学材再建构：基于生本理念的整体建构

施俊进

摘  要：学材再建构就是师生从教学目标、内容、过程、资源等方面共同对初中数学教学进行整体建构，促进学生自主搭建深入学习的支架，内化生成有序的知识结构、能力结构、思维结构和习惯结构. 基于学生，从整体上把握教学内容、调控教学过程，让学生积极、主动、深刻地学习，使学习成为学生自己的事.

关键词：整体建构;数学本质;以学定教

在一次研讨活动中，笔者受邀执教“二次函数的图象和性质”一课. 考虑到学生基础和注重数学知识的结构和体系等，笔者以系统论的整体性原理为理论依据，合理重组教材，从知识内容的整体上进行学材再建构，即整体建构二次函数的内容并以适切的方式呈现了苏科版《义务教育教科书·数学》九年级下册（以下统称“苏科版教材”）“5.1 二次函数”“5.2 二次函数的图象和性质”的相关内容. 现将整体建构的设计思路、学材的呈现过程和实践反思体会等整理成文，与同行共同交流探讨.

一、基于学生整体建构

在以往的“二次函数”教学中，教师常常把二次函数作为孤立的学习内容，按照教材编排，一课时一课时地进行教学，这样做的优点是能够有效分散难点，促进学生的水平呈螺旋式上升、逐步提高. 但弊端也是显而易见的，即忽视了知识的生长点与延伸点，忽视了学生知识系统和经验系统的优化与再建构.

二次函数相关内容的学习，是建立在学生已经学习过的一次函数、整式方程（尤其是一元二次方程）的基础上的. 特别地，经历了一次函数研究过程的学生，已经掌握了一次函数的基本内容，初步积累了研究一次函数的一般方法，建立了函数研究的经验系统.

考虑到学生已有的知识经验，以及可能达到的深度和高度，引导学生将函数进行关联、类比，将一次函数研究的经验系统迁移到对二次函数的研究中，由研究对象、路径、方法等，引导学生对“二次函数”整章教学内容进行整体建构和单元规划如下.

将整章教学内容分为三个教学大单元：二次函数及其图象和性质、二次函数与一元二次方程、实际问题和二次函数. 考虑到学生的已有知识经验及整体实现发展数学学科核心素养的目标，可以将每个教学大单元分解为若干个教学小单元. 例如，对于教学大单元“二次函数及其图象和性质”，根据学生的认知规律和一般接受能力，将其分解划分为“二次函数、二次函数[y=ax2]的图象和性质”“抛物线[y=ax2]的平移”（即二次函数[y=ax-h2+k]的图象和性质）“二次函数[y=ax2+bx+c]的图象和性质”这三个教学小单元. 而每个教学小单元可以利用一课时完成，也可以多课时完成，具体视学生的接受情况而定.

苏科版教材将二次函数定义和二次函数的图象及其性质分为两小节——二次函数、二次函数的图象和性质（1）. 第一小节专门研究定义，第二小节研究的图象和性质. 在研究图象、性质的过程中采用传统“列表、描点、连线、观察、归纳”的方式. 笔者将苏科版教材中的“5.1 二次函数”“5.2 二次函数的图象和性质”两小节内容合二为一，作为一个教学单元，采用单元教学. 这样通过充分类比一次函数定义研究二次函数定义，节约了研究时间;在研究二次函数的图象、性质时，在深刻理解函数图象及性质的本质，并掌握了研究方法的前提下，研究进程大幅度加快，学习效率倍增. 同时，突出充分教学“函数图象和性质”的中心任务（进一步理解并掌握研究函数的基本套路：函数的基本内容、研究函数的一般方法）. 为此，根据以下教学目标，先将教材转化为教师的教材（教师独立建构），通过课堂“师生共建、学生独立建构、教师再建构”，变教程为学程，引领学生积极、主动、深刻地学习，从而将教师的教材转化为学生的学材，让学习成为学生自己的事.

本节课教学目标设置如下.

（1）在具体情境中自主建构二次函数的定义.

（2）按照函数的一般研究方法，自主探究二次函数[y=ax2]的图象和性质，建立式、数、形之间的内在联系.

（3）自主迁移联想抛物线[y=ax2]平移的方法，引发学生自主学习抛物线平移法则的积极性.

二、学材呈现过程

1. 自主迁移建构

（1）共同回顾：一次函数解析式及其图象特征.

（2）定义构建：由一次函数的定义，迁移建构二次函數的定义——二次函数就是用自变量的二次式表示的函数，即形如[y=ax2+bx+c a≠0]的函数叫做二次函数.

【设计意图】建构概念的常规套路是：引导学生由多个具体的例子归纳概括一个定义的过程，即先让学生列出几个实际问题中的函数解析式，再观察共同点，最后归纳定义. 教学中没有按照常规套路，而是引导学生充分通过类比迁移进行理性推理，深刻认识二次函数的本质属性，同时通过分析二次函数[y=ax2+][bx+c]中常数a，b，c的取值范围，为发现研究二次函数应从研究[y=x2]开始做准备. 这样提炼、归纳得到的知识是深刻且牢固的，有利于学生形成有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神.

2. 自主探究函数[y=x2]的图象和性质

（1）由“式”分析并预测“形”：由解析式特征分析自变量和函数的取值范围（自变量为一切实数时，函数值都为非负数），预测函数[y=x2]的图象的特点.

（2）由“数”验证上面的预测，再次预测其他“形”：① 列表时，考虑表中数据的取值（自变量如何取值）及其原因;② 根据计算结果，直接验证预测的正确性，并根据表中数据的其他特征，进一步预测函数[y=x2]的图象的其他特征.

（3）描点验证：由学生自主在直角坐标系中描点连线（强调：从左往右顺次描点、连线），在验证以上预测的基础上进一步预测.

（4）概括二次函数[y=x2]的图象和性质.

3. 合作探究函数[y=ax2]的图象和性质

（1）分别由式、数、形分析函数[y=2x2，y=12x2]与[y=x2]的图象及其性质的一致性;由此概括函数[y=ax2 a>0]的图象和性质.

引领学生对“当自变量取同一个数值时，三个函数值之间的关系”“在同一个平面直角坐标系中，观察作出的三个函数的图象的共同点”进行思考，同时确定影响抛物线开口大小的因素.

（2）探究二次函数[y=ax2 a<0]的图象和性质. 在学生独立思考尝试的基础上小组合作，通过以下两种方法归纳二次函数[y=ax2 a<0]的图象和性质.

方法1：类似以上的探究过程;方法2：根据函数[y=-x2]和[y=x2]的关系，得到函数[y=-x2]的图象和性质，由此归纳二次函数[y=ax2 a<0]的图象和性质.

【设计意图】在探究二次函数图象及其性质的过程中，先增加研究“式”（解析式）的环节，分析“式”得出“数”（自变量和函数值的范围）;在此基础上预测“形”（图象的位置、变化趋势等）的特点，然后再用“列表—描点—连线—观察—归纳”的方法画出图象，最后得出结论. 这种研究方法把重点放在强化数形结合思想、抓住核心概念上，使学生的理解由机械模仿、不求甚解转变为主动探索、深刻领悟;学生在深刻理解函数图象及性质的本质，并掌握了研究方法的前提下，加快了研究进程，提高了学习效率. 显然，注重知识的结构和体系，有利于学生从整体上把握知识内涵. 当然，这样的过程尤其突出研究方法的引导，引导学生通过类比的方法自主研究，并通过问题引领学生积极思考，养成良好的思维习惯.

4. 问题引领，自主反思

问题：我们研究了关于二次函数[y=ax2]的哪些内容？是如何研究的？

追问：根据以往学习函数的经验，后面我们将继续研究关于二次函数[y=ax2]的哪些内容？如何去研究？

研究二次函数[y=ax2]的实际应用;利用二次函数[y=ax2]的性质解决一些综合问题;研究二次函数[y=ax2]的图象的平移，及平移前后的抛物线解析式之间的联系与区别……

【设计意图】通过问题引领学生反思研究过程，在学生自主回顾的基础上，师生共同总结研究函数和研究问题的一般过程与方法. 不仅立足于学生的知识获得、技能形成，更在于能力发展、思维优化和习惯养成等. 通过追问，促进学生迁移类比，提升思维含量，激发学习积极性，促进了数学学科核心素养的提升.

整体板书设计如图1所示.

三、教学思考

1. 学材再建构必须基于数学本质，形成对学材重构的理性解读

学材再建构，以皮亚杰的结构主义为理论依据，师生从教学目标、内容、过程、资源等方面共同对初中数学教学进行整体建构，促进学生自主搭建深入学习的支架，内化生成有序的知识结构、能力结构、思维结构和习惯结构. 这样的学材再建构必须依据数学本有的整体、结构、逻辑等特点，帮助学生从整体上把握知识结构，并在结构中进行教与学，理解知识之间的内在联系和发展. 在新授课教学中，学生已经基本掌握了研究函数的基本套路：定义—图象—性质—与方程联系—应用. 在“二次函数”的学习中，可以引领学生通过类似的研究方法，以整体视角，从数形结合的方向继续进行研究. 这样的研究方法与以前的函数研究保持了内容结构的整体性和逻辑的一致性，对研究其他函数同样具有示范作用. 整体建构强调数学知识之间的内部联系，强调教学活动的和谐自然，强调数学思想方法的无缝对接，有利于帮助学生建构并且完善自己的认知结构. 对二次函数内容进行整体建构和单元规划，将相关教学点纳入一个结构或框架中形成模块化体系，学生收获的不仅是知识，更是学习方法、学习方式、数学思想和活动经验. 这样，学生的理性思维、科学精神等都会得到同步发展.

2. 学材再建构必须基于生本理念，建构学材呈现的导学策略

学生是学习的主人、学习是学生自己的事，是生本理念下的学材再建构的追求. 其核心是教学过程中有效问题的导学，让学生有生长的空间和探究的延续. 因此，学材再建构课堂操作中导学问题的设计，要以整体性原则为着眼点，注重数学文本的整体意识，关注学生的长远发展，即以整体视角，从“学”的角度，优化设计“学什么”“怎么学”的导学问题，确立以学定教的思维模型.

（1）新知起点（即新知生长点）问题必须顺应学生原有的认知基础.

从整体视角来看，教材中的每个新知识都是由旧知识生长出来的. 根据学习新知所涉及的原有的知识内容、研究方法，以及新、旧知识之间的关联，即基于学生原有的知识经验、思维水平等设计导学问题，搭建新、旧知识之间的桥梁，以此激发学生原有的知識、经验系统. 二次函数内容的起点是学生已有的一元二次方程和一次函数等相关知识，学生已经具备学习二次函数的知识基础和心理基础，但认识二次函数的定义还存在一定的障碍，知识障碍主要是学生对二次函数的本质的理解.

因此，在引入二次函数定义时，从对一次函数的复习切入进行类比，以旧引新. 通过回顾一次函数定义、解析式及其图象特征等，自然迁移构建二次函数的定义，加强了学生对二次函数本质的理解. 顺应并利用学生已有的一元二次方程、一次函数的基础，有利于学生形成有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神.

（2）新知探究点问题必须顺应知识之间的逻辑关系或内在联系.

新知探究点就是新知的知识结构及新知的生长点与延伸点. 有了一次函数图象和性质及其研究方法的基础，对二次函数相关内容的探究也就容易了许多. 但是导学问题要注重数学思想方法的渗透，以此发展学生的数学能力和数学学科核心素养.

因此，在探究二次函数图象时，没有采用传统的方法，而是先由“式”得到“数”，并预测“形”;再用“数”验证，并再预测“形”;最后用传统的方法得出结论. 这种研究方法把重点放在强化数形结合思想上，便于学生深刻理解函数图象及性质的本质，以及掌握研究方法. 另外，引导学生观察表格中数据的特点，以及坐标系中点的位置特征，根据“关于某条直线对称的点的坐标之间的关系”，得到“抛物线[y=x2]的对称轴是y轴”的结论. 同样，引导学生根据抛物线[y=-x2]和[y=x2]的关系，由二次函数[y=ax2 a>0]的图象和性质得到二次函数[y=ax2 a<0]的图象和性质. 这样的导学问题，顺应了知识本身的逻辑结构，又进一步强化了对称知识及数形结合思想，关注了学生思维的多样性和差异性，激发了学生有方向性的参与兴趣和热情.

（3）新知拓展点问题必须顺应学生的最近发展区.

新知拓展点就是由原有的知识结构迁移类比，构建新知的结构体系及新知的其他生长点. 首先，学生通过教师有效的问题导学，在“式—数—形”之间的不断切换和亲自实践中，感悟数形统一，这也是学生自主内化、评价、迁移、调整和顺应的过程. 通过追问“根据以往学习函数的经验，后面我们将继续研究关于二次函数[y=ax2]的哪些内容？如何去研究？”引领学生自主迁移，学生在潜移默化中学会自主迁移、类比旧知，找到新知的学习内容和学习方法. 在这样的过程中，学生能不断更新已有的知识经验结构体系，学生的思维水平和内驱力等从各自的最近发展区走向“深水区”. 从而真正实现为了学生、基于学生、发展学生的生本理念，建构起学材呈现的有效导学策略，提升思维含量，激发学习积极性，促进数学学科核心素养的提升.

3. 学材再建构必须基于以学定教，唤醒学材研制发掘的专业自觉

一切课程或学习资源都是服从和服务于学生学习与发展的需要的，所有的教材都必须转化成学材，体现以学定教的思维模型. 这就要求教师转变角色定位、行动方式、目标指向，变关注教程为关注学程;变教材为学材，为教与学方式的转变寻找一个可操作的路径;变教学为助学，让学习成为学生自己的事. 这不仅是为了学生，更多的是基于学生. 显然，学材再建构的关键在于转变建构思路，确立以学定教的思维模型（图2）来研制、发掘和呈现学材. 这种学材的执行者是学生，重视的是“学什么”和“如何学”，体现以“学”为主.

在学程实施过程中，为了体现学生的主体地位，必须让学生充分经历实践、体验、内化、表达的过程，真正落实以学定教，使教法为学法服务. 力图实现学材、学程、学法的一体化融合，实现学材、教师、学生的共同发展. 使得学材建构、课堂教学、学生学习的一体化模式，贯穿学材的呈现、课堂教学改革、学生学习指导的全部过程，即学材、学程、学法能有机协调起来，尽可能保持一致. 因此，如何将教师的教材转化为学生的学材，并通过适切的方式呈现学材，从而将学材的可能性变成学生发展的现实性，应该成为教师的专业自觉.

学材再建构就是师生共同对初中数学教学进行整体建构，通过师生共同整体把握教学内容、整体调控教学过程，激发学生数学学习的内驱力，引发学生思考与交流，促进学生理解数学内容的本质，发展学生的数学学科核心素养. 显然，学材再建构的最终目的就是让学生积极、主动、深刻地學习，使学习成为学生自己的事.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]李庾南. 自学·议论·引导教学论[M]. 北京：人民教育出版社，2013.