相对τ⁃extending模*

李煜彦

（陇南师范高等专科学校 数信学院，甘肃 陇南 742500）

0 引言

与连续模和拟连续模相关的问题一直是许多作者的研究对象,其中extending模是与连续模和拟连续模联系非常紧密的模类,其相关问题是环模理论的研究热点。[1-5]称M是extending模(也称CS模),如果M的每个子模是其直和因子的本质子模。众所周知,内射模、连续模、拟连续模等都是extending模。近年来,一些作者把对extending模的研究进行了更广泛的推广。2007年,Song[6]和Charalambides[7]从挠理论的角度分别研究了extending模和内射模,并分别提出了τ-CS模和τ-内射模的概念。2012年和2017年,Çeken,S和Alkan[8-9]也从挠理论的角度定义并研究了τ-extending模,该定义方式与文献[7]有着本质的不同。2011年至2019年期间,Asgari等人[10-14]从Goldie挠理论的角度研究了t-extending模及其各种推广,得到了许多有意义的结论。受以上文献的启发,对于R-模M,N,本文提出了M是相对N的τ-extending模的概念,研究了M是Aτ-(C3)模的等价刻画,当M是τ-N-extending模时,讨论了模M的直和分解。

1 预备知识

本文中的环都是有单位元的结合环,模指酉右R-模。称L是M的τ-稠密子模,如果是τ-挠模,记为L≤τ-d M。称L是M的τ-纯子模,如果是τ-挠自由模,记为L≤τ-p M。用Dτ(M)和Pτ(M)分别表示由M的所有τ-稠密子模和τ-纯子模构成的集合。

称L是M的τ-本质子模,如果L≤τ-d M且L≤e M,记为L≤τ-e M。设M,N是模,称N是τ-M-内射模,如果对任意K≤τ-d M以及任意同态f:K→N,存在同态g:M→N,使图1可交换:

图1 交换图1

称N是τ-拟内射模,如果对任意模M,N是τ-M-内射模。设E(M)表示M的内射包,令,由 文 献[7]知,Eτ(M)是包含M的最小的τ-内射模。

设M是模,Aτ是由M的τ-稠密子模构成的模族,且Aτ关于τ-稠密子模,τ-基本扩张和同构像封闭。下面给出M分别是满足Aτ-(C1)条件和Aτ-(C3)条件的模的概念。

定义1称M是Aτ-extending模,如果对任意A∈Aτ,存在M的直和因子H,使得A≤τ-e H。此时也称M是具有Aτ-(C1)条件的模。

定义2称M是满足Aτ-(C3)条件的模,是指对任意A∈Aτ以及M的任意直和因子H,如果A是M的直和因子,且A∩H=0,A⊕H∈Dτ(M),那么A⊕H是M的直和因子。

显然,N⁃extending模是τ-N⁃extending模。

2 主要结论

设Aτ是由M的τ-稠密子模构成的模类,且Aτ关于τ-稠密子模、τ-基本扩张和同构像封闭。下面给出Aτ-(C3)模的等价刻画。

定理1若M是Aτ-extending模,则M是Aτ-(C3)模当且仅当对任意A∈Aτ,M的任意直和因子X,以及任意同态映射f:A→X,若A∩X=0,A⊕X∈Dτ(M),则存在同态g:M→X,使得g是f的扩张。

证明：必要性。设A∈Aτ,X是M的直和因子,f:A→X是同态映射。令B={x+f(x)|x∈A},则A≅B,故B∈Aτ。由于M是Aτ-extending模,故存在M的直和因子B',使得B≤τ-e B'。因为M是Aτ-(C3)模,且X∩B'=0，以 及,所以X⊕B'是M的直和因子,即存在K≤M,使得M=(X⊕B')⊕K。令π:M→X是自然投射,则-π就是f的扩张。

充分性。设A∈Aτ,H是M的直和因子,使得A∩H=0,A⊕H∈Dτ(M)。则存在X≤M,使得M=H⊕X。令π:M→X是自然投射,则π(A)≅A,故π(A)∈Aτ。由于M是Aτ-extending模,故存在X的直和因子B,使得π(A)≤τ-e B。设X=B⊕L,则M=H⊕B⊕L。令πH:M→H,πB:M→B都是自然投射,则A={πH(a)+πB(a)|a∈A}。令f:πB(A)→H(πB(a)↦πH(a),∀a∈A)，则f∈End(πB(A),H)。由条件,存在同态映射g:B→πH(A),使得g是f的扩张。因为π(A)≤τ-e B,所以πB(A)≤τ-eB,于是A≤τ-e{x+g(x)|x∈B},从而A={x+g(x)|x∈B}。因此π(A)=B,即A⊕H=B⊕H是M的直和因子,从而M是Aτ-(C3)模。

定理2若Aτ-extending模,则M是Aτ-(C3)模当且仅当对任意A∈Aτ以及M的任意直和因子X,若A∩X=0,A⊕L∈Dτ(M),则X是τ-A-内射的。

证明：必要性。设A∈Aτ,L≤τ-dA,φ∈EndR(L,X)。令f|L=φ,因为M的τ-稠密子模关于τ-稠密子模封闭,所以L∩X=0且L∈Aτ。由定理1知,存在同态g:M→X,使图2可换:

图2 交换图2

从而证得X是τ-A-内射的。

充分性。对任意A∈Aτ和M的任意直和因子X,f∈EndR(A,X),以及A∩X=0。因为X是τ-A-内射的,所以X是Aτ-(C1)的。故存在M的直和因子K和N,使得M=K⊕N,A≤τ-e K且K∩X=0。又因为M的τ-稠密子模关于τ-基本扩张封闭,所以K∈Aτ。从而由条件知,X是τ-K-内射的。故存在h∈EndR(K,X),使得h是f的扩张。令g∈EndR(M,X),其中g|K=h,g|N=0。于是图3是可换:

图3 交换图3

所以由定理1知,M是Aτ-(C3)模。

设M,N是模,定义模族Aτ(N，M)={A≤τ-dM|存在X≤τ-dN以及f∈Hom(X，M)，使得f(X)≤τ-eA}.

易知,Aτ(N,M)关于τ-稠密子模,τ-基本扩张和τ-同构像封闭。设A=Aτ(N,M),下面给出相对τ-extending模的概念。

定义3设M,N是模,称M是相对N的τextending模,如果对任意A∈A,存在M的直和因子H,使 得A≤τ-eH。此 时 也 称M是τ-Nextending模。

下面考虑τ-N-extending模的直和分解。

定理3设M,N是模,A=Aτ(N,M)。若M是τ-N-extending模,则以下等价:

(1)对任意直和分解M=K⊕L,若K∈A,则K和L是相互τ-内射的;

(2)对 任 意 直 和 分 解Eτ(M)=X⊕Y,若X∩M∈A,则M=(X∩M)⊕(Y∩M);

(3)对任意直和分解Eτ(M)=(⊕α∈I Xα)⊕Y,若Xα∩Y∈A(∀α∈I),则M=(⊕α∈I(Xα∩M))⊕(Y∩M)。

证 明：(1)⇒(2)设Eτ(M)=X⊕Y,其 中K=X∩M∈A。由于M≤τ-e Eτ(M)且X是Eτ(M)的闭子模,故K是M的闭子模,从而K是M的τ-闭子模。因为M是τ-N-extending模,所以K是M的直和因子,从而存在L≤M,使得M=K⊕L。

令πK:M→K,πL:M→L是自然满同态,则Y∩MπL(Y∩M)。定义映射

易证f是同态映射。因为L是τ-K内射的,所以存在同态g:L→K,使得图4可换:

图4 交换图4

(2)⇒(1)设M=K⊕L,其中K∈A。由定理2知,L是τ-K内射的,下证K是τ-L内射的。设N≤τ-d L,f:N→K，令,则W∩K=0。故有Eτ(M)=Eτ(K)⊕Eτ(W)⊕F,由(2)知,

令π:M→K是标准投射,。则对任意n∈N,有n=-f(n)+(n+f(n))。所以g是f的扩张。

(2)⇔(3)易证。