扩散过程波动率核估计的一致相合性*

刘 畅，官 政

（广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541004）

0 引言

随着全球化、信息化和网络经济的蓬勃发展，尤其是近年来，随着大数据的提出，统计学在各个领域大放异彩，学者们对金融市场的数据研究也不仅仅局限于日、周、月等低频数据，转而投向了以秒、分、时为采集频率的高频数据。在Andersen和Bollerslev(1998)[2]提出可以利用日内高频交易数据计算已实现波动率来评价ARCH模型的预测效果之后，学者们开始对事后积分波动率的非参数估计问题产生兴趣；当Barndorff-Nielsen和Shephard(2002)[3]提出当资产价格过程满足扩散模型时，积分波动率的一致估计量就是已实现波动率，并给出了中心极限定理及证明；Valkanov(2006)[4]用绝对幂变差来对波动率进行预测，效果较好；Gallo和Engle(2006)[5]将GARCH模型和已实现波动率结合，从而提高了对波动率的预测精度；Fan和Wang(2008)[6]给出了瞬时波动率的非参数估计；Kristensen(2010)[7]将已实现波动率与瞬时波动率的估计联系起来，并证明了二次幂变差核估计量的渐近正态性和一致相合性。国内的唐勇和刘峰涛(2005)[8]将已实现波动率、SV(Stochastic Volatility)模型、GARCH模型三者对波动率的预测进行比较，发现已实现波动率优于其他两个模型。相较于Kristensen(2016)的结论，基于随机扩散模型，本文对其估计量的相合性提出了更好的证明，并给出了更快的收敛速度。

1 知识储备

为叙述方便,始终假设C表示一不依赖于n的大于0的常数,且C每次出现可以取不同的值。

为对本文的结论进行证明，我们需要提前了解以下内容：

随机扩散模型:

其中，X t为金融产品对数价格，μt为漂移过程，σt为扩散过程，且μt和σt为[0,T]上的随机过程，W t为标准布朗运动。

引理1

其中，U～N(0,1)。证明过程见波动率估计研究专题综述（2019）。

引理2（杨善朝，1997） 若X j:j≥1相互独立，且满足E(X j)=0,则存在常数C≥0使得：

2 条件与结论

全文使用如下基本假设：

A 1）对于任意的p＞0和l1≥0，有

A 2）对于任意的l2≥0，有，其中，T→∞。

A 3）对于任意的γ＞0和C＞0，有

B1）当窗宽h→0时,有n=T/△→∞和△→0:ϑn,T→0。

这里ε＞0，δ＞0都是任意给定的常数，为方便起见，我们采用等距观测△=ti-ti-1。

定理1我们假定A 1）～A 3）,B1）和K 1）成立.

定理2假设T是固定的正数，条件A 1）～A 3）和K1）成立.如果当n→∞时，h→0且ςn→0，其中ςn=，这里δ＞0都是任意给定的常数，则

3 定理的证明

3.1 定理1的证明

我们将估计量的每一项展开，结合伊藤引理，我们可以得到：

结合（1）式，有：

令：

其中，

（1）R1的证明。

（2）R2的证明。

（3）R3的证明。

①首先处理S'n(τ)项。

设rn为趋于0的待定正常数序列，选取ln个中心在τ1，τ2，…，τln，半径为的邻域B1，B2，…，Bln覆盖[0,T]，其中显然

由于：

另一方面，结合马尔科夫不等式：

又因为：

从而，

②再处理S''n(τ)项。

又有：

因此，我们联立上面三个式子，可得：

（4）R4的证明如下：

结合引理2，可以得到：

因此

又因h-1≤Cn-1/2和T≤Cn，所以∀ε＞0，取r充分大，有：

由h-2n-1T2+l2→0，知

由于h-1≤Cn-1/2和T≤Cn，所以∀q＞1，取r充分大，有：

(5)R5的证明。

其中，

利用σt的Lipschitz条件，有：

对于R53，

联立以上各式，得：R5=O p(h-2△T1+l2+hγ+hm/2)，

其中，

3.2 定理2的证明

对于固定的T,

所以ςn=n-1h-2+n-1/2+εh-1/2+n-1/2h-1/(2+p)-1/2。

因此我们用新的方法对该估计量的相合性进行了证明，并给出了比Kristensen(2016)更好的收敛速度。

4 数值分析与模拟

我们已经在第三章给出了波动率估计的相合性证明，本章我们将利用数值模拟的方法来对上述估计量的效果进行研究。考虑下面的扩散-波动率模型：

其中，W1,t，W2,t是两个相互独立的标准的布朗运动，利用欧拉方法对上述模型进行离散化，并选取α=0.476，β=0.510，κ=0.227596，再选取时间间隔为1/(60×60×24×100)时所产生的波动率σt2的真值数据，再从这些真值数据中分别选取60 s和30 s不同时间间隔的真值数据进行模拟分析。我们得到时间间隔分别为60 s和30 s的模拟图，如图1、图2所示。图中，1线为估计线，2线为真值线。很容易发现，随着时间间隔的缩短，估计线和真值线的拟合程度越好。这也说明我们的估计量能很好地对真实值进行估计。

图1 时间间隔为60 s的模拟图

图2 时间间隔为30 s的模拟图