教材中一道课后习题的“开枝散叶”

许红沙

摘 要：笔者对北师版九年级上册《正方形的性质与判定》两道课后习题进行分析、变式和总结归纳，旨在教学工作中培养自己钻研教材、潜心分析的能力，以提升教学专业能力。

关键词：教材;北师大版;初中数学;课后习题;变式

数学教科书是数学教师进行教学的重要载体，是师生之间的纽带，教师对教科书的使用水平直接影响着教师教学的质量和学生学习的效果。[1]

一、两道教材母题

【母题1】（第22页第4题）在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考虑道路的宽度）.你有几种方法？（至少三种）

在已有知识基础上，学生能够想到由正方形两条对角线或者正方形对边的中垂线可以达成题目要求。如下图：

题中要求至少给出三种方法，教师要引导学生找出第三種或更多方法。结合上述两种方法，教师可以启发学生找共同点——两条线都过正方形中心且互相垂直，那么任意两条交于正方形中心、互相垂直的直线能否把正方形分成大小、面积相等的四部分？可以让学生尝试进行推理、验证，充分发挥教师主导作用、学生主体作用。本题有助于学生更好地认识正方形对的对称性。

去掉“两条直的小路”条件，分割方法还可一般化：过对称中心与正方形边上一点的任意一条线，绕对称中心按同一方向连续旋转三次，每次旋转90°，这四条线将正方形分成大小、形状完全相同的四部分。

【母题2】（第41页第4题）如图，正方形ABCD对角线交于点O，正方形A`B`C`O与正方形ABCD边长相等。在正方形A`B`C`O绕点O旋转过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有何关系？

在课堂上要给足学生证明这一猜想的时间。结合学生的思维特点，进行相应的引导。

正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的中心在内角的角平分线上，在中心处也有直角的形成（∠AOB=∠BOC =∠COD=∠AOD=90°）。方法一：点O在∠ABC的平分线上，自然联想到角平分线上的点到角两边的距离相等：

方法二：

两题在方法上是共通的。教师在循循善诱、步步深入解决母题1的前提下，母题2的解决就易如反掌;在授课时，也可以先解决母题2的问题，然后弱化条件，提炼本质，带着母题2的启发再去解决母题1的问题。

两题考查的是正方形的性质与判定。母题1放在课后练习中的“问题解决”部分，既是回归生活实际的体现，对学生问题解决能力要求也比较高，母题2放在课后练习中的“联系拓广”，有一定的难度。

两题解决过程渗透了逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

二、母题变式

1.变条件

将“正方形A`B`C`O与正方形ABCD的边长相等”改成

①“等腰直角三角形A`C`O”

②“直角三角形A`C`O”

③“矩形A`B`C`O与矩形ABCD的长宽分别相等”

④“菱形A`B`C`O与菱形ABCD的边长相等”

以上结论是否变化？

一步步弱化条件、探究结论是否变化的过程中，更容易清楚问题的本质。无论是变式①还是变式②，母题2中的全等依然成立，仍可将阴影部分的面积转化为原正方形面积的四分之一。但是变式③和④（题中矩形或菱形非正方形），则显然不成立。也就发现，问题解决的关键是全等，实现面积转化。

三、变化中的“关键”

在母题和变式中，求面积关系、线段关系，又或者是涉及特殊位置、最值问题，可以发现解决问题的关键在于实现量的转化。而量的转化依托的是三角形的全等。所以解决此类问题的关键就是找全等、转化关系。即变式时，减弱条件、结论成立的前提是全等的成立。

参考文献：

[1]吕雅雅. 初中数学教师教科书使用水平现状及提高策略研究[D].西北师范大学，2020.