻找突破、从矛盾中寻找发现，不断探索，这正是我们要向历史学习的地方. 在案例2中，通过对数学史的解读，让学生感受平行不仅是教材中的符号，而是生活中的点点滴滴，必然引发学生的兴趣，促进学生思考. 案例3中“梅雷问题”的提出，让学生疑惑，激发了他们的学习兴趣. 新课改形势下，在课堂中适时、适当地引入数学史，可以消除学生对数学的恐惧感和距离感，使学生明白数学的生动有趣，有利于激发学生对学习数学的兴趣，培养学生不断探索的精神.

2. 基于数学史的概念建构教学，直观展示概念形成的过程，深化学生对概念的理解

数学史中既有知识结论，又记录了数学知识形成的思维过程、活动，以及数学的发展、进步等. 在概念教学中引入数学史，再现概念的形成过程，让学生亲历数学概念形成的源与泉，帮助学生理解数学概念的教学内容，感受数学思想的熏陶和方法的冶炼. 例如，在讲解“无理数”概念时，要讲清楚为何引入无理数比如何定义无理数要更加困难. 因此，教师有必要介绍无理数产生的历史原因：一是来自生活实践的需要;二是数学研究的需要. 再如，在实际生活中现有数不能表示，才产生了负数，复数的产生是由于方程[x2=-1]没有实数解等. 这些历史典故的引入，让学生明白了数学中的一些符号、概念是如何而来的，看到了它们的功能，感悟到一个符号或一类数的产生是自然客观的需求和人类进步的产物，体会到人类的高明之处就在于创造. 当一个问题看来不可能时，人们可以创造一些新的字符或形式，来表达新的概念或观点，从而引导学生对数学概念进行正确的理解和认识.

3. 基于数学史的概念建构教学，培养学生学科文化的素养，加强历史的熏陶

一直以来，我们都重视数学的运用，而忽视了数学的文化教育. 在课堂上重视挖掘数学的文化内涵，是数学史走进课堂的又一重大作用. 教师可以结合数学家们的爱国事迹向学生进行爱国主义教育. 例如，世界著名数学家陈省身放弃国外优厚物质条件，回国献身科学事业的故事;华罗庚等许多著名数学家不为金钱的诱惑，冲破重重困难，陆续回到祖国，为祖国数学事业的发展贡献自己毕生的精力. 再如，希帕索斯不畏时速为坚持真理的故事. 我们要珍惜这些科学成果，努力学习好数学;学习上要敢于提出疑问，对知识要热爱执着，我们才会取得不断进步. 真理是扑不灭的，我们要相信科学、热爱科学. 也可以从不同国度、不同民族，不同时代人们对问题的理解方式进行比较，如勾股定理的比较研究，开阔学生的解题思路，并比较优劣，引导学生体会数学思维的真谛. 培养学生的爱国主义情怀. 从历史的角度看数学，培养学生的文化素养.

参考文献：

[1]孟梦，李铁安.“问题化”：数学“史学形态”转化为“教育形态”的实践路径[J]. 数学教育学报，2018，27（3）：72-75.