题解多法，素养为本

潘立方

[摘  要] 在几何解题教学过程中，教师应从解决方案的多样性上培养学生的发散性思维，在思路的多样化情况下引导学生进行反思和感悟，一方面让学生养成有序思考的习惯;另一方面也可以找到思维的出发点，直指数学的核心素养及其形成，在此基础上进一步落实解决数学问题的方法，提升数学思维拓展性，凸显数学教学的“教育目的”.

[关键词] 一题多解;解题研究;数学素养

几何题的 “一题多解”一直被人们津津乐道，让人回味无穷. 笔者在一次试题讲评课时，与學生们一起对一道几何题进行了多种方法的解析和反思，以求在反思中感悟方法，明晰思路，提供解决问题的策略.

试题呈现

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC和CD的中点，连结AE和BF，得交点P，连接DP，求证：DA=DP .

试题意图

1. 试题背景

根据正方形这一课时的《课标》要求，既考查了学生对于正方形这一核心知识点的掌握情况，又有适当的提高：破题口的寻找、思路的多样、辅助线的选择等，题意虽简，思路难成.

2. 试题来源

题源1：人教版八年级下教师教学用书第152页13题.

题源2：浙教版八年级下册数学教科书.

3. 简单分析

易证得△ABE≌△BCF，推得AE⊥BF，再由∠APF=∠ADF=90°得A、D、F、P四点共圆.

解法赏析

方法一 巧用倍长构斜中：如图2，延长BF、AD交于G点，易得△BCF≌△GDF，利用Rt△APG斜边上的中线等于斜边一半这一性质得到DA=DP .

方法二 构造全等顺旋转：如图3，连结AF，过D点作DK⊥DP交PF延长线于K点，得∠3=∠4;由得A、D、F、P四点共圆得∠1=∠2，再得∠AFD=∠K;由△ADF≌△BCF得∠AFD=∠3=∠4，所以∠4=∠K，得DF=DK，所以证得△ADF≌△PDK，所以DA=DP .

方法三 四点共圆判等角：如图4，由A、D、F、P四点共圆得∠1=∠2，由对称性得到∠3=∠1，所以∠3=∠2. 所以∠PAD=∠APD，所以DA=DP .

方法四 构造全等逆旋转：如图5，在AF上找一点Q，使得DQ=DF，则∠3=∠4;由△ADF≌△BCF得∠3=∠5，所以∠4=∠5，得到∠AQD=∠PFD. 再利用∠1=∠2和DQ=DF两个条件，得到△ADQ≌△PDF，所以DA=DP .

方法五 垂直平分正逆推：如图6，取AB中点M，连结DM交AP与点N，连结PM，利用Rt△APB斜边上的中线等于斜边一半这一性质得到AM=PM;再由线段BM平行且等于线段DF得？荀MBFD，所以DM∥BF. 所以DM⊥AP，所以AN=PN，即得DM是线段AP的中垂线，所以DA=DP.

方法六 余弦定理灵活用：如图7，设正方形边长为2，记∠BAE=α，∠DAE=β，则tanα= ，sinα= ，cosα= ，利用相似得AP= . 又因为α+β=90°，所以cosβ=sinα= = ，代入解得DP=2，所以DA=DP.

方法七 勾股相似配合强：如图8，过P作PK⊥DC，垂足为K. 设正方形边长为2，则BE=1，AE=BF= ，由面积法得到BP= ，则FP= ， 所以 = ，所以 = = = . 所以PK= ，FK= ，所以DK= . 在Rt△PDK中再由勾股定理得DP=2，所以DA=DP.

方法八 函数坐标数形合：如图9，以D为直角坐标原点建立直角坐标系，则可得A（0，2），E（2，1），B（2，2），F（1，0），把P看成直线AE（一次函数表达式为：y= - x+2）和直线BF（一次函数表达式为：y=2x-2）的交点，计算解得P ， ，所以DP=2，所以DA=DP .

素养立意

正如章建跃先生所说，“中学数学核心素养体系的构建，需以理解中学数学内容本质为载体，而这个载体也需要深入回答‘问题的研究框架是怎么构建的‘为什么采用这样的方法等触及数学思想本质的、对数学思维发展有重要意义的本原性问题”，基于对此话的理解，我们也不妨回头看一下我们的解法探析的素养本源.

1. 基于条件，在方法上发散

在几何直观的基础上，学生易得出△ABE≌△BCF和AE⊥BF两个结论，部分学生还可以得到四点共圆这一结论，此时可以适当引导：如何利用这些结论把问题进行转化？要证明两条线段相等这一数量关系我们已有几种方法或者模型工具？通过适当引导，提醒学生利用方法的多样性来尝试解题：

①按题索骥，顺势破解：如方法三利用四点共圆得到角相等，继而得到等角的余角相等，利用等腰三角形的等角对等边即可得到结论.

②回归模型，找到关联：如方法一的类似倍长中线法得到全等，继而用斜中线模型即可得解;方法二、四是构造顺逆时针旋转中的全等三角形;方法五是垂直平分线模型等.

③数形结合，解析几何：如方法六的利用余弦定理、方法七的勾股和相似的配合使用、方法八的构建直角坐标系，利用函数求交点等解析法的应用，亦为几何的数量研究找到了一条路径.

2. 基于结论，在思路上拓展

本题的结论是两条线段相等，回忆我们已学过的证明线段相等方法，大致一共有六种：一用“全等三角形的性质”;二用“等角对等边”;三用“中垂线的性质”;四用“角平分线的性质”;五用“三线合一的性质”;六用“等量代换”. 本例中我们可以看到有利用全等三角形性质的（如方法二、四），有用等腰三角形角边对应相等、中垂线等性质的（如方法三、五），有用代数方法证明数量关系的（如方法六、七、八），还有用构造法的（如方法一、二、四）. 基于结论的要求，去探寻、反思过程如何产生，也正是我们提升推理素养的常规方法.

3. 基于方法，在变式上提升

本例学生在“定则可求”的思想引导下可以尝试几何直观画一画的方法来得到初步结论，但很多学生还想探讨“当E、F不是中点时，这个线段是否还相等？”“若不相等，是否还存在着一定的数量关系？”等动态问题，笔者也和学生一起进行了“动图”尝试，如变式引申：

（1）若把E当作BC上的一个动点，保持BE=CF不变，连结DP，则DP=DA仍成立吗？不相等的话，它们存在一定的数量关系吗？

（2）当E点从B点运动到C点的过程中，P点的运动轨迹是怎样的一个图形？

解答：利用方法六的余弦定理，可以记正方形边长为1，设BE=x，则AE= ，由三角形相似得 = ，所以AP= .

因为cosβ=sinα= = = ，

所以DP2= .

所以 = .

通过这个一般通式的比例，我们也可以看到图形在变化过程中的许多特例：

当x= 时， =1（即原题E是BC中点时的情况）;

当x=0时， = （即E点与B点重合，DP是对角线时的情况）;

当x=1时， = （即E点与C点重合，P是正方形的中心时的情况）等.

利用这个通式，我们还可以探讨当x>1时，即E、F在BC和CD延长线上时交点P的情况，也能探讨P点运动轨迹的特征（如图11）. 总之，把静态的研究转化成动态研究，使学生思维训练大大加强，使探究充满活力.

4. 基于思想，在本原上聚焦

我们明确几何的探究归根于辩证思想的应用;推理能力的形成，更需要主动去构建模型，让学生把陌生的、复杂的问题化归为熟悉的、简单的问题. 如在运动过程中，AE⊥BF的关系始终存在，即在运动中A、D、F、P四点共圆一定成立，那DP就是以AF为直径的圆中的一条弦，那如何求弦长？我们不妨指向圆中利用三角或者勾股的基本图例（如图12），让变化中的“隐圆”凸显（如图13），得到如下问题解决思路：

简略过程如下：记正方形边长为1，设BE=CF=x，则半径r=OP= AF= ;sinβ= =cosα= ，所以DP=2PM=2OP·sinβ=2· · = .

显然，抓住了本源问题的核心，思路便异常顺畅，结论的取得也势如破竹.

结语

正如苏步青老先生所说：“学习数学要多做习题，边做边思索，先知其然，然后知其所以然.”解题的背后，回归本源的思考，才正是我们数学学习所需要的，“分离基本图形”“旋转后的全等”“解析几何法”“三角函数法”这些解题经验的形成，正是我们探求问题的根本. 一旦解题教学跨入了更广义的数学素养教育，學生的学习便不会仅停留在具体的解题方法上，而会更关注其背后的解题策略和方向，那时我们的解题教学便不再是解题本身，而是一次方法的拓展、一次思维的提升，更是一次成长的历练.