解三角形中的范围或最值问题

■北京市海淀区法华寺甲5号中央民族大学附属中学 张露梅

解三角形一直是高考数学的必考内容，在解三角形的背景下，设置与边长、角度、周长、面积等相关的取值范围或最值问题，成为十分常见的命题角度，受到命题者的青睐。三角形中的范围或最值问题大致涉及三类：边、角、面积的范围或最值问题。这类问题注重与函数、不等式和几何等知识的交汇融合，其解法主要有两种：一种是化边为角转化为三角函数的最值问题求解；另一种是利用基本不等式求解。下面就这类常考问题加以归类解析，切实帮助同学们进一步理解、解决解三角形中的范围或最值问题，提升同学的解题能力。

一、与边有关的范围问题

例1（安徽省合肥一六八中学2021届高三下学期最后一卷）在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，sinA＝2sinB－2sinC，则边b的取值范围为____。

解析：已知sinA＝2sinB－2sinC，由正弦定理可得a＝2b－2c。

由a＝4，得c＝b－2，则b＞c。

△ABC为钝角三角形，则可能角A为钝角，也可能角B为钝角。

点评：本题利用正弦定理进行边角的互化和利用余弦定理结合角的范围求解三角形的边长范围，解答本题的关键是先分析出c＝b－2，从而得出角A可能为钝角，也可能角B为钝角，再由余弦定理结合能构成三角形的条件得到不等式组，属于中档题。利用正弦定理建立边角关系，把边的范围问题转化为三角函数的区间范围问题，进而转化为在三角形中找一个角（或一条边）作为自变量，确定其范围（利用消元法），转化成解三角形问题，通过三角函数求边长的范围，是通性通法。

二、与角有关的范围问题

例2在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且2bsinA－＝0。

（1）求角B的大小；

（2）求cosA＋cosB＋cosC的取值范围。

点评：处理解三角形中与角有关的范围问题，一般用余弦定理、正弦定理实现边角互化，然后结合题中条件，求出角的某个三角函数值的范围，进而求解角的范围。

三、与面积有关的范围问题

例3（安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期仿真模拟）如图1，某湖有一半径为1km 的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2km 的点A处安装一套监测设备。为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且∠BAC＝90°，AB＝AC。定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”。设∠AOB＝θ。则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为___。

图1

点评：解答本题的关键是将四边形OACB的面积表示为S四边形OACB＝S△OAB＋S△ABC，代入面积公式后化简得三角函数的解析式，再根据三角函数的性质求解最大值。面积问题通常是边长与角问题的综合，解题中既要考虑边的变化，又要考虑相关角的变化，通常是利用面积公式，将其转化为同一类元素，然后利用三角函数的取值范围或者实数的不等关系求解。此类题主要考查正弦、余弦定理和面积公式在解三角形中的应用，但是也会遇到一些借助二次函数求解三角形面积的取值范围问题。