高中数学线性变换的对角化问题探究

高凤龙

摘要：在新课程改革背景下，高中生不仅能够灵活地使用学科基础知识去解决实际问题，还要在课余时间学习其他感兴趣的知识，从而更好地促进高中生全面发展。在高中数学课本中，虽然线性变换是选修章节，但这是与大学知识点衔接的重点知识，学生掌握好了线性变换知识点，能够提前接触和了解高等数学。

关键词：高中数学   线性变化   对角化

一、高中数学线性变换的概念

1.线性变换的概念

在高中数学教学中，线性变换指的是在构建好的xOy坐标系中，至少要存在一个点或者多个点的集合A，与另一个相对应的至少一个点或者多个点的集合B，两个集合可以按照相应的规则进行象化的变换，并且位置不同的点在进行转变之后所形成的点也是不相同的，所以在直角平面坐标系中将图形进行几何转变，就是线性变换的过程。

2.线性变换的基本性质

线性变换自身具有三个基本性质，第一个性质是任何向量乘于零的结果都是零，它的数学表达式就是T（0）=0;第二个性质是任何的向量与一个任意的负向量之间相乘的结果就是两个向量相减得出的负数，其数学表达式为T（-a）=-T（a）;最后一个性质是可以满足乘法的计算规律，也就是说A既是一个一般矩阵，又是平面坐标直角系中的任意两个向量，这个数字是实数。

3.可对角化的概念

对角化的概念可以分为两个定义：定义一，是在多维线性的空间V中有一个称之为σ的线性变换，在这样的一个空间之中如果存在着个基为V，那么就称σ在这组基下所形成的对阵为对角对阵，也就是称之为线性变换σ是可对角化的;定义二，是在数域P的范围内中包含了一个A矩阵的n级方阵，如果在这个数域P上有着一个n级的可逆矩阵X，能够构成对角矩阵X-1AX，那么就称数域P中的矩阵A为可对角化。

二、线性变换的对角化

在数域F的线性空间V上设一个数值σ的线性变换，那么如果数域F中存在着一个数λ，并且还有一个非零的向量ξ，也就得到了σ（ξ ）=λξ。在此式中，λ是σ的一个特征值，ξ则是σ属于特征值λ的特征向量。

三、例题解析

对于高中生来说，线性变换是比较难掌握的部分。这时，学生正初步接触高等数学，会认为该教学理念比较抽象，而且运算量大，内容广泛。然而，《高中课程标准》涉及的线性变换更加偏向于几何运用，然后根据大量现存的线性变换的性质与作用对其进行探讨，仅仅只是在平面上对线性变换进行一种认知。

教师通过在课堂上讲解基础知识，能让学生简单认识线性变换，并且结合各种简单的类型题进行练习，不断深化学生对线性变换的认知。如在教学“对称变换在几何极小值中的应用”时，对称变换也被称为轴反射，在对极小值问题进行解答时起着很重要的作用。

例如：E是某一个正方形ABCD的BC 边上的一个点，BE的长度为3，EC的长度为4，且P是对角线BD上的一个动点，现在要PE+PC的最小值。

在初次接受这类题型时，学生先要简单分析题目，掌握在数学几何思维中两点之间线段最短的原则，把题中的PE+PC转换成为线段;然后，在图中过E点做出EM BD，并且还要与BA相较取一点M;最后，将MC和BD进行连接相交于P，最终只需要求出MC即可。

通过详细分析题目，做出辅助线，由题意可知。BD是∠ABC的平分线，所以可以得出E、M两点关于BD对称，即PM之间的距离与PE是相同的（中垂线上的点到两端点的距离相等），所以PE+PC=PM+PC=MC。在線段BD上取一点为Q，并且将QE、QC、QM进行连接，最终可以得出QE+QC=QM+QC>MC。所以说，MC就是PE+PC的最小值，此时，以三角形的勾股定理来计算得出MC===5。简单分析题目能够保障学生在解答时拥有较为清晰的思路，从而更好地加深学生对线性变换的对角化知识点的理解。

通过探究线性变换对角化问题及拓展知识点，学生能够更加全面地认识对角化知识;通过分析一些简单的线性变换对角化知识和比较复杂的概念分析，学生能够掌握更多的相关知识;通过讲解例题，教师能引导学生分析出解题过程及简单的解题方法，让学生更加直观地理解知识点及解题过程，从而促进学生更好地发展。

参考文献：

[1]朱萍.探讨高中数学线性规划问题的教学策略[J].数学学习与研究，2019（18）.

[2]魏江.谈高中数学中如何应用建模思想[J].学周刊，2019（28）.

（作者单位：山西省吕梁市贺昌中学）