对比拓展 让复习课更高效生动

梁修曦

摘 要：本文以 “椭圆中的定点问题”复习课为例，探讨了 “证定点”和“找定点”两类问题的通性通法和巧解.并层层递进，对比渐变，推广出了一般性结论.

关键词：定点问题;通性通法;复习课

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0011-02

一、课堂再现

问题1 如图1，已知椭圆C的方程为x24+y2=1，过点A（0，1）作两条互相垂直的直线l1和l2，分别交椭圆于M、N 两点，试证明：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.图1

生1：可设直线l1的方程为y=k1x+1，则直线l2的方程为y=-1k1x+1，联立椭圆C与直线l1和l2的方程，可求得M、N两点的坐标，进而写出直线MN的方程，并求出恒过的定点坐标.

生2：也可直接设MN的方程为y=kx+m，利用kAM·kAN=-1求得m与k的关系式，从而得到定点的坐标.

师：这两种思路都很好，请你们写出求解过程.

生1：联立直线l1与椭圆的方程，可求得M点坐标（-8k14k21+1，1-4k214k21+1），只需将其中的k1换成-1k1，即得N点坐标（8k14+k21，k21-44+k21），故直线MN的方程为y-k21-44+k21=k21-15k1（x-8k14+k21），化简为y=k21-15k1x-35，它恒过定点（0，-35）.

生2：联立直线MN的方程y=kx+m与椭圆C方程，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，记M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1（*）

由kAM·kAN=-1可得y1-1x1·y2-1x2=-1，即（k2+1）x1x2+k（m-1）（x1+x2）+（m-1）2=0，将（*）式代入可得m=-35，直线MN的方程y=kx-35，恒过定点（0，-35）.

师：这两种方法均为证明直线恒过定点问题的通性通法. 比较来看，那种方法稍好一些呢？

生3：方法1思路简洁，依照题意直接计算即可.

生4：方法2目標明确，求哪条直线过定点，就设哪条直线方程为y=kx+m，再寻找m与k的关系式，计算都很常规.

生5：两种方法都差不多.

师：既然大家难以取舍，接下来我们看变式1，再次体验一下.

变式1 在问题1中，将A点坐标改为（2，0），其他条件和求证不变.

生6：我采用的是方法2，由kAM·kAN=-1可得y1x1-2·y2x2-2=-1，即（k2+1）x1x2+（mk-2）（x1+x2）+m2+4=0，将（*）式代入，可得5m2+16km+12k2=0，故m=-2k（舍）或m=-65k，直线MN的方程y=k（x-65），恒过定点（65，0）.

生7：我采用的是方法1，设直线l1的方程为y=k1（x-2），可求得M点坐标（8k21-24k21+1，-4k14k21+1）， N点坐标（8-2k214+k21，4k14+k21），故直线MN的方程为y-4k14+k21=-5k14（k21-1）（x-8-2k214+k21），后面的化简很困难，无法判断直线恒过的定点.

师：其他同学有什么办法解决这个问题吗？

生8：根据椭圆的对称性，此定点应该在x轴上，所以在上述直线MN方程中，令y=0，得x=65，故直线MN恒过定点（65，0）.

师：回答正确，我们在解决定点问题中，有时要灵活运用图形的几何性质帮助我们的计算.再次对比，我们发现：方法1涉及到方程的化简，有时会比较复杂，而方法2的计算量就稍小一些，运用起来更方便.

生9：问题1还有更简单的解法！

师：好，请你给大家讲一讲.

生9：因为这里是两直线的斜率之积等于-1，我们可以联想到韦达定理.

由kAM·kAN=-1可得y1-1x1·y2-1x2=-1，所以将椭圆方程变为x24+（y-1）2+2（y-1）=0，再由y=kx+m得y-1-kxm-1=1，在上述方程的一次项乘1变为齐次式，再两边同除以x2可得（m+1）（y-1x）2-2k·y-1x+m-14=0，从而kAM·kAN=m-14（m+1）=-1，m=-35，直线MN的方程y=kx-35，恒过定点（0，-35）.

师：非常精彩！这是此类问题的一种巧解.联想到韦达定理，巧妙地将椭圆方程变形为以斜率为主元的二次方程，使计算量大幅减少，值得大家学习！

问题2 已知椭圆C方程为x22+y2=1，直线l过点B（0，-13）交椭圆于M、N 两点，试问以MN为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出点的坐标，若不是，请说明理由.图2

生10：假设存在点P（x0，y0）满足条件，则kMP·kNP=-1，设直线l的方程为y=kx-13，联立椭圆方程得（2k2+1）x2-43kx-169=0，记M（x1，y1），N（x2，y2），

则有

x1+x2=12k9（2k2+1），x1x2=-169（2k2+1），

kMP·kNP=y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=k2x1x2-k（13+y0）（x1+x2）+（13+y0）2x1x2-x0（x1+x2）+x20

=18（y20-1）k2+（1+3y0）218x20·k2-12x0·k+9x20-16，因此式为定值，与k无关，所以x0=0，

当y0=1时，定值为-1，符合题意;当y0=-1时，定值为-14，不合题意应舍去.

综上知，以MN为直径的圆恒过定点（0，1）.

师：回答正确，这就是“找定点”问题的通性通法.其步驟是：先假设存在符合题目条件的点，再化图形特征为代数计算，看能否找到方程的解.最后再验证方程的解是否符合题目要求.其中会涉及到恒成立或代数式为定值的问题，需认真观察式子的结构，找到对应的办法.

最后，请大家再观察问题1和2，它们有什么联系？

生11：它们是对偶问题，问题1是已知以MN为直径的圆过定点，求直线过的定点;问题2是直线转动，求圆过的定点.

师：对，它们其实是同一个问题从两种不同角度设问.这类问题有一个一般性结论，大家下课后可以继续探究：

过椭圆C：x2a2+y2b2=1的上顶点A（0，b）作两条互相垂直的直线l1和l2，分别交椭圆于M、N 两点，则直线MN恒过定点（0，-bc2a2+b2），反之亦成立.

二、回顾与反思

在备本节复习课时，笔者的主要思路是设计一组关联题目，求解时能用到“证定点”和“找定点”两类问题的全部方法和技巧.问题1是一个“证定点”问题，解答中涵盖了动点坐标设题法和动直线方程设题法，为了比较两种方法的优劣，引入了变式1，同时也渗透了利用图形对称性辅助计算的技巧;利用韦定理巧解则是本节课的意外收获，体现了学生思维的灵活多变.问题2是一个“找定点”问题，它需要“先猜后证”，把动态几何特征变化转化为代数计算，进而找到定点.而对恒等式的处理，也是学生的弱项，需要学生具备良好的观察和分析能力.最后，通过对比，看清问题1和2的本质是同一个问题的两种不同角度设问，进而提炼总结出一般性的结论.

总之，定点问题在高中圆锥曲线教学中是热点问题，也是一个难点，它既考查学生的计算推理能力，更注重学生对动态问题的处理能力，锻炼学生熟练地将“数”的计算与“形”的分析结合起来.圆锥曲线章节的复习课更需要精心地设计问题，通过横向深挖纵向拓展，一方面可以减少部分重复的计算，直接进入核心的思维环节，又可以促进学生构建完整的知识网络，让课堂更高效生动.

参考文献：

[1]秦宜菊，杨会.有关圆锥曲线一类定值及定点问题的再研究[J].中学数学教学参考，2019（16）：52-53.

[2]秦江铭.例析直线恒过定点问题的求解策略[J].中学数学教学参考，2019（27）：64-65.

[责任编辑：李 璟]