论初中数学教学中几何模型的应用

【摘 要】代数与几何作为初中数学的两大教学模块相辅相成。代数重运算，几何重逻辑推理，在两个模块的学习过程中，学生能力培养的指向不同，侧重点也不一样，虽然二者在初始教学阶段相对独立，但最终会相互融合。很多学生在学习几何的过程中反映，课堂上知识听得懂，但下手就出问题，没有思路，找不出问题的切入点，难以做到与所学知识融会贯通。对此，教师要改变传统教学模式，将“双基”与数学模型的构建及应用有机结合，让学生掌握学习方法，真正学会应用数学，感受数学的作用，进而达到提升教学效果的目的。

【关键词】几何模型;数学思想;初中数学;数学建模

【中图分類号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）16-0062-02

1  几何模型应用的必要性

《全日制义务教育数学课程标准》明确提出，在数学教学中，应当引导学生体验建模过程，发展模型思想，思其目的，就是要改变基础数学教学的抽象性、应试性，增强数学教学的实用性和研究性[1]。现阶段，新课标要求课堂教学要注重数学知识与生活的联系，与传统的教学方式相比，新的教学方式发生了很大转变，但要实现质变，仍有一定难度。学生对模型的认识较少，想要做到掌握并灵活运用更是难上加难，严重制约了学生逻辑思维能力与实践应用能力的提高。为此，加强数学模型在教学中的应用既是必然的，也是必要的。

2   几何模型应用的优势

模型式教学，相比典型问题教学架构小，但在应用的延展性和对知识点的整合方面有很大优势，更难得的是，它易于学生掌握，能促进学生发散思想的培养，让学生从基础数学学习开始，逐渐养成利用数学建模求解问题的思维和习惯。

2.1  能最大限度整合知识点，综合性强

数学知识点间的关联性很强，全等与相似、平行四边形与三角形、图形变换与特殊平行四边形等知识点的关联比较自然，这部分内容的整合学习能大幅提升学生的知识综合运用能力，增强学生分析和解决问题的能力，更重要的是，学生研究问题的能力也能进一步得到提升，对问题中遇到的模型，当现有方法不能解决时，学生能尝试发散思维，从其他角度思考模型的应用，扩展模型应用范围。这样能让学生从单一的知识理解与应用，逐步上升到对问题的深入研究，在潜移默化中形成和锻炼数学思想，归纳和拓展数学问题的解决方法。

2.2  延展性好，便于升级改造

随着知识的丰富，几何模型的应用范围从局限的“特征”“结论”拓宽到广域的作用，再到综合类实际问题的求解，解决问题的类型范围更广，难度更大，其功能性得到较大提升。不仅如此，相同条件下，结合不同信息构建的数学模型，彼此间可以形成共振，一个几何模型的形成也会促成另一模型的构建，为模型相关性质和判定定理的应用创造条件，使模型互联互通，相辅相成。如三角形一边垂线与一角的平分线二线合一时，会触发等腰三角形模型的形成，同时利用等腰三角形三线合一的性质得到中线，能发现中点，为三角形中位线模型的建立创造条件。模型间关系的建立，能为问题的解决找到新的突破口，促进模型延展性的进一步发展，其功能也能得到进一步提升，而学生收获的是思想的拓展，多维度分析问题、数学思想运用也更加熟练，模型应用的灵活度也更强。

2.3  应用范围广，研究性好

几何模型一旦构建，其应用的方法大多数情况下是不变的，只是会改变模型应用的问题环境。如关于最短路径问题，从最初的“将军饮马”到平面直角坐标系中的“求函数图象交点坐标”，再到特殊的平行四边形（菱形、矩形或正方形）计算两点间距离，从“两定一动”问题，再到“一定两动”和“三动点”问题，研究的方法都要先确定其中“一个定点的对称点”。通过改变问题环境，兼顾考查相关知识的特性。学生在研究问题的过程中，也会潜移默化地使用数学思想，所以用好模型对提升学生的知识综合应用能力有很大的帮助。在日常学习中，学生研究问题会以熟悉的几何模型作为问题的切入点，如果分析物体的受阻情况，也会尝试新的思维角度，通过顺向思维、逆向思维甚至多向思维，克服思维定势，开阔建模思路。

3   几何模型的构建

几何模型的构建是分层次的，需要学生在学习中通过实战练习，类比归纳，不断总结充实。

模型是显性的，学生要善于发现，能够从复杂的图形环境中抽离出来，结合已知条件，围绕模型进行信息整合。如在矩形图形中进行翻折变换，能发现矩形对边平行的性质和翻折变换出现的角平分线相互作用，会构建等腰三角形模型。

模型是隐性的，学生要学会构造。学生需要整合关键信息，找出某一特定图形的辅助线制图，这有利于学生突破几何问题中辅助线制图的难点，也是提升学生知识运用能力的途径之一。如建立两条线段中点，同时观察到两条线段存在公共端点，连接另外两个端点，便可构造中位线所在三角形，而如果两条线段并没有公共端点，则要通过取第三条线段中点构建多条三角形中位线，以发挥桥梁纽带的作用[2]。同一模型对不同知识点的应用也不尽相同，既有关联，亦有区分。如一线三垂构建的“M”字模型，关联三角形全等，可证“对应边或对应角相等”，而关联三角形相似，则可利用对应边成比例计算边长或计算抛物线上特定点的坐标。这样的模型搭建还有很多，如等腰三角形常用模型，见“底边中点”，常常连接顶点和底边中点，构建等腰三角形中线模型，又可根据三角形的特殊性，联系“三线合一”的性质。如果三角形的形状再特殊一些，是等腰直角三角形，则又可联系“斜边中线等于斜边一半”的特性。不难发现，在数学建模中，知识间的联系更紧密，学生的思维能得到多维发散，知识的运用能得到较大提升。特别在学习平行四边形的过程中，重要的几种几何模型，如“角平分线+两直线平行”，构建等腰三角形;“一边中点+两直线平行”，构建“8”字形全等三角形;“一边中点+倍长另一线段”，构建平行四边形等，将成为学生解决复杂问题的关键，久而久之，为学生解决复习问题奠定扎实的模型基础。

4   几何模型的应用

4.1  注重积累

“工欲善其事，必先利其器。”学生要想利用模型化解难题，必须建立属于自己的“模型库”。模型的来源主要有两个方面，一方面，借助日常的课堂教学，通过探究、开放性问题设计和类比探索，教师可以引导学生由条件的特殊性发现模型，用切身的体验感受数学模型的优点，强化学生数学模型建构意识;另一方面，也是更重要的，要让学生学会在日常生活学习中，通过典型问题自主累积几何模型。课堂的时间有限，但模型的世界无限，教师不可能把所有数学模型都教给学生，所以，让学生学会自主探究、总结归纳才是模型库不断充实的主要途径，以共性条件分类汇总，建立自己的模型条件树等都是不错的常用方法。

4.2  抓好关键条件，培养“靶向”思维

模型虽好，关键在用。教学中，既要引导学生学会构建几何模型，也要让学生明确“为什么这样建立模型”。如圆的问题中，经常涉及“90°圆周角”的模型构建，教师可向学生提问：“你是怎样想到这样做辅助线的？”学生回答：“因为直径所对的圆周角是直角。”学生能明确关键的条件在“直径”。教师要在教学中让学生明确建立模型的关键条件是什么，建立几何模型与对应关键条件的关联，确定的条件指向确定的模型，培养学生的惯性思维。“靶向思维”不只存在于条件和模型上，模型和方法间、模型和问题类型间也有必然关系。如选择和填空题，常用特殊值法。相似三角形一旦确立，必然会指向对应边成比例、对应角相等。求证相似的目的，绝大多数情况下会指向相似的性质。笔者在实际教学中发现，个别学生在面对计算两边比值问题时，不知道关联相似三角形知识，这就是“靶向思維”缺乏的表现。所以，“靶向思维”也是分析问题、关联相关知识点的必要能力之一，这也是教师在日常教学中应该关注、加强训练的重要

方面。

4.3  做到灵活应用，不受模型所限

模型虽好，但也不是万能钥匙。更何况，个别模型的用法具有多样性，一道问题包含的模型数量也不唯一。无论是谁，在面对问题，选择方法上总会受“习惯”的影响。而习惯，主要是学生的思维特点和熟练度的问题。旧知识比新知识上手早，意识上先入为主，思维直接，使用上也更称手，但只有对比后才能发现新方法的优势所在。熟悉的模型应用一旦受阻，解题思路也会受阻。因此，模型的选择要既要学会用，也要学会活用，要跳出固有的思维局限，针对相应的问题和条件，观察和发现其他几何模型，平时积累模型要有意识、有针对地做好区分归类，多尝试一题多法，多对比选择，做到活学活用，发挥模型的优势，真正实现模型的巧用、活用。

数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科，虽然教师采用生动多样的课堂模式激发学生的主动性，但仍有很多学生学得困难，学得枯燥。将数学模型引入教学，不但使看似很难的问题变得简单，而且能提升学习的趣味性，提升学生钻研问题的乐趣，使学生在学习中获得成就感，更重要的是，它能培养学生的建模思想和意识，提升学生应用数学的实践能力。模型化教学方式还有很长的路要走，相信经过教师的不断探索和实践，一定可以使课堂教学的效率发生质的飞跃。

【参考文献】

[1]徐颖.初中数学“模型解题法”教学的几点体会[J].数理化解题研究，2016（17）.

[2]胡乌云.试论初中数学教学中几何体模型的应用[J].读与写

（下旬刊），2018（2）.

【作者简介】

王涛（1979～），男，汉族，山东胶州人，本科，中学一级教师。研究方向：初中数学教学。