以学定教，先学后教，打造高效课堂

何敬房

[摘  要] 为了培养学生的自主学习能力、探究能力，让学生更自信地投入数学学习中，有效地提高课堂效率，文章本着以学定教，先学后教的研究思路，以一元二次方程整数根的求解为例，针对学生的解题亮点和不足，探讨如何打造高效课堂.

[关键词] 高效课堂;数学学习;先学后教

教材分析

本节课是北京版第十六章一元二次方程中的第十课时，能根据实际题目解决一元二次方程的整数根问题. 这类问题涉及的知识点较多，思维的要求也较高，所以难度比较大，学生们往往望而却步. 本节课的重点和难点是整数根的讨论问题.

学情分析

1. 知识背景分析

学生已在小学学过分数、因数等概念，含有字母系数的一元二次方程的解法已训练，分式加减运算都能熟练掌握.

2. 认知难点分析

分式加减逆运算.

教学目标

能熟练求出一元二次方程的整数根.

教学过程

（一）精选习题，学生板演（10分钟）

教师指定四名学生上黑板做题. 设计3道习题：

1.已知关于x的一元二次方程x2-6x+k+3=0有两个不相等的实数根，

（1）求k的取值范围;（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值.

2.？摇已知关于x的一元二次方程x2+2x+k-2=0有两个不相等的实数根，

（1）求k的取值范围;（2）当k为正整数，且该方程的根都是整数时，求k的值.

3.关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0有两个实数根，

（1）求m的取值范围;（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

其中第一题与第二题相似，由两位学生（思维慢、程度较差）完成;第三题稍微有些难度，也由两位学生（思维中等、程度较好）完成，与此同时要求台下的学生完成第一题和第三题.

（二）教师讲评，总结规律（25分钟）

讲师讲评分为两部分，亮点部分和不足部分. 其中关于亮点部分，教师要大力肯定，大力表扬，使孩子们有愉悦的心情，激励学生奋发向上，越来越喜欢数学. 关于不足或者错误的地方，教师要倾听学生的不同心声，让黑板上板演的孩子说出自己的想法或困惑，教师找合适的切入口将复杂、深刻的知识口语化、简单化，即将生硬的数学知识讲得通俗易懂.

对于一二题，学生的亮点：能清楚理解判别式Δ与根的情况;基本步骤规范，分类思想应用比较扎实. 学生的不足及改进地方：整数根与Δ是否被开方开尽或开不尽之间的关系不清楚. 第一题中，当k=4时，Δ=24-4×4=8，所以± =±2 ，故直接舍去;第二题中，k=1时，Δ=-4×1+12=8，直接舍去. 这样极大地节约了解题的时间. 计算最终结果未化简彻底，x = =3+ ，遇到计算题时，还需谨慎对之.

教师问题1：为什么需要把k=4，k=5分别代入方程求解？

学生1答：因为代入后求出结果容易看出来该方程的根是不是整数根. 如果不是就舍去，如果是就保留.

学生2答：可以分别代入，但是如果按照老师讲的，先求出判别式的平方根，如果平方根是带有根号的无理数，那方程的根肯定不是整数，所以直接舍去就可以了，这样至少会节约2分钟时间.

教师点拨：复习一下无理数、有理数的概念以及整数的分类，将知识系统化.

实数有理数整数正整数零负整数？摇 分数正分数负分数？摇 ？摇  ？摇

教师问题2：x = 为什么需要约分？

学生3答：因为x = 不是最简形式，分子分母有最大公因数2，所以要化成最简.

教师点拨 复习因式分解的基本步骤，分数、分式约分解题技巧.

因式分解的基本步骤：一提（提取公因式），二套（完全平方公式、平方差公式），三化简（最简形式）. 分数分式约分解题技巧：系数部分寻找各系数的最大公因数，字母部分寻找相同字母的最低次幂.

对于第三题，学生的亮点：能清楚理解判别式Δ与根的情况;基本步骤规范，分类思想应用比较扎实，尤其是通过分子分母变形分离，将问题只研究一处（分母中含有字母）变化，思路非常好. 学生的不足及改进地方：一元二次方程首要限制条件二次项系数不为0，即m-1≠0忘记先写. 整数化简时，未写等号（对于代数式的化简记忆模糊）. 教师在课堂巡视时，发现不少学生对 不知如何处理. 教师重点讲解本部分，因为对于 分子、分母都含有变量m，故研究起来比较复杂，如果用试验法，无穷下去试验，不仅浪费时间，而且缺少数学思维要求的逻辑严密性，所以固定分子，研究分母变化即可. 因为 = = + =1+ ，又方程的两个根都是正整数，所以 是正整数，所以m-1=1或2，所以m=2或3.

教师点拨 掌握分数与分式的关系;掌握分式加减运算的逆用.

由于分数和分式具有类似的形式，因而也具有类似的性质和运算，重视化归思想的渗透. 比如 这是一个分式，求这个分式为正整数且m也为整数时的m的值.

分数角度：2÷m商為正整数→m为除数→2为被除数，即商与除数的乘积→m=1，m=2.

分式角度： 正整数→m为2的因数→2的因数为1和2→m=1，m=2.

分式加法：1+ = + = + = .

变式一： = = + =-1+ .

变式二： = = - =2- .

通过 ， ， ， ，让学生感受因数的意义以及以分母为参照物改变分子的解题技巧在这类习题中的应用体现.

（三）小结梳理？摇学生记忆（5分钟，PPT展示）

1. 无理数、有理数的概念以及整数的分类;

2. 因式分解的基本步骤，分数、分式约分;

3. 分数与分式的关系，分式加减运算逆用.

总结评价

本节课的目的是向学生传达一元二次方程整数根的解法步骤，并理解相关的数学知识，教学内容看似简单，但如不能合理处理教学中的几个问题，很容易导致学生在学习过程中思维停滞. 通过学生先学先练，教师再教的步骤，使学生亲身体验，亲自投入，让学生真正地思考起来，真正地动起来，感受解题的过程和思路，体会知识的运用，由此发挥学生的主体性. 在不足之处，教师在课堂教学过程中处理好新知与旧知的联系，利用不足之处的问题来驱动教学展开，引导学生充分理解相关知识间的联系，理解化归思想在解决此类问题中的本质. 学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式. 教师应创造机会，让学生有足够的时间和空间经历计算、推理、验证等活动过程，由此达到教学目的，打造高效课堂.