数列通项公式的16种求法

■贵州省遵义地区仁怀市周林高中 尹伟云

数列是高中数学的重要内容之一，也是高考的重点和热点。数列中蕴含丰富的数学思想，具有很强的逻辑性，是考查逻辑推理和转化与化归能力的好素材，因此深受高考命题专家的青睐。本文对数列通项公式的求法作一个比较全面的归纳，希望对同学们的学习有所帮助。

一、观察法

例1将全体正整数排成如下“三角形数阵”：

图1

记数阵中第n行从左至右的第2个数为an（n≥2），则an＝____。

点评：当给出一个数列中的连续几项时，可以观察这几项之间的差异，找到规律，或发现项与项之间的等量关系，通过研究这个关系寻求该数列的通项公式。

二、公式法

例2如图2，64个正数排成8行8列：

图2

点评：利用公式法求通项公式时，首先要找到等差数列或等比数列的位置，其次是分清等差或等比数列的首项与对应的公差或公比。

三、周期法

点评：本题中，an＝an＋4类似于函数关系式f（x＋4）＝f（x），关于数列周期的常见结论有：

①若an＋T＝an，则数列｛an｝的周期是T；

②若an＋T＝，则数列｛an｝的周期是2T；

③若an＋T＝－an，则数列｛an｝的周期是2T；

④若an＋T＝－，则数列｛an｝的周期是2T。

四、累加法

点评：形如an＋1－an＝f（n），且f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（n－1）易于化简，可以考虑使用累加法。其原理是：an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝f（n－1）＋f（n－2）＋…＋f（2）＋f（1）＋a1。

五、累乘法

六、迭代法

点评：迭代法也叫递推法，如果知道连续两项的递推关系求数列的通项公式，可尝试反复利用递推关系迭代求出解。

七、作差法

点评：给出Sn与an或Sn与n的等量关系，可以考虑用已知等量关系得到另一个等量关系，两式作差，利用公式an＝Sn－Sn－1（n≥2）消去Sn，再从项与项的等量关系中探求通项公式，必要时需构造新数列。需要注意的是，应该检测a1是否满足公式。

八、作商法

例8在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋3×2n－1，求数列{an}的通项公式。

九、取倒数法

十、取对数法

十一、待定系数法

例11已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＋an＝3n＋2，则数列{an}的通项公式为_____。

点评：若递推式为an＋1＝pan＋qn＋r（p，q均为非零常数，且p≠1），可设an＋1＋A（n＋1）＋B＝p（an＋An＋B），构造新数列｛an＋An＋B｝，进而解得｛an｝的通项公式。

十二、特征根法

例12求斐波那契数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，21，…的通项公式。

十三、解方程组法

点评：本题是根据两个数列通项之间的两个等量关系式，通过解方程组的方式求得其中一个数列的通项公式。有时在同一个数列的递推式中，也可以构造另一个递推方程，通过解方程组的方式，求得该数列的通项公式。如已知a1＝1，an＋1＝3an＋4n，则由an＋1＝3an＋4n⇒an＋1－3an＝4n＝4·4n－1＝4（an－3an－1），即an＋1－4an＝3（an－4an－1），所以an＋1－4an＝（a2－4a1）·3n－1＝3n，即an＋1－4an＝3n。与an＋1＝3an＋4n联立，消去an＋1，得an＝4n－3n（n＝1时也成立）。

十四、奇偶分析法

点评：数列中与奇偶有关的问题常见四种形式：

①直接型，即已知条件明确奇偶问题；

②an＋1＋an＝f（n）或an＋1·an＝f（n）型；

③含有（－1）n；

④含有a2n－1或a2n。

求解奇偶数列的实质是把原数列分成两个新数列分别进行研究，是分类讨论思想方法的有效运用。

十五、特值法

例15已知数列{an}满足a1＝3，且对任意正整数m，n，均有am＋n＝am＋an＋2mn，求数列{an}的通项公式。

解析：令m＝1，则an＋1＝an＋2n＋3。从而a2＝a1＋2×1＋3，a3＝a2＋2×2＋3，a4＝a3＋2×3＋3，…，an＝an－1＋2×（n－1）＋3（n≥2），整理得an＝a1＋2×3（n－1），即an＝n2＋2n（n＝1时也成立）。

点评：在本题的双变量递推数列问题中，可以给定其中一个变量的值，得到单变量递推关系，从而化为常规递推数列问题求解。

十六、数学归纳法

例16已知数列{an}满足a1＝3，且2（an＋1－1）＝an（an－n），则数列{an}的通项公式是_____。

解析：由题意知，2（an＋1－1）＝an（an－n）。

将n＝1代入，得a2＝4；

将n＝2代入，得a3＝5；

将n＝3代入，得a4＝6；

……

猜想an＝n＋2。

下面用数列归纳法证明。

（1）当n＝1时，a1＝3满足公式an＝n＋2。

（2）假设n＝k时，an＝n＋2成立，即ak＝k＋2。那么当n＝k＋1时，由2（ak＋1－1）＝（k＋1）＋2，即n＝k＋1时也成立。

综合（1）、（2），an＝n＋2 对一切n∈N*都成立。

点评：当递推关系比较复杂或不易发现其规律时，可以考虑使用数学归纳法，即根据递推公式写出数列的前几项，猜想其通项公式，再用数学归纳法进行证明，逐步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式。

科技信息

2021年诺贝尔奖得主及成就

一、诺贝尔生理学或医学奖获奖者：美国戴维·朱利叶斯和美国阿登·帕塔普蒂安。获奖原因：发现温度和触觉感受器。

二、诺贝尔物理学奖获奖者：美国真锅淑郎、德国克劳斯·哈塞尔曼和意大利乔治·帕里西。获奖原因：表彰他们对地球气候的物理建模、量化变化和可靠地预测全球变暖的研究。

三、诺贝尔化学奖获奖者：德国本亚明·利斯特和美国戴维·麦克米伦。获奖原因：表彰他们在不对称有机催化研究方面的进展。

四、诺贝尔文学奖获奖者：坦桑尼亚阿布拉扎克·古尔纳。获奖原因：表彰其对殖民主义影响，以及文化和大陆鸿沟中难民命运的毫不妥协和具有同情心的关注。

五、诺贝尔经济学奖获奖者：美国戴维·卡德、美国乔舒亚·D.安格里斯特和美国吉多·W.因本斯。获奖原因：表彰他们在劳动经济学与实证方法研究领域作出的突出贡献。