数列问题常见错因及应对策略

■甘肃省嘉峪关市第一中学 卢会玉

数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础。高考中主要考查等差数列、等比数列的基本概念、性质及基本量的运算，突出考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及数列求和的常用方法，重点考查数列an与Sn关系的应用等知识。高考对数列的考查突出基础性，重点考查同学们对数列通性通法的理解与应用，有时也考查综合性较强的数列问题，解题方法灵活多样，技巧性较强。

同学们在平时的学习中，既要关注数列的小题训练，也要关注数列大题的综合练习。下面对同学们解题时存在的常见错误进行剖析，并提出相应的应对策略。

一、存在的问题及原因分析

（一）概念模糊不清

概念模糊不清主要表现在对等差、等比数列的概念及等差中项或等比中项的定义认识不到位。

例1已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an，设bn＝。

（1）求b1，b2，b3的值；

（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

（3）求数列{an}的通项公式。

解析：（1）由条件可得an＋1＝

将n＝1代入，得a2＝4a1，则a2＝4；

将n＝2代入，得a3＝3a2，则a3＝12。

从而b1＝1，b2＝2，b3＝4。

（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列。

点评：本题难度不大，但同学们的答题情况仍不理想，尤其是第二问，大家对等比数列的概念不清晰，不能顺利地将已知结构式与待证式之间建立联系，致使推证错误。第二问以递推式nan＋1＝2（n＋1）an为载体，判断数列｛bn｝是否为等比数列，其实就是判断是否为定值。判断（证明）数列｛an｝为等差或等比数列是高考的热点，解决这类问题的关键是理解等差或等比数列的定义，从给出的结构式中，推断an＋1－an或是否为定值。

（二）运算能力不佳

在数列专题中，常常出现求数列某一项am、基本量（a1，n，d，q）、通项公式an及前n项和Sn等计算问题。在计算过程中，不少同学往往整体代换意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形。导致失分的主要原因，主要包括：①用数列的有关公式和性质求解一些基本量的问题时用错公式或运算错误；②对等比数列前n项和Sn公式的结构特征认识不透，不能用整体的意识去分析和思考问题等（如计算中有时把作为整体，将会使运算更加简便）。

例2等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＋S6＝2S9，求公比q。

解析：假设q＝1，则S3＝3a1，S9＝9a1，S6＝6a1。

又a1≠0，所以9a1≠2×9a1，q≠1。

点评：在利用等比数列前n项和公式解决问题时，部分同学易忽略q＝1的情形。事实上，在等比数列求和时要注意对公比q＝1和q≠1两种情况的讨论，此外当q≠1时，Sn＝，有时可把作为整体进行运算。

（三）问题转化错误

在数学解题中，常常要运用转化与化归思想将问题进行转化，数列问题也不例外。在解数列题中部分同学存在的主要问题是：一是审题不到位，导致解题中设元不合理；二是转化意识不强，没能将已知条件进行恰当地转化，没能将非等差数列、非等比数列转化为等差、等比数列加以解决。

例3已知等比数列{an}前4项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比q。

解析：设前4 个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a4q6＝，且aq＋aq2＝。

则a4q4（1＋q）4＝4，故（1＋q）4＝64q2。

当q＞0时，可得q2－6q＋1＝0，解得q＝3±2。

当q＜0时，可得q2＋10q＋1＝0，解得q＝－5±2。

（四）归纳意识不强

高考中还常遇到以递推关系为载体的数列问题，这对同学们的数学素养要求较高。

例4数列{an}满足an＋1＋（－1）nan＝2n－1，则{an}的前60项和为（ ）。

A.3690 B.3660

C.1845 D.1830

解析：由题设知：a2－a1＝1，①，a3＋a2＝3，②，a4－a3＝5。③

a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，a8－a7＝13，a9＋a8＝15，a10－a9＝17，a11＋a10＝19，a12－a11＝21，…

②－①，得a1＋a3＝2。

③＋②，得a4＋a2＝8。

同理可得a5＋a7＝2，a6＋a8＝24，a9＋a11＝2，a10＋a12＝40，…

所以a1＋a3，a5＋a7，a9＋a11，…，是各项均为2的常数列，a2＋a4，a6＋a8，a10＋a12，…，是首项为8，公差为16的等差数列。

所以{an}的前60 项和为15×2＋15×8＋×16＝1830。

点评：本题主要考查同学们灵活运用数列知识求解数列问题的能力，思维量大，有一定的难度。大家要从研究递推关系入手，推断该数列的结构特点，发现其中所隐含的规律，从而找到解题方向。

（五）项数确定错误

数列是特殊的函数，它的定义域是正整数集或正整数集的子集，解题中要重视项数n的取值范围。

例5几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动。这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数n（n＞100）且该数列的前n项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是（ ）。

A.440 B.330

C.220 D.110

解析：由题意得，数列如下：

1，

1，2，

1，2，4，

…

1，2，4，…，2k－1，

…

则该数列的前1＋2＋…＋k＝k（k＋1）

2项和为：

S＝1＋（1＋2）＋…＋（1＋2＋…＋2k）＝2k＋1－k－2。

因此，k＝2t－3≥14，则t≥5。

此时k＝25－3＝29，对应满足条件的最小整数为n＝＋5＝440，选A。

点评：本题非常巧妙地将实际问题和等差数列、等比数列的求和知识融合在一起。首先需要读懂题意，并观察所给数列的特征，进而判断出该数列的通项并求和，难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且需要判断最后几项是第k段1，2，4，…，2k－1中的前几项，所以项数的确定是正确解决本题的一个重要环节。

（六）对公式an＝的使用不熟练

数列的运算中，除用有关公式和性质求解一些基本量的问题外，an与Sn的关系也是高考考查的热点。

例6已知等差数列{an}的前项和为Sn，且a2＝2，S5＝15。数列{bn}的前n项和Tn满足Tn＝（n＋5）an。

（1）求数列{an}的通项；

解得a1＝d＝1。所以an＝n。

（2）由（1）得an＝n，所以Tn＝n（n＋5）。

当n≥2时，Tn－Tn－1＝n（n＋5）－（n－1）（n＋4）＝2n＋4。

当n＝1时，b1＝T1＝6也满足上式。

所以bn＝2n＋4（n∈N*）。

综上可得，Pn＝－。

点评：有相当一部分同学对公式an＝的理解和掌握不到位，往往是从an＝Sn－Sn－1直接开始计算，会出现遗漏情况。

二、应对策略分析

（1）重视基本量解题意识，厘清知识网络，切实掌握数列的概念与性质。高考对数列考查中选择和填空题主要考查等差数列、等比数列的性质，解答题主要考查等差数列、等比数列的通项与前n项和公式及简单的递推关系（主要是Sn与an的关系）等问题，一般是中档题，注重通性通法。而等差、等比数列常涉及a1，an，n，d（q），Sn五个量和两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组），所以加强应用基本量法解题是一种行之有效且常用的方法。

（2）合理选择运算途径。从多年高考对数列考查的趋势看，两类基本数列基本量的计算、两类基本数列的定义及通项an的求法及数列求和方法等是考查重点。数列中只有合理选择运算方法才能简化运算过程（如，经常要把作为整体代换）。在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种思路：一是利用基本量，将多元问题转化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简捷，目标明确；二是利用等差、等比数列的性质，要有意识地运用等差、等比数列的性质解决数列问题，当然在应用性质解决问题时要注意前提条件，有时还需要进行适当变形。

（3）强化合情推理的训练。数列是按一定次序排列的一列数，这决定了数列解题中离不开规律性和技巧性的探究，故灵活应用合情推理方法解决数列问题就显得尤为重要。

（4）强化求和模型的训练。数列求和是数列的重要内容之一，数列求和问题也是高考的热点问题，各种题型均有出现，大部分数列的求和都需要一定的技巧与方法。解决数列求和问题，需要根据通项的特点，恰当地选择求和方法，从而提高解题速度。