开放设计，渐次展开，发展学生的多元思维

徐强

[摘  要] 初中数学“一轮复习”承载着“梳理、巩固、提升”的功能，其学材再建构应站在系统的高度、学力发展的角度，注重开放设计，横向打通，渐次展开，帮助学生形成对知识的再认识，从而系统把握数学知识内在逻辑与关联，促进学生基于整体理解之上的分析、评价、创造等多元思维的发展.

[关键词] 数学一轮复习;开放设计;教学立意

中考一轮复习重要性毋庸置疑，其承载着“梳理、巩固、提升”的功能.作为一线教师不仅认识到了这一点，而且在努力践行着，但笔者在广泛调研中发现了一个较为突出的问题，也是大多一线教师的困惑：“知识版块网络图构建了，思想方法总结了，典型问题训练了，但学生一遇到稍有变化的题目，又无从下手了.” 原因何在？笔者认为，复习时，知识前后贯穿性还不够，相近知识的联系与区别辨析还不透，训练学生的多元思维还欠缺.这就需要我们进一步优化复习课的设计，演变为学生再学习、再发现、再创造的过程，真正转化为学生再收获的成果.下面以直角三角形复习为例，谈谈自己进行知识重构的思考历程，提供研讨.

教学设计

活动1：如图1，△ABC中，若AB=10，能否添加一条件，使得点C在以AB为直径的圆上运动？

预设思路：思路之一是从边、角、边角角度出发;思路之二是在平面直角坐标系下，知直线的“k”值（斜率）;思路之三從圆的定义出发，满足AB中点到三个顶点的距离相等.

设计意图 开放问题呈现，低起点，让更多的学生参与其中，让更多的学生有了多元思维的舞台，从圆与直角的联系，过渡到浅层次的从边、角、边角的角度添加条件，再深入坐标系背景下直线的“k”值（斜率）理解，渐次展开，为后续教学作铺垫.

活动2：

（1）如果请你解活动1中的直角三角形，如图2，能求出其他元素的值吗？不行的话，请你添加条件.

（2）如图3，如果△ABC是一般三角形，若请你求AC的长，可以吗？不行的话，请你添加条件.

设计意图 此活动主要关注三角形的确定性问题，从解三角形到解斜三角形，体会从哪些角度添加条件可以让三角形确定，渗透化归思想，强化边角关系的沟通载体.

活动3：如果将活动1中的直角三角形置于圆中，如图4，CD平分∠ACB， AB=10，BC=8，求AD，CD的长.

预设思路：

方法1：如图5，过点D分别作DF⊥BC，DE⊥AC，垂足为F，E，可证△DFB≌△DEA，可得四边形CEDF为正方形，BF=AE，所以AC+BC=2CF=14，则CD= CF=7 .

方法2：如图6，因为AD=BD，把△ACD绕点D顺时针旋转90°，则F落在CB的延长线上，可得△CDF为等腰直角三角形，进而可求CD长.

方法3：如图7，过点B作BF⊥CD，垂足为F，因为线段CB，BD长已知及∠BCD=45°，可通过解△CBD求CD长.

方法4：如图8，分别过点A，B作CD垂线，垂足为E，F，借助面积法，可求CD的长.

方法5：如图9，在方法4的基础上，过O作OH⊥CD，连接CO，因为OH= （BF-AE），求出CH，CD=2CH.

设计意图 此题为课本例题，圆的加入，让角、边之间的沟通更深入，课堂中通过学生的不同思路讲解，师生共同归纳：对于求圆中弦的长度，常规辅助线的添加、处理工具的选择，都是围绕三角形而展开，进一步让学生体会问题解决的思路与出路.

后续教学思考

第一课时我们以直角三角形构造为起点，穿插了解直角三角形及圆中相关计算复习，后续教学设计指向何方？笔者认为继续围绕直角而展开，如：①圆的切线与直角联系;②由一个直角三角形过渡到两个直角三角形，渗透基本的几何模型的再认识（一线三等角模型、母子相似模型、十字架模型等）;③由基本模型再进行专题研究，如角的存在性问题、折叠问题等. 如图10：

从思考图中，可以发现，后期的教学重点主要是模型的提炼，从认识模型走向构造模型，为学生开通一条以数学模型服务解题教学的研究路径，丰富并发展学生的模型思想，逐步完善学生的建模意识.

教学立意的进一步阐释

1. 问题设置从封闭走向开放

我们发现传统的复习课，教师常选择一些所谓的典型题为载体形成教学设计，导致课堂的教学方式就是不断地讲题，学生听得累且无味，收获甚少.复习课怎么上？需要的是教师站得高看得远的意识，通过复习课让数学知识串珠成线，让学生有一种感觉，看已知信息即能从大脑提取关联知识、解决方法.基于以上认识，我们倡导“问题导向，整体构建”，教师如何操作？即从课堂问题的设置入手，借助问题的开放，促进更多的学生思维参与. 如本课例中，通过活动1，让与直角相关联知识得到相机呈现，面对这些知识，即面对研讨空间，后续教学的内容自然生成;对于活动2，自主添加条件解三角形，学生间产生的思维碰撞，自然加深三角形确定性的理解;活动3的一题多法，促进更多学生思维参与，激发更多的学生自我挑战，让与其相关的技能与方法得到充分落实.当然，由解三角形过渡到圆中相关计算问题，可以发现解决问题的本质是一致的，而圆的加入，只是让边角关系的沟通路径更丰富，真正促进学生从思维封闭走向思维开放，实现复习课的“有滋有味”.

2. 立足课本，选题改编，多法思考

纵观各地的中考数学试题，总能在试题中找到课本习题、例题的影子. 复习过程中，若能对课本的典型的例题、习题进行钻研与延伸，挖掘出例题、习题蕴含的多维度生长点，解法的多思路，从而避免复习中习题密集出现，也可达到举一反三的效果. 如本课例中例题的选取为人教版九年级上册P87例4的改编题，多法的研究打通了圆中相关计算的处理策略，凸显问题解决的关键点就在于如何处理边角之间的关系. 纵观而知，初中阶段相关计算问题，根在沟通边角关系的工具选择，一题多变、一题多法，一题一课是解决此类问题的一种较好的模式，值得我们在一轮复习中关注与实践.

3. 后续教学设计渐次展开

一轮复习贵在厚积薄发，如果我们的课例设计都围绕学生已学知识进行深加工而展开，那我们的复习课才更具有探究味、思考力，学生的多元思维训练才会得到真正的落实. 设计的落脚点在哪里？教师修炼的四大方向：一是熟知初中三个年级相关知识的生长过程;二是同类知识的串联与发展;三是知识引入的载体选择;四是方法技能的归纳.如本专题的设计思路，把初中阶段与直角有关的知识进行有效整合，把与之相关的计算问题进行策略归纳，把问题研究的基本套路进行多元呈现. 授之以鱼不如授之以渔，教师的教学思考势必会潜移默化地影响到每一个孩子，让他们对于数学复习产生新的认识、新的理解.